Kosinus

Kosinus je goniometrická funkce úhlu. Zapisuje se jako $\cos \varphi$, kde $\varphi$ je velikost úhlu. Pro ostré úhly je definována v pravoúhlém trojúhelníku jako poměr přilehlé odvěsny a přepony (nejdelší strany). Alternativně lze kosinus definovat jako posunutí sinu po ose $x$ vlevo o úhel ${\frac {\pi }{2}}$ , tj. $\cos x=\sin({\frac {\pi }{2}}-x)$. Definici lze konzistentně rozšířit z oboru reálných čísel do oboru komplexních čísel.

Kosinus v reálném oboru

Funkce $y=\cos x\,\!$ má následující vlastnosti (kde $k$ je libovolné celé číslo):

Kosinusoida

• Definiční obor: $\mathbb {R}$ (reálná čísla)
• Obor hodnot: $\langle -1;1\rangle$
• Rostoucí: v intervalu $\left(\pi +2k\pi ,2\pi +2k\pi \right)$
• Klesající: v intervalu $\left(2k\pi ,\pi +2k\pi \right)$
• Maximum: $1$ v bodech $2k\pi$
• Minimum: $-1$ v bodech $\pi +2k\pi$
• Derivace: $(\cos x)'=-\sin x\,\!$
• Integrál: $\int \cos x\,\mathrm {d} x=\sin x+c$
• Taylorova řada: $\cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-x^{2})^{n}}{(2n)!}}$
• Inverzní funkce na intervalu $\langle -1;1\rangle$ a oborem hodnot $\textstyle \left\langle 0,\pi \right\rangle$: Arkus kosinus (arccos), není prostá na celém $\mathbb {R}$
• Grafem funkce je kosinusoida
• Kosinus dvojnásobného argumentu: $\cos(2x)=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x$
• funkce kosinus je:
  • sudá
  • omezená shora i zdola
  • periodická s periodou $2k\pi$

Kosinus v komplexním oboru

Funkce kosinus je v komplexních číslech definována součtem řady

$\cos z=1-{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}-{\frac {z^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n}}{(2n)!}}$

která konverguje na celé komplexní rovině. Pro každá komplexní čísla $z$, $z_{1}$ a $z_{2}$ platí:

$\cos z={\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}},$

$\cos \left(z_{1}+z_{2}\right)=\cos z_{1}\cos z_{2}-\sin z_{1}\sin z_{2},$

$\cos iz=\cosh z,\,$

Tyto vzorce plynou přímo z příslušných definičních mocninných řad daných funkcí. Kosinus je jednoznačná celá funkce.

Kosinus na jednotkové kružnici

cos $\alpha$ na jednotkové kružnici

Kosinus se jednoduše definuje na jednotkové kružnici (kružnici se středem v počátku a s poloměrem jedna): Je-li $\alpha$ úhel, který má počáteční rameno v kladné poloose $x$ a je orientovaný od kladné poloosy $x$ proti směru hodinových ručiček, je $\cos \alpha$ roven $x$-ové souřadnici průsečíku této kružnice s koncovým ramenem úhlu $\alpha$, jinak řečeno, rovná se (v absolutní hodnotě) délce úsečky z počátku k patě kolmice spuštěné z tohoto průsečíku na osu $x$. Délce této kolmice, přesněji (s ohledem na znaménko) $y$-ové souřadnici průsečíku jednotkové kružnice s koncovým ramenem úhlu $\alpha$, je pak roven $\sin \alpha$.

Poloměr, kolmice a tato úsečka tvoří pravoúhlý trojúhelník, pro nějž platí Pythagorova věta, takže platí:

$(\sin \alpha )^{2}+(\cos \alpha )^{2}=1$.

Na jednotkové kružnici je také vidět, že kosinus je v prvním a čtvrtém kvadrantu nezáporný ($\geq 0$), kdežto ve druhém a třetím nekladný ($\leq 0$). V prvním a druhém kvadrantu je klesající, ve třetím a čtvrtém rostoucí.

Orientovaný úhel lze rozšířit na všechna reálná čísla předpisem $\alpha +k\cdot 2\pi$ v úhlové míře resp. $\alpha +k\cdot 360^{\circ }$ v míře stupňové, kde $k$ je celé číslo. Kosinus lze tedy konzistentně definovat jako funkci na celé množině reálných čísel.

Odkazy

Související články

• Kosinová věta
• Sinus
• Trigonometrie
• Goniometrie
• Goniometrické funkce

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu kosinus na Wikimedia Commons
• Slovníkové heslo kosinus ve Wikislovníku

Portály: Matematika