Taylorův rozvoj stupně
1,
3,
5,
7,
9,
11 a
13 funkce
sin(x). Sin(x) je vyznačen černě.
Taylorova řada je v matematice zvláštní mocninná řada.
Za určitých předpokladů o funkci f(x) v okolí bodu a lze tuto funkci vyjádřit (rozvinout) jako mocninnou řadu. Toto vyjádření funkce prostřednictvím Taylorovy řady se označuje jako Taylorův rozvoj. Pokud se jedná o rozvoj v okolí bodu 0, mluvíme o Maclaurinově řadě.
Pro přibližné vyjádření hodnot funkce není nutné vyjadřovat všechny členy Taylorovy řady, ale můžeme zanedbat členy s vyššími derivacemi. Získáme tím tzv. Taylorův polynom. Taylorův polynom tedy aproximuje hodnoty funkce, která má v daném bodě derivaci, pomocí polynomu, jehož koeficienty závisí na derivacích funkce v tomto bodě.
Řada je pojmenována po anglickém matematikovi Brooku Taylorovi, který ji publikoval v roce 1712, avšak metoda aproximace funkce mocninnou řadou byla objevena již roku 1671 Jamesem Gregorym.
V případě existence všech konečných derivací funkce
v bodě
lze Taylorovu řadu zapsat jako

Má-li funkce
v bodě
konečné derivace až do řádu
, pak Taylorův polynom řádu
funkce
v bodě
je polynom:
,
kde nultou derivací je myšlena samotná funkce, tzn.
.
Taylorův polynom je tedy speciálním případem Taylorovy řady, který získáme tehdy, jsou-li od určitého
všechny vyšší derivace nulové.
Rozvoj funkce
, která má v okolí bodu
konečné derivace do
-tého řádu je obsahem Taylorovy věty, která říká, že takovéto funkce lze v okolí bodu
vyjádřit jako
.
Nechť je funkce
spojitá na okolí bodu
a zároveň má na tomto okolí vlastní nenulovou derivaci. Potom existuje
z tohoto okolí tak, že
.
Speciálně lze zbytek
vyjádřit i některým z následujících tvarů (při zachování odpovídajících podmínek):
(tzv. Lagrangeův tvar zbytku, tedy
)
(tzv. Cauchyův tvar zbytku, tedy
)
Taylorova řada funkce
konverguje v bodě
k funkční hodnotě
právě když

Pro funkci
lze v okolí bodu
vyjádřit Taylorovu větu pomocí totálních diferenciálů jako
,
kde funkci
, která udává chybu, které se dopouštíme při ukončení rozvoje n-tým členem, lze vyjádřit ve tvaru

pro
.
Pro
přechází Taylorova řada v řadu Maclaurinovu, tedy

- Maclaurinova řada polynomu je tentýž polynom.
- aproximovanou hodnotu funkce
v blízkosti bodu
určíme tak, že se omezíme pouze na n členů Taylorova rozvoje, čímž získáme Taylorův polynom stupně n-1
Taylorův rozvoj:
aproximovaná hodnota funkce:

, kde 


![\ln {\frac {1+x}{1-x}}=2\left[x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \right]=2\sum _{{n=0}}^{\infty }{\frac {x^{{2n+1}}}{2n+1}}\;x\in (-1,1)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9edeb8563003d1cc6795f1e4d6a0c6c945629e9e)
Goniometrické funkce:




Cyklometrické funkce:



Hyperbolické funkce:



Hyperbolometrické funkce:


Pro výpočet Taylorova polynomu složitějších funkcí se používá několik metod. Dá se počítat přímo z definice, což ale vyžaduje výpočet derivací vyšších řádů, které mohou být složité. Častěji se používá substituce, násobení, dělení, sčítání nebo odčítání Taylorových polynomů známých funkcí.
Chceme spočítat Taylorův polynom řádu 7 v bodě 0 funkce
. Nejprve si funkci přepíšeme jako
Taylorův polynom přirozeného logaritmu je
a funkce kosinus
(používáme notaci velké O, neboli Landauovu notaci).
Nyní využijeme substituce vnitřní funkce a vynecháme členy stupně vyššího než 7 díky použití notace velké O:
.
Na závěr si můžeme všimnout, že koeficienty u
jsou nulové, což odpovídá tomu, že kosinus je sudá funkce.
Chceme spočítat Taylorův polynom funkce
v bodě 0.
Máme známé Taylorovy polynomy:
a
. K řešení použijeme metodu neurčitých koeficientů.
Předpokládejme, že platí
Vynásobíme obě strany rovnice jmenovatelem
Dáme k sobě koeficienty u stejných mocnin
Porovnáním s koeficienty Taylorova polynomu exponenciální funkce dostáváme řešení
V tomto článku byl použit překlad textu z článku Taylor series na anglické Wikipedii.
- Rektorys Karel a kol.: Přehled užité matematiky I.. Prometheus, Praha, 2003, 7. vydání. ISBN 80-7196-179-5
- Tkadlec Josef: Diferenciální a integrální počet funkcí jedné proměnné. Nakladatelství ČVUT, Praha 2004, 1. vydání. ISBN 80-01-03039-3
- Krbálek Milan: Matematická analýza III. Nakladatelství ČVUT, Praha 2008, 2. vydání.