Celé číslo

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Celá čísla se skládají z přirozených čísel (1, 2, 3, …), nuly a záporných celých čísel (-1, -2, -3, …). Množina celých čísel se v matematice většinou označuje Z, nebo \mathbb{Z}, podle Zahlen (německy čísla). Podobně jako přirozená čísla, tvoří celá čísla nekonečnou spočetnou množinu. Studiem celých čísel se zabývá teorie čísel.

Algebraické vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Množina celých čísel Z je uzavřená na operaci sčítání a násobení, to znamená, že součet i součin dvou celých čísel je opět celé číslo. Navíc oproti přirozeným číslům je uzavřená i pro odčítání. Není však uzavřena pro dělení, neboť podíl dvou celých čísel už nemusí být celé číslo (např. 1/2).

Následující tabulka ukazuje základní vlastnosti násobení a sčítaní pro jakákoliv celá čísla a, b, c.

sčítání násobení
uzavřenost: a + b   je celé číslo a × b   je celé číslo
asociativita: a + (b + c)  =  (a + b) + c a × (b × c)  =  (a × b) × c
komutativita: a + b  =  b + a a × b  =  b × a
existence neutrálního prvku: a + 0  =  a a × 1  =  a
existence inverzního prvku: a + (−a)  =  0
distributivita: a × (b + c)  =  (a × b) + (a × c)
Bez dělitelů nuly: jestliže ab = 0, pak buď a = 0 nebo b = 0


V algebře tvoří Z s prvními pěti vlastnostmi uvedenými výše na operaci sčítání Abelovskou grupu. Grupa Z s operací sčítaní je cyklická, protože každý nenulový prvek může být vyjádřen konečným součtem (např 1 + 1 + … + 1 nebo (−1) + (−1) + … + (−1)). Říkáme tedy, že grupa Z s operací sčítání je nekonečná cyklická grupa a tedy každá nekonečná cyklická grupa je isomorfní Z.

První čtyři vlastnosti uvedené výše s operací násobení říkají, že Z s touto operací je komutativní monoid. Ale ne každý prvek ze Z má inverzní prvek (ve smyslu násobení), prostě neexistuje takové celé číslo x, které by vyhovovalo rovnici 2x = 1. To znamená, že Z netvoří spolu s operací násobení grupu.

Všechny vlastnosti z tabulky, kromě poslední, dohromady s operacemi sčítání a násobení na Z tvoří komutativní okruh s jednotkou. Přidáním poslední vlastnosti získáme obor integrity nad Z.

Neexistence inverzních prvků vzhledem k násobení, neboli že Z není uzavřena na dělení, znamená, že Z není těleso. Nejmenším tělesem obsahujícím celá čísla je tedy těleso racionálních čísel. Podobně se dá definovat i podílové těleso jakéhokoliv oboru integrity.

Přestože běžné děleni není na Z definováno, neznamená to, že nemůžeme používat algoritmus dělení, ten říká: mějme dvě celá čísla a a b, kde b ≠ 0, pak existují právě dvě celá čísla q a r taková, že a = q × b + r a 0 ≤ r < |b|, kde |b| značí absolutní hodnotu b. Celé číslo q se nazývá kvocient a r se nazývá zbytek po dělení čísla a číslem b. To tvoří základ pro Eukleidův algoritmus k výpočtu největšího společného dělitele.

Konstrukce[editovat | editovat zdroj]

Celá čísla mohou být zkonstruována z přirozených čísel definováním tříd ekvivalence dvojic čísel N×N s relací ekvivalence, „~“, kde

 (a,b) \sim (c,d) \,\!

právě tehdy, když

a+d = b+c. \,\!

Kdybychom brali 0 jako přirozené číslo, pak přirozená čísla můžeme považovat za čísla celá vnořením, které přirozenému číslu n přiřadí [(n,0)], kde [(a,b)] značí třídu ekvivalence, která obsahuje (a,b).

Sčítání a násobení celých čísel je definováno následovně:

[(a,b)]+[(c,d)] := [(a+c,b+d)].\,
[(a,b)]\cdot[(c,d)] := [(ac+bd,ad+bc)].\,

Dá se lehce ověřit, že výsledek je nezávislý na volbě reprezentantů třídy ekvivalence.

Typicky, [(a,b)] je označení pro

\begin{cases} n, & \mbox{if }  a \ge b  \\ -n,  & \mbox{if } a < b, \end{cases}

kde

n = |a-b|.\,

Jestliže přirozená čísla přiřadíme k odpovídajícím celým číslům (použitím výše uvedeného vnoření), pak toto přiřazení je jednoznačné.

Příklady:

\begin{align}
 0 &= [(0,0)] &= [(1,1)] &= \cdots & &= [(k,k)] \\
 1 &= [(1,0)] &= [(2,1)] &= \cdots & &= [(k+1,k)] \\
-1 &= [(0,1)] &= [(1,2)] &= \cdots & &= [(k,k+1)] \\
 2 &= [(2,0)] &= [(3,1)] &= \cdots & &= [(k+2,k)] \\
-2 &= [(0,2)] &= [(1,3)] &= \cdots & &= [(k,k+2)]
\end{align}

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Integer na anglické Wikipedii.