Taylorova řada

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Taylorův rozvoj stupně 1, 3, 5, 7, 9, 11 a 13 funkce sin(x). Sin(x) je vyznačen černě.

Taylorova řada je v matematice zvláštní mocninná řada.

Za určitých předpokladů o funkci f(x) v okolí bodu a lze tuto funkci vyjádřit (rozvinout) jako mocninnou řadu. Toto vyjádření funkce prostřednictvím Taylorovy řady se označuje jako Taylorův rozvoj. Pokud se jedná o rozvoj v okolí bodu 0, mluvíme o Maclaurinově řadě.

Pro přibližné vyjádření hodnot funkce není nutné vyjadřovat všechny členy Taylorovy řady, ale můžeme zanedbat členy s vyššími derivacemi. Získáme tím tzv. Taylorův polynom. Taylorův polynom tedy aproximuje hodnoty funkce, která má v daném bodě derivaci, pomocí polynomu, jehož koeficienty závisí na derivacích funkce v tomto bodě.

Řada je pojmenována po anglickém matematikovi Brooku Taylorovi, který ji publikoval v roce 1712, avšak metoda aproximace funkce mocninnou řadou byla objevena již roku 1671 Jamesem Gregorym.

Definice[editovat | editovat zdroj]

V případě existence všech konečných derivací funkce v bodě lze Taylorovu řadu zapsat jako


Má-li funkce v bodě konečné derivace až do řádu , pak Taylorův polynom řádu funkce v bodě je polynom:

,

kde nultou derivací je myšlena samotná funkce, tzn. .

Taylorův polynom je tedy speciálním případem Taylorovy řady, který získáme tehdy, jsou-li od určitého všechny vyšší derivace nulové.

Taylorova věta[editovat | editovat zdroj]

Rozvoj funkce , která má v okolí bodu konečné derivace do -tého řádu je obsahem Taylorovy věty, která říká, že takovéto funkce lze v okolí bodu vyjádřit jako

.

Nechť je funkce spojitá na okolí bodu a zároveň má na tomto okolí vlastní nenulovou derivaci. Potom existuje z tohoto okolí tak, že

.

Speciálně lze zbytek vyjádřit i některým z následujících tvarů (při zachování odpovídajících podmínek):

  • (tzv. Lagrangeův tvar zbytku, tedy )
  • (tzv. Cauchyův tvar zbytku, tedy )


Taylorova řada funkce konverguje v bodě k funkční hodnotě právě když

Taylorova řada funkce více proměnných[editovat | editovat zdroj]

Pro funkci lze v okolí bodu vyjádřit Taylorovu větu vyjádřit pomocí totálních diferenciálů jako

,

kde funkci , která udává chybu, které se dopouštíme při ukončení rozvoje n-tým členem, lze vyjádřit ve tvaru

pro .

Maclaurinova řada[editovat | editovat zdroj]

Pro přechází Taylorova řada v řadu Maclaurinovu, tedy

Maclaurinovy řady běžných funkcí[editovat | editovat zdroj]

  • Maclaurinova řada polynomu je tentýž polynom.
  • aproximovanou hodnotu funkce v blízkosti bodu určíme tak, že se omezíme pouze na n členů Taylorova rozvoje, čímž získáme Taylorův polynom stupně n-1

Taylorův rozvoj:

aproximovaná hodnota funkce:



  • , kde



Goniometrické funkce:


Cyklometrické funkce:




Hyperbolické funkce:



Hyperbolometrické funkce:

Výpočet Taylorova polynomu[editovat | editovat zdroj]

Pro výpočet Taylorova polynomu složitějších funkcí se používá několik metod. Dá se počítat přímo z definice, což ale vyžaduje výpočet derivací vyšších řádů, které mohou být složité. Častěji se používá substituce, násobení, dělení, sčítání nebo odčítání Taylorových polynomů známých funkcí.

První příklad[editovat | editovat zdroj]

Chceme spočítat Taylorův polynom řádu 7 v bodě 0 funkce . Nejprve si funkci přepíšeme jako

Taylorův polynom přirozeného logaritmu je a funkce kosinus (používáme notaci velké O, neboli Landauovu notaci).

Nyní použijeme substituci vnitřní funkce a vynecháme členy stupně vyššího než 7 díky použití notace velké O:

.

Na závěr si můžeme všimnout, že koeficienty u jsou nulové, což odpovídá tomu, že kosinus je sudá funkce.

Druhý příklad[editovat | editovat zdroj]

Chceme spočítat Taylorův polynom funkce v bodě 0.

Máme známé Taylorovy polynomy: a . K řešení použijeme metodu neurčitých koeficientů.

Předpokládejme, že platí Vynásobíme obě strany rovnice jmenovatelem

Dáme k sobě koeficienty u stejných mocnin

Porovnáním s koeficienty Taylorova polynomu exponenciální funkce dostáváme řešení

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Reference[editovat | editovat zdroj]

V tomto článku byly použity překlady textů z článku Taylor series na anglické Wikipedii.

Související články[editovat | editovat zdroj]

Literatura[editovat | editovat zdroj]

  • Rektorys Karel a kol.: Přehled užité matematiky I.. Prometheus, Praha, 2003, 7. vydání. ISBN 80-7196-179-5
  • Tkadlec Josef: Diferenciální a integrální počet funkcí jedné proměnné. Nakladatelství ČVUT, Praha 2004, 1. vydání. ISBN 80-01-03039-3
  • Krbálek Milan: Matematická analýza III. Nakladatelství ČVUT, Praha 2008, 2. vydání.

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]