Kosinus

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Graf funkce kosinus

Kosinus je goniometrická funkce.

Pro označení této funkce se obvykle používá značka cos doplněná značkou nezávisle proměnné (zpravidla úhlu).

pravoúhlém trojúhelníku bývá definována jako poměr přilehlé odvěsny a přepony. Definici lze konzistentně rozšířit jak na celá reálná čísla, tak i do oboru komplexních čísel.

Grafem kosinu v reálném oboru je kosinusoida (posunutá sinusoida).

Kosinus na jednotkové kružnici[editovat | editovat zdroj]

Kosinus α na jednotkové kružnici

Kosinus se jednoduše definuje na jednotkové kružnici (kružnici se středem v počátku a s poloměrem 1): Je-li α úhel, který má počáteční rameno v kladné poloose x a je orientovaný od kladné poloosy x proti směru hodinových ručiček), je cos α roven x-ové souřadnici průsečíku této kružnice s koncovým ramenem úhlu α, jinak řečeno, rovná se (v absolutní hodnotě) délce úsečky z počátku k patě kolmice spuštěné z tohoto průsečíku na osu x. Délce této kolmice, přesněji (s ohledem na znaménko) y-ové souřadnici průsečíku jednotkové kružnice s koncovým ramenem úhlu α, je pak roven sin α.

Poloměr, kolmice a tato úsečka tvoří pravoúhlý trojúhelník, pro nějž platí Pythagorova věta, takže platí:

(sin α)2 + (cos α)2 = 1.

Na jednotkové kružnici je také vidět, že kosinus je v prvním a čtvrtém kvadrantu nezáporný (≥ 0), kdežto ve druhém a třetím nekladný (≤ 0). V prvním a druhém kvadrantu je klesající, ve třetím a čtvrtém rostoucí.

Orientovaný úhel lze rozšířit na všechna reálná čísla předpisem v úhlové míře resp. v míře stupňové, kde je celé číslo. Sinus lze tedy konzistentně definovat jako funkci na celé množině reálných čísel:

Kosinus v reálném oboru[editovat | editovat zdroj]

Funkce má následující vlastnosti (kde k je libovolné celé číslo):

  • Definiční obor: (reálná čísla)
  • Obor hodnot:
  • Rostoucí: v každém intervalu
  • Klesající: v každém intervalu
  • Maximum: +1 v bodech
  • Minimum: −1 v bodech
  • Derivace:
  • Integrál:
  • Taylorův polynom:
  • Inverzní funkce (na intervalu a oborem hodnot : Arkus kosinus (arccos)
  • Kosinus dvojnásobného argumentu:
  • je:

Kosinus v komplexním oboru[editovat | editovat zdroj]

Funkce kosinus je v komplexních číslech definována součtem řady

která konverguje na celé komplexní rovině. Pro každá dvě komplexní čísla z1,z2 platí:

Tyto vzorce plynou přímo z příslušných definičních mocninných řad daných funkcí. Kosinus je na celé komplexní rovině jednoznačná holomorfní funkce.

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]