Racionální číslo

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Racionální číslo je číslo, které lze vyjádřit jako zlomek, tj. podíl dvou celých čísel, většinou zapsaný ve tvaru \frac{a}{b} nebo a/b, kde b není nula.

Název pochází z latinského ratio - podíl.

U zlomku \frac{a}{b} se číslo a označuje jako čitatel, číslo b jako jmenovatel (neboť určuje jméno zlomku: 1/2 je jedna polovina, 1/3 je jedna třetina, 1/4 je jedna čtvrtina atd.).

Každé racionální číslo lze vyjádřit nekonečně mnoha zlomky, např. 1/2=2/4=3/6=... . Nejjednodušší je tvar, ve kterém a a b jsou nesoudělná čísla a b je kladné. Každé racionální číslo tento tzv. základní tvar má a je dán jednoznačně.

Desetinný rozvoj racionálního čísla je periodický. V případě konečného rozvoje - desetinného čísla - tvoří periodu nuly.

Množina všech racionálních čísel se značí Q nebo \mathbb{Q}, z latinského quotient - podíl. Reálné číslo, které není racionální, se nazývá iracionální číslo. Iracionální čísla jsou např. \sqrt{2} nebo \pi.


Počítání se zlomky[editovat | editovat zdroj]

Zlomky se dají sčítat a násobit:

\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd}
\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}

Dva zlomky a \over b a c \over d vyjadřují stejné racionální číslo tehdy a jen tehdy, když a d = b c.

Ke každému racionálnímu číslu existuje číslo opačné a ke každému nenulovému i převrácené:

- \left( \frac{a}{b} \right) = \frac{-a}{b} pokud  b \neq 0
\left(\frac{a}{b}\right)^{-1} = \frac{b}{a} pokud  a \neq 0 a zároveň  b \neq 0

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Množina racionálních čísel \mathbb{Q} společně s operacemi sčítání a násobení tvoří komutativní těleso. Je to tzv. podílové těleso oboru celých čísel, tj. nejmenší těleso, které obsahuje všechna celá čísla.

Množina \mathbb{Q} je spočetná; jelikož množina všech reálných čísel je nespočetná, jsou skoro všechna reálná čísla iracionální (ve smyslu Lebesgueovy míry). Racionální čísla však tvoří hustou podmnožinu množiny reálných čísel \mathbb{R} – ke každému reálnému číslu lze libovolně blízko najít racionální číslo neboli každé reálné číslo lze s libovolnou přesností nahradit racionálním číslem.

Související články[editovat | editovat zdroj]