Sinus

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Graf funkce sinus - sinusoida

Sinus je goniometrická funkce.

Pro označení této funkce se obvykle používá značka sin doplněná značkou nezávisle proměnné (zpravidla úhlu).

pravoúhlém trojúhelníku bývá definována jako poměr protilehlé odvěsny a přepony. Definici lze konzistentně rozšířit jak na celá reálná čísla, tak i do oboru komplexních čísel.

Grafem sinu v reálném oboru je sinusoida.

Sinus na jednotkové kružnici[editovat | editovat zdroj]

Sinus α na jednotkové kružnici

Sinus se jednoduše definuje na jednotkové kružnici (kružnici se středem v počátku a s poloměrem 1): Je-li α úhel, který má počáteční rameno v kladné poloose x a je orientovaný od kladné poloosy x proti směru hodinových ručiček), je sin α roven y-ové souřadnici průsečíku této kružnice s koncovým ramenem úhlu α, jinak řečeno, rovná se (v absolutní hodnotě) délce kolmice spuštěné z tohoto bodu na osu x. Délce úsečky z počátku k patě této kolmice, přesněji (s ohledem na znaménko) x-ové souřadnici průsečíku jednotkové kružnice s koncovým ramenem úhlu α, je pak roven cos α.

Poloměr, kolmice a tato úsečka tvoří pravoúhlý trojúhelník, pro nějž platí Pythagorova věta, takže také platí:

.

Na jednotkové kružnici je také vidět, že sinus je v prvním a druhém kvadrantu nezáporný (≥ 0), kdežto ve třetím a čtvrtém nekladný (≤ 0). V prvním a čtvrtém kvadrantu je rostoucí, ve druhém a třetím klesající.

Protože zřejmě platí, že

(resp. ),

kde je libovolné celé číslo, lze funkci sinus rozšířit i na záporné úhly a konzistentně definovat jako funkci na celé množině reálných čísel. Sinusoida pak zhruba (při nekonečně dlouhé ojnici) popisuje například pohyb pístu ve válci spalovacího motoru.

Sinus v reálném oboru[editovat | editovat zdroj]

Reálná funkce reálné proměnné má následující vlastnosti (kde je libovolné celé číslo):

  • Definiční obor: (reálná čísla)
  • Obor hodnot:
  • Rostoucí: v každém intervalu
  • Klesající: v každém intervalu
  • Maximum je (v bodech )
  • Minimum je (v bodech )
  • Derivace:
  • Primitivní funkce:
  • Taylorova řada:
  • Inverzní funkce (na intervalu a oborem hodnot ): arkus sinus (arcsin)
  • Sinus dvojnásobného argumentu:
  • Sinus je funkce:

Sinus v komplexním oboru[editovat | editovat zdroj]

Funkce sinus je v komplexních číslech definována součtem řady

která konverguje na celé komplexní rovině. Pro každá komplexní čísla , a platí:

Tyto vzorce plynou přímo z příslušných definičních mocninných řad daných funkcí. Sinus je na celé komplexní rovině jednoznačná holomorfní funkce.

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]