Lebesgueova míra

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

Lebesgueova míra, pojmenovaná po francouzském matematikovi Henri Lebesgueovi, je v teorii míry standardní způsob přiřazení míry podmnožinám n-rozměrného eukleidovského prostoru. Pro n = 1, 2 nebo 3 se shoduje se standardním pojmem délky, plochy nebo objemu. Obecně se nazývá n-rozměrný objem, n-objem nebo jednoduše objem[pozn. 1]. Lebesgueova míra se používá v analýze v reálném oboru především pro definici Lebesgueova integrálu. Množiny, kterým lze přiřadit Lebesgueovu míru, se nazývají Lebesgueovsky měřitelné; míra Lebesgueovsky měřitelné množiny A se v tomto článku označuje λ(A).

Henri Lebesgue popsal tuto míru v roce 1901 a následující rok vyšel jeho popis Lebesgueova integrálu. Obojí bylo publikováno jako část jeho disertace v roce 1902[1].

Lebesgueova míra se často značí dx; toto označení se však nesmí zaměňovat se stejně značenou objemovou formou variety.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Jestliže délku (otevřeného, uzavřeného nebo polouzavřeného) intervalu označíme , pak pro libovolnou podmnožinu definujeme její Lebesgueovu vnější míru[2] jako

.

Lebesgueova míra je definovaná na Lebesgueově sigma algebře, která je kolekcí všech množin E splňujích „Carathéodoryovo kritérium“. Toto kritérium požaduje, aby pro každé

.

Pro libovolnou množinu v Lebesgueově sigma algebře se Lebesgueova míra rovná její Lebesgueově vnější míře .

Množiny, která nepatří do Lebesgueovy sigma algebry, nejsou Lebesgueovsky měřitelné. Takové množiny existují, tj. Lebesgueova sigma algebra je obsažena v potenční množině .

Intuice[editovat | editovat zdroj]

První část definice říká, že podmnožina reálných čísel je omezena na svou vnější míru pokrytím množinami otevřených intervalů. Každá z těchto množin intervalů pokrývá v tom smyslu, že sjednocení intervalů obsahuje . Celková velikost libovolné množiny intervalů pokrytí může být klidně větší než míra , protože je podmnožinou sjednocení intervalů, a intervaly tedy mohou obsahovat i body, které v nejsou. Lebesgueova vnější míra je největší dolní závora (infimum) velikostí všech možných takových množin. Intuitivně je to celková velikost takové množiny intervalů, které se vejdou do co nejtěsněji a nepřekrývají se.

Tím je definována Lebesgueova vnější míra. Zda je tato vnější míra také Lebesgueovou mírou množiny , závisí na další podmínce. Tato podmínka se ověřuje pomocí podmnožin reálných čísel , z nichž každá množinu rozděluje na dvě části: první část patří do i do (tj. průnik a ), druhá část patří do , ale nepatří do (tj. množinový rozdíl a ). Na tyto dvě části množiny se aplikuje vnější míra. Pokud součet vnějších měr obou částí je roven vnější míře celé množiny a toto platí pro všechny množiny , která jsou podmnožinou reálných čísel, pak Lebesgueova míra množiny je rovna její vnější míře. Intuitivně to znamená, že množina nesmí mít nějaké podivné vlastnosti, které způsobí rozdíl v míře jiné množiny, pokud je nožina použita jako „maska“, která „vyřezává“ z množin části, pro které Lebesgueova vnější míra nevytváří Lebesgueovu míru. (Takové množiny nejsou Lebesgueovsky měřitelné.)

Příklady[editovat | editovat zdroj]

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Translační invariance: Lebesgueova míra množiny je stejná jako množiny .

Lebesgueova míra na ℝn má následující vlastnosti:

  1. Jestliže A je kartézský součin intervalů I1 × I2 × ... × In, pak A je Lebesgueovsky měřitelná a , kde označuje délku intervalu I.
  2. Jestliže A je disjunktní sjednocení spočetně mnoha disjunktních Lebesgueovsky měřitelných množin, pak A je také Lebesgueovsky měřitelná a λ(A) se rovná sumě měr příslušných množin.
  3. Jestliže A je Lebesgueovsky měřitelná, pak je měřitelný i její doplněk.
  4. λ(A) ≥ 0 pro každou Lebesgueovsky měřitelnou množinu A.
  5. Jestliže A a B jsou Lebesgueovsky měřitelné a A je podmnožina B, pak λ(A) ≤ λ(B). (Důsledek bodů 2, 3 a 4.)
  6. Spočetná sjednocení a průniky Lebesgueovsky měřitelných množin jsou Lebesgueovsky měřitelné. (Toto není důsledek bodů 2 a 3, protože systém množin, který je uzavřený na doplňky a disjunktní spočetná sjednocení, nemusí být uzavřený na spočetná sjednocení: .)
  7. Jestliže A je otevřený nebo uzavřený podmnožina ℝn (nebo dokonce borelovská množina, viz metrický prostor), pak A je Lebesgueovsky měřitelná.
  8. Jestliže A je Lebesgueovsky měřitelná množina, pak je „skoro otevřená“ i „skoro uzavřená“ ve smyslu Lebesgueovy míry (viz věta o regularitě pro Lebesgueovu míru).
  9. Lebesgueovsky měřitelnou množinu lze „vmáčknout“ mezi nějakou její otevřenou nadmnožinu a uzavřenou podmnožinu. Tato vlastnost se používá jako alternativní definice Lebesgueovské měřitelnosti. Přesněji je Lebesgueovsky měřitelná právě tehdy, když pro každé existuje otevřená množina a uzavřená množina tak, že a .[6]
  10. Lebesgueovsky měřitelnou množinu lze „vmáčknout“ mezi nějakou její nadmnožinu Gδset a podmnožinu Fσ. Tj. pokud A je ebesgueovsky měřitelná , pak existuje nějaké Gδset G a nějaké Fσ F takové, že G ⊇ A ⊇ F a λ(G \ A) = λ(A \ F) = 0.
  11. Lebesgueova míra, která je lokálně konečná a vnitřně regulární, je Radonova míra.
  12. Lebesgueova míra je striktně kladná na neprázdných otevřených množinách, takže její podpora je celé ℝn.
  13. Jestliže A je Lebesgueovsky měřitelná množina s λ(A) = 0 (množina míry nula), pak každá podmnožina A je také množina míry nula. V důsledku toho je každá podmnožina A také měřitelná.
  14. Jestliže A je Lebesgueovsky měřitelná a x je prvek ℝn, pak translace A by x, definovaný by A + x = {a + x : aA}, je také Lebesgueovsky měřitelná a má stejnou míru jako A.
  15. Jestliže A je Lebesgueovsky měřitelná a , pak dilation o definovaná vztahem je také Lebesgueovsky měřitelná a má míru
  16. Obecněji, jestliže T je lineární transformace a A je měřitelná podmnožina ℝn, pak T(A) je také Lebesgueovsky měřitelná a má míru .

Všechny výše uvedené body lze stručně shrnout takto:

Lebesgueovsky měřitelné množiny vytvářejí σ-algebru obsahující všechny součiny intervalů a λ je jednoznačná úplná translačně invariantní míra, na této σ-algebře taková, že

Lebesgueova míra je také σ-konečná.

Množiny míry nula[editovat | editovat zdroj]

Libovolná podmnožina ℝn je množinou míry nula, jestliže pro každé ε > 0 může být pokryta spočetně mnoha součiny n intervalů, jejichž celkový objem je nejvýše ε. Všechny spočetné množiny jsou množinami míry nula.

Jestliže nějaká podmnožina ℝnHausdorffovu dimenzi menší než n, pak je to množina míry nula vzhledem k n-rozměrné Lebesgueově míře. Hausdorffova dimenze je relativní vůči Eukleidově metrice na ℝn (nebo libovolné metrice s ní Lipschitzovsky ekvivalentní). Na druhou stranu, množina, která má topologickou dimenzi menší než n, může mít kladnou n-rozměrnou Lebesgueovu míru. Příkladem je Smithova-Volterraova-Cantorova množina, která má topologickou dimenzi 0, ale má kladnou 1-rozměrnou Lebesgueovu míru.

Pro důkaz, že daná množina A je Lebesgueovsky měřitelná, se obvykle snažíme nalézt "hezčí" množinu B který se od A liší nejvýše o množinu míry nula (tj. symetrická diference (AB) (BA) je množina míry nula) a pak ukázat, že B lze generovat z otevřených nebo uzavřených množin pomocí spočetných sjednocení a průniků.

Konstrukce Lebesgueovy míry[editovat | editovat zdroj]

Moderní konstrukce Lebesgueovy míry je aplikací Carathéodoryovy věty o rozšíření:

Nechť nN pevné. kostka v ℝn je množina tvaru

kde biai a symbol součinu zde znamená kartézský součin. Objem této kostky je definovaný vztahem

Pro libovolnou podmnožinu A množiny ℝn, můžeme definovat její vnější míru λ*(A) takto:

Pak řekneme, že množina A je Lebesgueovsky měřitelná, jestliže pro každou podmnožinu S množiny ℝn,

Tyto Lebesgueovsky měřitelné množiny vytvářejí σ-algebru a Lebesgueova míra je definována vztahem λ(A) = λ*(A) pro libovolnou Lebesgueovsky měřitelnou množinu A.

Existence množin, které nejsou Lebesgueovsky měřitelné, je důsledkem axiomu výběru, který je nezávislý na mnoha obvyklých systémech axiomů teorie množin. Vitaliho věta, která vyplývá z axiomu výběru, tvrdí, že existují podmnožiny ℝ, které nejsou Lebesgueovsky měřitelné. S použitím axiomu výběru lze zkonstruovat různé neměřitelné množiny s mnoha překvapivými vlastnostmi, např. Banachův-Tarského paradox.

V roce 1970 ukázal Robert M. Solovay, že existence množin, které nejsou Lebesgueovsky měřitelné, není dokazatelná v rámci Zermelovy-Fraenkelovy teorie množin bez použití axiomu výběru (viz Solovayův model).[7]

Vztah k jiným mírám[editovat | editovat zdroj]

Borelovská míra souhlasí s Lebesgueovou mírou na těch množinách, pro které je definovaná; ale existuje mnohem více lebesgueovsky měřitelných množin než borelovsky měřitelných množin. Borelovská míra je translačně invariantní, ale není úplná.

Haarova míra může být definována na libovolné lokálně kompaktní grupě a je zobecněním Lebesgueovy míry (ℝn s přídavek je lokálně kompaktní grupa).

Hausdorffova míra je zobecněním Lebesgueovy míry na jest užitečný pro určení míry podmnožiny ℝn nižších dimenzí než n, jako podvariety, například povrchy nebo křivky v ℝ³ a fraktální množiny. Nezaměňujte Hausdorffovu míru s pojetím Hausdorffovy dimenze.

Lze ukázat, že nekonečněrozměrná Lebesgueova míra neexistuje.

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Poznámky[editovat | editovat zdroj]

  1. Termín objem se častěji používá ve speciálnějším významu jako synonymum 3-rozměrného objemu

Reference[editovat | editovat zdroj]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Lebesgue measure na anglické Wikipedii.

  1. LEBESGUE, Henri. Intégrale, longueur, aire. Paříž: Université de Paris, 1902. 
  2. ROYDEN, H.L. Real analysis. 3. vyd. New York: Macmillan, 1988. ISBN 978-0024041517. 
  3. Asaf Karagila. What sets are Lebesgue-measurable? [online]. math stack exchange [cit. 2015-09-26]. Dostupné online. 
  4. Asaf Karagila. Is there a sigma-algebra on R strictly between the Borel and Lebesgue algebras? [online]. math stack exchange [cit. 2015-09-26]. Dostupné online. 
  5. OSGOOD, William F. A Jordan Curve of Positive Area. Transactions of the American Mathematical Society. American Mathematical Society, leden 1903, roč. 4, čís. 1. ISSN 0002-9947. DOI:10.2307/1986455. 
  6. CAROTHERS, N. L. Real Analysis. Cambridge: Cambridge University Press, 2000. 293 s. ISBN 9780521497565. 
  7. SOLOVAY, Robert M. A model of set-theory in which every set of reals is Lebesgue measurable. Annals of Mathematics. 1970, s. 1-56. DOI:10.2307/1970696. 

Související články[editovat | editovat zdroj]