Arkus tangens

Grafy funkcí arkus tangens a arkus kotangens

Arkus tangens je jedna z cyklometrických funkcí, inverzní funkce k funkci tangens. Obvykle se značí arctg x nebo arctan x, v anglické literatuře se taktéž používá atan x či tan⁻¹ x. Její hodnotou je úhel v obloukové míře z intervalu $(-{\tfrac {\pi }{2}};{\tfrac {\pi }{2}})$, popřípadě ve stupňové míře z intervalu (−90°; 90°), jehož tangens je x. Je to jedna z nejdůležitějších funkcí matematické analýzy.

Definice

Funkce arctg x je inverzní funkce k funkci tg x, jejíž definiční obor byl omezen na interval $(-{\tfrac {\pi }{2}};{\tfrac {\pi }{2}})$. Díky tomuto omezení je výchozí funkce prostá, takže požadovaná inverzní funkce existuje.

Vlastnosti

Funkce $y={\mbox{arctg }}x$ v obloukové míře je bijekcí mezi množinou reálných čísel $\mathbb {R}$ a intervalem $(-{\tfrac {\pi }{2}};{\tfrac {\pi }{2}})$, což mimo jiné dokazuje, že každý interval má stejnou mohutnost jako množina reálných čísel.

Dále má tato funkce následující vlastnosti:

Definiční obor	$\mathbb {R}$
Obor hodnot	$(-{\tfrac {\pi }{2}};{\tfrac {\pi }{2}})$
Omezenost	Je omezená
Monotonie	Je rostoucí, a tedy prostá
Symetrie	Je lichá
Periodicita	Není periodická
Limity	$\lim _{x\to -\infty }{\mbox{arctg }}x=-{\tfrac {\pi }{2}}$ $\lim _{x\to +\infty }{\mbox{arctg }}x={\tfrac {\pi }{2}}$ $\lim \limits _{x\rightarrow 0}{{\mbox{arctg }}x \over x}=1,$  takže v okolí nuly je ${\mbox{arctg }}x\approx x$
Inverzní funkce	$x={\mbox{tg }}y$   (tangens)
Derivace	${\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}\,{\mbox{arctg }}x={1 \over {1+x^{2}}}$
Integrál	$\int {\mbox{arctg }}x\;\mathrm {d} x=x\;{\mbox{arctg }}x-{\tfrac {1}{2}}\ln(1+x^{2})+C$
Taylorova řada	$\operatorname {arctg} \,x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}\;{\mbox{ pro }}x\in \langle -1,1\rangle$

Vzorce

${\mbox{arctg }}x={\tfrac {\pi }{2}}-{\mbox{arccotg }}x=\arcsin {\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}}={\tfrac {\pi }{2}}-\arccos {\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}}$

${\mbox{arctg }}(-x)=-{\mbox{arctg }}x$

${\mbox{arctg }}{1 \over x}={\begin{cases}{\tfrac {\pi }{2}}-{\mbox{arctg }}x={\mbox{arccotg }}x&{\text{pokud }}x>0\\-{\tfrac {\pi }{2}}-{\mbox{arctg }}x=-\pi +{\mbox{arccotg }}x&{\text{pokud }}x<0\end{cases}}$

${\tfrac {1}{2}}\,{\mbox{arctg }}x={\mbox{arctg}}\,{x \over 1+{\sqrt {1+x^{2}}}}$

$2\,{\mbox{arctg }}x\equiv {\mbox{arctg}}\,{2x \over 1-x^{2}}{\pmod {\pi }},\quad x\neq \pm 1$

${\mbox{arctg }}x+{\mbox{arctg }}y\equiv {\mbox{arctg}}\,{x+y \over 1-xy}{\pmod {\pi }},\quad xy\neq 1$

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu arkus tangens na Wikimedia Commons