Taylorova řada

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Taylorův rozvoj stupně 1, 3, 5, 7, 9, 11 a 13 funkce sin(x). Sin(x) je vyznačen černě.

Taylorova řada je v matematice zvláštní mocninná řada.

Za určitých předpokladů o funkci f(x) v okolí bodu a lze tuto funkci vyjádřit (rozvinout) jako mocninnou řadu. Toto vyjádření funkce prostřednictvím Taylorovy řady se označuje jako Taylorův rozvoj. Pokud se jedná o rozvoj v okolí bodu 0, mluvíme o Maclaurinově řadě.

Pro přibližné vyjádření hodnot funkce není nutné vyjadřovat všechny členy Taylorovy řady, ale můžeme zanedbat členy s vyššími derivacemi. Získáme tím tzv. Taylorův polynom. Taylorův polynom tedy aproximuje hodnoty funkce, která má v daném bodě derivaci, pomocí polynomu, jehož koeficienty závisí na derivacích funkce v tomto bodě.

Řada je pojmenována po anglickém matematikovi Brooku Taylorovi, který ji publikoval v roce 1712, avšak metoda aproximace funkce mocninnou řadou byla objevena již roku 1671 Jamesem Gregorym.

Definice[editovat | editovat zdroj]

V případě existence všech konečných derivací funkce f v bodě a lze Taylorovu řadu zapsat jako

f(x) = f(a) + \frac{f^\prime(a)}{1!} (x - a) + \frac{f^{\prime\prime}(a)}{2!}(x - a)^2 + \frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x - a)^3 + ... = \sum_{k=0}^{\infin} \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (x-a)^{k}


Má-li funkce f v bodě a konečné derivace až do řádu n, pak Taylorův polynom řádu n funkce f v bodě a je polynom:

T_n^{f,a}(x) = f(a) + \frac {f^\prime(a)} {1!} (x-a) + \frac {f^{\prime\prime}(a)} {2!} (x-a)^2 + \ldots + \frac {f^{(n)}(a)} {n!} (x-a)^n = \sum_{k=0}^n \frac {f^{(k)}(a)} {k!} (x - a)^k,

kde nultou derivací je myšlena samotná funkce, tzn. f^{(0)}=f.

Taylorův polynom je tedy speciálním případem Taylorovy řady, který získáme tehdy, jsou-li od určitého n všechny vyšší derivace nulové.

Taylorova věta[editovat | editovat zdroj]

Rozvoj funkce f(x), která má v okolí bodu a konečné derivace do (n+1)-tého řádu je obsahem Taylorovy věty, která říká, že takovéto funkce lze v okolí bodu a vyjádřit jako

f(x) = f(a) + \frac{f^\prime(a)}{1!}(x - a) + \frac{f^{\prime\prime}(a)}{2!}{(x - a)}^2 + ... + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}{(x - a)}^n + R_{n+1}^{f,a}(x).

Nechť je funkce \varphi spojitá na okolí bodu a a zároveň má na tomto okolí vlastní nenulovou derivaci. Potom existuje c z tohoto okolí tak, že

R_{n+1}^{f,a}(x) = \frac{1}{n!}\frac{\varphi(x) - \varphi(a)}{\varphi^\prime(c)}f^{(n+1)}(c)(x-c)^n.

Speciálně lze zbytek R_{n+1} vyjádřit i některým z následujících tvarů (při zachování odpovídajících podmínek):

  • R_{n+1}^{f,a}(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}{(x-a)}^{n+1} (tzv. Lagrangeův tvar zbytku, tedy \varphi(t)=(x-t)^{n+1})
  • R_{n+1}^{f,a}(x) = \frac{1}{n!}f^{(n+1)}(c)(x-c)^n(x-a) (tzv. Cauchyův tvar zbytku, tedy \varphi(t)=t)


Taylorova řada funkce f(x) konverguje v bodě x k funkční hodnotě f(x) právě když

\lim_{n \to \infty} R_n^{f,a}(x) = 0

Taylorova řada funkce více proměnných[editovat | editovat zdroj]

Pro funkci f(x_1,x_2,...,x_n) lze v okolí bodu A=[a_1,a_2,...,a_n] vyjádřit Taylorovu větu vyjádřit pomocí totálních diferenciálů jako

f(x_1,x_2,...,x_n) = f(a_1,a_2,...,a_n) + \frac{\mathrm{d}f(a_1,a_2,...,a_n)}{1!} + \frac{\mathrm{d}^2 f(a_1,a_2,...,a_n)}{2!} + ... + \frac{\mathrm{d}^n f(a_1,a_2,...,a_n)}{n!} + R_{n+1}^{f,a},

kde funkci R_{n+1}^{f,a}, která udává chybu, které se dopouštíme při ukončení rozvoje n-tým členem, lze vyjádřit ve tvaru

R_{n+1}^{f,a} = \frac{\mathrm{d}^{n+1} f(a_1+\Theta (x_1 - a_1),a_2+\Theta (x_2 - a_2),...,a_n + \Theta (x_n - a_n)}{(n+1)!}

pro \Theta \in (0,1).

Maclaurinova řada[editovat | editovat zdroj]

Pro a=0 přechází Taylorova řada v řadu Maclaurinovu, tedy

f(x) = f(0) + \sum_{n=1}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n

Maclaurinovy řady běžných funkcí[editovat | editovat zdroj]

  • Maclaurinova řada polynomu je tentýž polynom.
  • aproximovanou hodnotu funkce  \mathrm{e}^x v blízkosti bodu x = 0 určíme tak, že se omezíme pouze na n členů Taylorova rozvoje, čímž získáme Taylorův polynom stupně n-1

Taylorův rozvoj: \mathrm{e}^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots = \sum_{i=0}^\infty \frac{x^i}{i!} \; \mbox{ pro } x \in (-\infty,\infty)

aproximovaná hodnota funkce:  \textrm{e}^x \approx 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^{n}}{(n)!}.


  • \frac{1}{1 - x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots = \sum_{n=0}^\infty {x^n} \; \mbox{ pro } x \in (-1,1)
  • {(1 + x)}^r = 1 + {r \choose 1}x + {r \choose 2}x^2 + {r \choose 3}x^3 + \cdots = \sum_{n=0}^\infty {r \choose n}x^n \; \mbox{ pro } r \in \mathbb{R}, x \in (-1,1), kde \binom{r}{n}= \prod_{k=1}^n  \frac{r-k+1}{k}=\frac{r\cdot(r-1)\cdot\cdot\cdot(r-n+1)}{n!}
  • \ln (1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \frac{x^5}{5} - \cdots = \sum_{n=1}^\infty {(-1)}^{n+1} \frac{x^n}{n} \; \mbox{ pro } x \in (-1,1\rangle


  • a^x = 1 + \frac{x \ln a}{1!} + \frac{x^2 \ln^2 a}{2!} + \frac{x^3 \ln^3 a}{3!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{{(x \ln a)}^n}{n!} \; \mbox{ pro } a>0, x \in (-\infty,\infty)


  • \ln \frac{1+x}{1-x} = 2\left[x + \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} + \frac{x^7}{7} + \cdots \right] = 2 \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2 n + 1}}{2 n + 1} \; x \in (-1,1)

Goniometrické funkce:

  • \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty {(-1)}^n \frac{x^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!} \; \mbox{ pro } x \in (-\infty,\infty)
  • \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty {(-1)}^n \frac{x^{2 n}}{(2 n)!} \; \mbox{ pro } x \in (-\infty,\infty)
  • \operatorname{tg}\,x = x + \frac{1}{3}x^3 + \frac{2}{15}x^5 + \frac{17}{315}x^7 + \cdots \; \mbox{ pro } x \in (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})
  • \operatorname{cotg}\,x = \frac{1}{x} - \frac{1}{3}x - \frac{1}{45}x^3 - \frac{2}{945}x^5 - \cdots \; \mbox{ pro } x \in (0,\pi)


Cyklometrické funkce:

  • \operatorname{arcsin}\,x = x + \frac{1}{2}\frac{x^3}{3} + \frac{1}{2}\frac{3}{4}\frac{x^5}{5} + \frac{1}{2}\frac{3}{4}\frac{5}{6}\frac{x^7}{7} + \cdots = x + \sum_{n=1}^\infty \frac{(2 n - 1)!!}{(2 n)!!} \frac{x^{2 n + 1}}{2 n + 1} \; \mbox{ pro } x \in \langle-1,1\rangle


  • \operatorname{arccos}\,x = \frac{\pi}{2}-\arcsin\,x=\frac{\pi}{2} - x - \frac{1}{2}\frac{x^3}{3} - \frac{1}{2}\frac{3}{4}\frac{x^5}{5} - \frac{1}{2}\frac{3}{4}\frac{5}{6}\frac{x^7}{7} + \cdots = \frac{\pi}{2} - x - \sum_{n=1}^\infty \frac{(2 n - 1)!!}{(2 n)!!} \frac{x^{2 n + 1}}{2 n + 1} \; \mbox{ pro } x \in \langle-1,1\rangle


  • \operatorname{arctg}\,x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty {(-1)}^n \frac{x^{2 n + 1}}{2 n + 1} \; \mbox{ pro } x \in \langle-1,1\rangle


Hyperbolické funkce:

  • \sinh x = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!} \; \mbox{ pro } x \in (-\infty,\infty)


  • \cosh x = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2 n}}{(2 n)!} \; \mbox{ pro } x \in (-\infty,\infty)
  • \tanh\,x = x - \frac{1}{3}x^3 + \frac{2}{15}x^5-\frac{17}{135}x^7+\cdot\cdot\cdot  \; \mbox{ pro } x  \in \Bigl(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \Bigr)

Hyperbolometrické funkce:

  • \operatorname{arsinh}\,x=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n (2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)}x^{2n+1} \; \mbox{ pro } x  \in \langle-1,1\rangle
  • \operatorname{artanh}\,x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^{2n+1}}{2n+1} \; \mbox{ pro } x \in (-1,1)

Výpočet Taylorova polynomu[editovat | editovat zdroj]

Pro výpočet Taylorova polynomu složitějších funkcí se používá několik metod. Dá se počítat přímo z definice, což ale vyžaduje výpočet derivací vyšších řádů, které mohou být složité. Častěji se používá substituce, násobení, dělení, sčítání nebo odčítání Taylorových polynomů známých funkcí.

První příklad[editovat | editovat zdroj]

Chceme spočítat Taylorův polynom řádu 7 v bodě 0 funkce f(x)=\log(\cos(x)) . Nejprve si funkci přepíšeme jako f(x)=\log(1+(\cos(x)-1)).

Taylorův polynom přirozeného logaritmu je \log(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+O(x^4) a funkce kosinus \cos(x)-1=-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\frac{x^6}{720}+O(x^8) (používáme notaci velké O, neboli Landauovu notaci).

Nyní použijeme substituci vnitřní funkce a vynecháme členy stupně vyššího než 7 díky použití notace velké O:

f(x)=\log(1+(\cos\,x-1))=(\cos\,x-1)-\frac{1}{2}(\cos\,x -1)^2+\frac{1}{3}(\cos\,x -1)^3+O((\cos\,x -1)^4)=\Bigl(-\frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}-\frac{x^6}{720}+O(x^8)\Bigr)-\frac{1}{2}\Bigl( -\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+O(x^6) \Bigr)^2 + \frac{1}{3}\Bigl( -\frac{x^2}{2}+O(x^4) \Bigr)^3 + O(x^8)=

=-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\frac{x^6}{720}\frac{x^4}{8}+\frac{x^6}{48}-\frac{x^6}{24}+O(x^8)=-\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{12}-\frac{x^8}{45}+O(x^8) .

Na závěr si můžeme všimnout, že koeficienty u x, x^3, x^5, x^7, \cdot\cdot\cdot jsou nulové, což odpovídá tomu, že kosinus je sudá funkce.

Druhý příklad[editovat | editovat zdroj]

Chceme spočítat Taylorův polynom funkce g(x)\frac{e^x}{\cos\,x} v bodě 0.

Máme známé Taylorovy polynomy: e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+O(x^4) a \cos\,x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+O(x^4) . K řešení použijeme metodu neurčitých koeficientů.

Předpokládejme, že platí \frac{e^x}{\cos\,x}=c_0+c_1x+c_2x^2+c_3x^3+c_4x^4+\cdot\cdot\cdot Vynásobíme obě strany rovnice jmenovatelem

e^x=(c_0+c_1x+c_2x^2+c_3x^3+c_4x^4)\cos\,x=(c_0+c_1x+c_2x^2+c_3x^3+c_4x^4)\Bigl(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+O(x^4)\Bigr)=c_0-\frac{c_0}{2}x^2+\frac{c_0}{4!}x^4+c_1x-\frac{c_1}{2}x^3+\frac{c_1}{4!}x^5+c_2x-\frac{c_2}{2}x^4+\frac{c_2}{4!}x^6+c_3x^3-\frac{c_3}{2}x^5+\frac{c_3}{4!}x^7+O(x^4)

Dáme k sobě koeficienty u stejných mocnin

=c_0+c_1x+\Bigl(c_2-\frac{c_0}{2}\Bigr)x^2+\Bigl(c_3-\frac{c_1}{2}\Bigr)x^3+\Bigl(c_4-\frac{c_2}{2}+\frac{c_0}{4!}\Bigr)x^4+O(x^4)

Porovnáním s koeficienty Taylorova polynomu exponenciální funkce dostáváme řešení

\frac{e^x}{\cos\,x}=1-x+x^2+\frac{2}{3}x^3+\frac{x^4}{2}+O(x^4)

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Reference[editovat | editovat zdroj]

V tomto článku byly použity překlady textů z článku Taylor series na anglické Wikipedii.

Související články[editovat | editovat zdroj]

Literatura[editovat | editovat zdroj]

  • Rektorys Karel a kol.: Přehled užité matematiky I.. Prometheus, Praha, 2003, 7. vydání. ISBN 80-7196-179-5
  • Tkadlec Josef: Diferenciální a integrální počet funkcí jedné proměnné. Nakladatelství ČVUT, Praha 2004, 1. vydání. ISBN 80-01-03039-3
  • Krbálek Milan: Matematická analýza III. Nakladatelství ČVUT, Praha 2008, 2. vydání.

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]