Hyperbolický kotangens

coth(x)

Hyperbolický kotangens je hyperbolická funkce. Značí se coth(x).

Definice

Hyperbolický kotangens je definován pomocí hyperbolického kosinu a hyperbolického sinu, přičemž

$\sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}$ a $\cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}$, kde e je Eulerovo číslo.

Tedy $\coth x={\frac {\cosh x}{\sinh x}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}$ $={\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}={\frac {1+e^{-2x}}{1-e^{-2x}}}$

Hyperbolický kotangens lze rovněž definovat pomocí imaginárního úhlu jako:

$\coth x=i\cot(ix)$, kde i je imaginární číslo definované jako $i^{2}$ = −1.

Inverzní funkcí k hyperbolickému kotangens je hyperbolometrická funkce argument hyperbolického kotangens (argcoth x).

Vlastnosti

• Hyperbolický kotangens je lichá funkce, je tedy splněna podmínka:

$\coth(-x)=-\coth(x)$

• Definiční obor funkce coth(x):

$\mathbb {R} -\{0\}$

• Obor hodnot funkce coth(x):

$(-\infty ;-1)\cup (1;\infty )$

Vzorečky

$\coth ^{2}x=1+\operatorname {csch} ^{2}x$, kde funkce csch je funkce kosekans

$\coth(2x)={\frac {1+\coth ^{2}(x)}{2\coth(x)}}$

$\coth(x+y)={\frac {\coth(x).\coth(y)+1}{\coth(y)+\coth(x)}}$

Derivace

${\frac {d}{dx}}\coth x=1-\coth ^{2}x=-{\hbox{csch}}^{2}x=-1/\sinh ^{2}x\,$

${\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arcoth} \,x={\frac {1}{1-x^{2}}}$

Integrál

$\int \coth ax\,dx=a^{-1}\ln(\sinh ax)+C$, kde C je integrační konstanta