Hyperbolometrická funkce

Graf funkce arsinh x

Hyperbolometrické funkce (také inverzní hyperbolické funkce) jsou funkce inverzní k funkcím hyperbolickým.

Základní hyperbolometrické funkce jsou:

• Argument hyperbolického sinu ($\operatorname {arsinh} x$)
• Argument hyperbolického kosinu ($\operatorname {arcosh} x$)
• Argument hyperbolického tangens ($\operatorname {artanh} x$)
• Argument hyperbolického kotangens ($\operatorname {arcoth} x$)

Přehled a vlastnosti

Argument hyperbolického sinu

Funkce inverzní k hyperbolickému sinu.

• Značení: $y=\operatorname {arsinh} x$
• Alternativní tvar: $\operatorname {arsinh} x=\ln(x+{\sqrt {x^{2}+1}})$
• Definiční obor: $\mathbb {R}$
• Obor hodnot: $\mathbb {R}$
• Parita: Lichá funkce (inverzní funkce k liché funkci je lichá).

Argument hyperbolického kosinu

Funkce inverzní k hyperbolickému kosinu (na intervalu $\langle 0;\infty )$).

• Značení: $y=\operatorname {arcosh} x$
• Alternativní tvar: $\operatorname {arcosh} x=\ln(x+{\sqrt {x^{2}-1}})$
• Definiční obor: $\mathbb {R}$
• Obor hodnot: $\langle 1;\infty )$
• Parita: Není sudá ani lichá.

Argument hyperbolického tangens

Funkce inverzní k hyperbolickému tangens.

• Značení: $y=\operatorname {artanh} x$
• Alternativní tvar: $\operatorname {artanh} x={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+x}{1-x}}$
• Definiční obor: $\mathbb {R}$
• Obor hodnot: $(-1;1)$
• Parita: Lichá funkce.

Argument hyperbolického kotangens

Funkce inverzní k hyperbolickému kotangens.

• Značení: $y=\operatorname {arcoth} x$
• Alternativní tvar: $\operatorname {arcoth} x={\frac {1}{2}}\ln {\frac {x+1}{x-1}}$
• Definiční obor: ${\displaystyle (-\infty$ ;-1)\cup (1;\infty )}
• Obor hodnot: $\mathbb {R} \setminus \{0\}$
• Parita: Lichá funkce.

Vzorce a identity

Vztahy mezi jednotlivými funkcemi:

${\begin{aligned}\operatorname {arsinh} x&=\operatorname {sgn} x\operatorname {arcosh} {\sqrt {x^{2}+1}}\\\operatorname {arsinh} x&=\operatorname {artanh} {\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}}\end{aligned}}$

$\operatorname {arcosh} x=\operatorname {arsinh} {\sqrt {x^{2}-1}}=\operatorname {artanh} {\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}\quad (x\geq 1)$

$\operatorname {artanh} x=\sinh {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}},\quad (x\geq 0)$

$\operatorname {artanh} x$	$=\operatorname {arsinh} {\frac {x^{\phantom {2}}}{\sqrt {1-x^{2}}}}$	$\ |x|<1$
	$=\operatorname {arcosh} {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$	$\ 0\leq x<1$
	$=-\operatorname {arcosh} {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$	$\ -1<x\leq 0$
	$=\operatorname {arcoth} {\frac {1}{x}}$	$\ x\in (-1;1)\setminus \{0\}$

$\operatorname {arcoth} x$	$=\operatorname {arsinh} {\frac {1^{\phantom {2}}}{\sqrt {x^{2}-1}}}$	$\ x>1$
	$=-\operatorname {arsinh} {\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}$	$\ x<-1$
	$=\operatorname {arcosh} {\frac {x}{\sqrt {x^{2}-1}}}$	$\ x>1$
	$=\operatorname {artanh} {\frac {1}{x}}$	$\ |x|>1$

Součtové vzorce:

$\operatorname {arsinh} x\pm \operatorname {arsinh} y=\operatorname {arsinh} \left(x{\sqrt {1+y^{2}}}\pm y{\sqrt {1+x^{2}}}\right)$

$\operatorname {arcosh} x\pm \operatorname {arcosh} y=\operatorname {arcosh} \left(xy\pm {\sqrt {(x^{2}-1)(y^{2}-1)}}\right)\quad (x\geq 1,y\geq 1)$

$\operatorname {artanh} x\pm \operatorname {artanh} y=\operatorname {artanh} {\frac {x\pm y}{1\pm xy}}\quad (|x|<1,|y|<1)$

Derivace

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {arsinh} x={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {arcosh} x={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}\quad (x>1)$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {artanh} x={\frac {1}{1-x^{2}}}\quad (|x|<1)$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {arcoth} x={\frac {1}{1-x^{2}}}\quad (|x|>1)$

Integrály

Následující integrály vedou na hyperbolometrické funkce:

$\int {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}\,\mathrm {d} x=\operatorname {arsinh} x+C$

$\int {\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}\,\mathrm {d} x=\operatorname {arcosh} x+C\quad (x>1)$

$\int {\frac {1}{1-x^{2}}}\,\mathrm {d} x={\begin{cases}\operatorname {artanh} x+C&(|x|<1)\\\operatorname {arcoth} x+C&(|x|>1)\end{cases}}$

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu hyperbolometrická funkce na Wikimedia Commons

Portály: Matematika