Absolutní hodnota

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

V matematice označuje pojem absolutní hodnota čísla x nezáporné reálné číslo, které lze chápat jako velikost či vzdálenost čísla od nuly. Konkrétně |x| = x pro kladné x, |x| = -x pro záporné x a |0| = 0. Například, absolutní hodnota čísla 3 je 3 a absolutní hodnota čísla -3 je také 3.

Absolutní hodnota je definována například i pro komplexní čísla, kvaterniony či vektorové prostory. Absolutní hodnota je úzce spjata s pojmy velikost, vzdálenost, a norma v různých matematických a fyzikálních souvislostech.

Zápis |x|, se svislou čarou na každé straně, představil Karl Weierstrass v roce 1841. Stejný zápis se užívá taktéž k označení mohutnosti.

Definice a vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Reálná čísla[editovat | editovat zdroj]

Absolutní hodnota reálného čísla a je definována následovně:

Jak je patrné z výše uvedené definice, absolutní hodnota x je vždy buď pozitivní, nebo nula, ale nikdy negativní. Geometrický význam absolutní hodnoty reálného čísla je vzdálenost obrazu čísla na reálné ose od počátku - obrazu nuly.

Absolutní hodnota reálných čísel se někdy definuje také jako

a má následující vlastnosti:

  1. (trojúhelníková nerovnost)
  2. (kde b ≠ 0)

Další dvě užitečné vlastnosti týkající se nerovnosti jsou:

Tyto vztahy se často používají pro řešení nerovnic s absolutní hodnotou.

Například:


Pro reálná čísla je funkce

spojitá ve všech bodech a diferencovatelná ve všech bodech kromě x = 0. Pro komplexní čísla je absolutní hodnota spojitá ve všech bodech, ale není diferencovatelná v žádném bodě.

Absolutní hodnota není (ve svém maximálním definičním oboru) prostá funkce, protože čísla x a −x mají stejnou absolutní hodnotu.

Komplexní čísla[editovat | editovat zdroj]

Absolutní hodnota komplexního čísla je definována jako jeho vzdálenost od počátku Gaussově rovině.

Pro komplexní číslo

, kde a a b jsou reálná čísla

definujeme absolutní hodnotu jako

.

Pokud imaginární část b je rovna nule, pak je absolutní hodnota komplexního rovna absolutní hodnotě reálného čísla a.

Pokud je komplexní číslo v exponenciálním (polárním) tvaru jako

kde r ≥ 0 a θ náleží reálným číslům

absolutní hodnota je

.

Absolutní hodnota komplexního čísla může být definována také jako

, kde z s pruhem je číslo komplexně sdružené k z.

Komplexní absolutní hodnota má všechny vlastnosti reálné absolutní hodnoty uvedené v rovnicích (1) - (10) výše.

Kvaterninony[editovat | editovat zdroj]

Pro kvaternion h lze definovat jeho absolutní hodnotu neboli normu jako

Kvaterninon v algebraickém tvaru h=a+bi+cj+dk má normu

Vektory[editovat | editovat zdroj]

Absolutní hodnota (častěji norma) nebo délka vektoru z trojrozměrného euklidovského prostoru je dána výrazem

Pomocí souřadnic vektoru v ortonormální bázi je jeho norma dána výrazem

Pomocí skalárního součinu lze normu přirozeně obecně definovat jako

Pro normu vektoru se někdy používá spíše označení ||x||, aby se zdůraznilo, že argumentem normy není číslo, ale vektor.

Abstraktně se norma na komplexním vektorovém prostoru zavádí jako reálná funkce těmito požadavky:

  • (nezápornost),
  • (definitnost),
  • (homogenita),
  • (trojúhelníková nerovnost),

pro všechny

Prostory[editovat | editovat zdroj]

Základní vlastnosti absolutní hodnoty pro reálná čísla 1.-5. uvedené výše, mohou být použity k zobecnění absolutní hodnoty v libovolném prostoru, a to následovně.

Reálná funkce v v poli F se nazývá absolutní hodnota pokud splňuje tyto čtyři axiómy:

Reálná a komplexní absolutní hodnota jsou příklady absolutních hodnot pro libovolné pole.

Jestliže v je absolutní hodnota F, pak funkce d na F × F, kde d(a, b) = v(a - b), je metrikou a platí následující:

  • d splňuje nerovnost pro všechna x,y,z, jež náleží F
  • je omezená v R
  • pro každé
  • pro všechna
  • pro všechna

Funkce absolutní hodnota[editovat | editovat zdroj]

Graf funkce absolutní hodnoty reálného čísla

Funkce reálné absolutní hodnoty je spojitá, klesající na intervalu (-, 0] a rostoucí na intervalu [0, +). Vzhledem k tomu, reálné číslo a číslo opačné k němu mají stejnou absolutní hodnotu, je funkce absolutní hodnoty sudá.

Vztah absolutní hodnoty k funkci signum[editovat | editovat zdroj]

Pro definici absolutní hodnoty za pomoci funkce signum si nejprve stručně definujme funkci signum. Jedná se o matematickou funkci, která libovolnému číslu x přiřazuje hodnoty jedna, nula nebo mínus jedna podle následujícího:

Podle výše uvedeného jsme schopni definovat absolutní hodnotu:

nebo

a pro x ≠ 0,

První vzorec nám tedy říká, že absolutní hodnotu čísla x vypočteme jako součin čísla x a znaménka, které mu určuje funkce signum.

Derivace[editovat | editovat zdroj]

Funkce absolutní hodnoty má derivaci v x ≠ 0, ale nelze ji derivovat v x = 0. Její derivaci pro x ≠ 0 určuje jednotkový skok

Druhá derivace |x| podle x je nula všude kromě x=0, kde neexistuje.

Neurčitý integrál[editovat | editovat zdroj]

Neurčitý integrál (primitivní funkce) funkce absolutní hodnoty je:

kde C je libovolná integrační konstanta.

Vzdálenost[editovat | editovat zdroj]

Absolutní hodnota je úzce souvisí s myšlenkou vzdálenosti. Jak bylo uvedeno výše, absolutní hodnota reálného nebo komplexního čísla je vzdálenost čísla od počátku (na reálné ose pro reálná čísla, v komplexní rovině pro komplexní čísla). Obecně je absolutní hodnota rozdílu dvou skutečných nebo komplexních čísel vzdálenost mezi nimi.

Standardní eukleidovská metrika mezi dvěma body

a

je v eukleidovském prostoru definována jako

Absolutní hodnotu rozdílu |a-b|, kde a i b jsou reálná čísla lze vyjádřit jako

Zatímco absolutní hodnotu rozdílu |a-b|, kde a i b jsou komplexní čísla

a , pak

Reálná funkce d X × X se nazývá metrika, jestliže to splňuje tyto čtyři axiómy: