Absolutní hodnota

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

V matematice označuje pojem absolutní hodnota čísla x nezáporné reálné číslo, které lze chápat jako velikost či vzdálenost čísla od nuly. Konkrétně |x| = x pro kladné x, |x| = -x pro záporné x a |0| = 0. Například, absolutní hodnota čísla 3 je 3 a absolutní hodnota čísla -3 je také 3.

Absolutní hodnota je definována například i pro komplexní čísla, kvaterniony či vektorové prostory. Absolutní hodnota je úzce spjata s pojmy velikost, vzdálenost, a norma v různých matematických a fyzikálních souvislostech.

Zápis |x|, se svislou čarou na každé straně, představil Karl Weierstrass v roce 1841. Stejný zápis se užívá taktéž k označení mohutnosti.

Definice a vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Reálná čísla[editovat | editovat zdroj]

Absolutní hodnota reálného čísla a je definována následovně:

|a| = \begin{cases} a, & \mbox{pokud }  a \ge 0  \\ -a,  & \mbox{pokud } a < 0 \end{cases}

Jak je patrné z výše uvedené definice, absolutní hodnota x je vždy buď pozitivní, nebo nula, ale nikdy negativní. Geometrický význam absolutní hodnoty reálného čísla je vzdálenost obrazu čísla na reálné ose od počátku - obrazu nuly.

Absolutní hodnota reálných čísel se někdy definuje také jako

|a| = \sqrt{a^2}

a má následující vlastnosti:

  1. |a| \ge 0
  2. |a| = 0 \Leftrightarrow a = 0
  3. \ |ab| = |a|.|b|
  4. |a+b| \le |a| + |b| (trojúhelníková nerovnost)
  5. |(|a|)|=|a|
  6. |-a|=a
  7. |a-b|=0\Leftrightarrow a=b
  8. |a-b|\leq |a-c|+|c-b|
  9. \bigg|\frac{a}{b}\bigg| = \frac{|a|}{|b|} (kde b ≠ 0)
  10. \ |a-b| \ge \Big|(|a| -|b|)\Big|

Další dvě užitečné vlastnosti týkající se nerovnosti jsou:

\ |a| \le b \Leftrightarrow -b \le a \le b

\ |a| \ge b \Leftrightarrow a \le -b \lor b \le a

Tyto vztahy se často používají pro řešení nerovnic s absolutní hodnotou.

Například:
|x-3|\leq9\Leftrightarrow -9\leq x-3\leq9

\Leftrightarrow-6\leq x\leq12

Pro reálná čísla je funkce

\ f(x) = |x|

spojitá ve všech bodech a diferencovatelná ve všech bodech kromě x = 0. Pro komplexní čísla je absolutní hodnota spojitá ve všech bodech, ale není diferencovatelná v žádném bodě.

Absolutní hodnota není (ve svém maximálním definičním oboru) prostá funkce, protože čísla x a −x mají stejnou absolutní hodnotu.

Komplexní čísla[editovat | editovat zdroj]

Absolutní hodnota komplexního čísla je definována jako jeho vzdálenost od počátku Gaussově rovině.

Pro komplexní číslo

\ z = a + bi, kde a a b jsou reálná čísla

definujeme absolutní hodnotu jako

\ |z| = \sqrt{a^2+b^2}.

Pokud imaginární část b je rovna nule, pak je absolutní hodnota komplexního rovna absolutní hodnotě reálného čísla a.

Pokud je komplexní číslo v exponenciálním (polárním) tvaru jako

z = r e^{i \theta} kde r ≥ 0 a θ náleží reálným číslům

absolutní hodnota je

|z|=r.

Absolutní hodnota komplexního čísla může být definována také jako

|z| = \sqrt{z \cdot \overline{z}}, kde z s pruhem je číslo komplexně sdružené k z.

Komplexní absolutní hodnota má všechny vlastnosti reálné absolutní hodnoty uvedené v rovnicích (1) - (10) výše.

Kvaterninony[editovat | editovat zdroj]

Pro kvaternion h lze definovat jeho absolutní hodnotu neboli normu jako |h| = \sqrt{h h^*}.

Kvaterninon v algebraickém tvaru h=a+bi+cj+dk má normu |h| = \sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2}.

Vektory[editovat | editovat zdroj]

Absolutní hodnota (častěji norma) nebo délka vektoru z trojrozměrného euklidovského prostoru \mbox{x}=(x_1,x_2,x_3) \in \mathbb{R}^3 je dána výrazem \left | \mbox{x} \right | = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 +  x_3^2}.

Pomocí souřadnic vektoru \mbox{x} \in \mathbb{C}^n v ortonormální bázi je jeho norma dána výrazem

\left | \mbox{x} \right | = \sqrt{|x_1|^2 + |x_2|^2 + ... + |x_n|^2}.

Pomocí skalárního součinu lze normu přirozeně obecně definovat jako \left | \mbox{x} \right | = \sqrt{\mbox{x} \cdot \mbox{x}}

Pro normu vektoru se někdy používá spíše označení ||x||, aby se zdůraznilo, že argumentem normy není číslo, ale vektor.

Abstraktně se norma na komplexním vektorovém prostoru V zavádí jako reálná funkce těmito požadavky:

pro všechny x,y \in V, \lambda \in \mathbb{C}

Prostory[editovat | editovat zdroj]

Základní vlastnosti absolutní hodnoty pro reálná čísla 1.-5. uvedené výše, mohou být použity k zobecnění absolutní hodnoty v libovolném prostoru, a to následovně.

Reálná funkce v v poli F se nazývá absolutní hodnota pokud splňuje tyto čtyři axiómy:


v(a) \ge 0

v(a) = 0 \iff a = \mathbf{0}

v(ab) = v(a) v(b)

v(a+b)  \le v(a) + v(b)

Reálná a komplexní absolutní hodnota jsou příklady absolutních hodnot pro libovolné pole.

Jestliže v je absolutní hodnota F, pak funkce d na F × F, kde d(a, b) = v(a - b), je metrikou a platí následující:

  • d splňuje nerovnost d(x, y) \leq \max(d(x,z),d(y,z)) pro všechna x,y,z, jež náleží F
  •  \big\{ v\Big({\textstyle \sum_{k=1}^n } \mathbf{1}\Big) : n \in \mathbb{N} \big\} je omezená v R
  •  v\Big({\textstyle \sum_{k=1}^n } \mathbf{1}\Big) \le 1\ pro každé n \in \mathbb{N}.
  •  v(a) \le 1 \Rightarrow v(1+a) \le 1\ pro všechna a \in F.
  •  v(a + b) \le \mathrm{max}\{v(a), v(b)\}\  pro všechna a, b \in F.

Funkce absolutní hodnota[editovat | editovat zdroj]

Graf funkce absolutní hodnoty reálného čísla

Funkce reálné absolutní hodnoty je spojitá, klesající na intervalu (-\infty, 0] a rostoucí na intervalu [0, +\infty). Vzhledem k tomu, reálné číslo a číslo opačné k němu mají stejnou absolutní hodnotu, je funkce absolutní hodnoty sudá.

Vztah absolutní hodnoty k funkci signum[editovat | editovat zdroj]

Pro definici absolutní hodnoty za pomoci funkce signum si nejprve stručně definujme funkci signum. Jedná se o matematickou funkci, která libovolnému číslu x přiřazuje hodnoty jedna, nula nebo mínus jedna podle následujícího:

x>0: sign(x)=1

x=0: sign(x) = 0

x<0: sign(x) = -1

Podle výše uvedeného jsme schopni definovat absolutní hodnotu:

|x| = sign(x) \cdot x\,

nebo

 |x|. \sgn(x) = x,

a pro x ≠ 0,

 \sgn(x) = \frac{|x|}{x}.

První vzorec nám tedy říká, že absolutní hodnotu čísla x vypočteme jako součin čísla x a znaménka, které mu určuje funkce signum.

Derivace[editovat | editovat zdroj]

Funkce absolutní hodnoty má derivaci v x ≠ 0, ale nelze ji derivovat v x = 0. Její derivaci pro x ≠ 0 určuje jednotkový skok

 \frac{d|x|}{dx} = \frac{x}{|x|} = \begin{cases} -1 & x<0 \\  1 & x>0. \end{cases}

Druhá derivace |x| podle x je nula všude kromě x=0, kde neexistuje.

Neurčitý integrál[editovat | editovat zdroj]

Neurčitý integrál (primitivní funkce) funkce absolutní hodnoty je:

 \int|x|dx=\frac{x|x|}{2}+C, kde C je libovolná integrační konstanta.

Vzdálenost[editovat | editovat zdroj]

Absolutní hodnota je úzce souvisí s myšlenkou vzdálenosti. Jak bylo uvedeno výše, absolutní hodnota reálného nebo komplexního čísla je vzdálenost čísla od počátku (na reálné ose pro reálná čísla, v komplexní rovině pro komplexní čísla). Obecně je absolutní hodnota rozdílu dvou skutečných nebo komplexních čísel vzdálenost mezi nimi.

Standardní eukleidovská metrika mezi dvěma body

 a = (a_1, a_2, \dots , a_n)

a

 b = (b_1, b_2, \dots , b_n)

je v eukleidovském prostoru definována jako

 \sqrt{\sum_{i=1}^n(a_i-b_i)^2}.

Absolutní hodnotu rozdílu |a-b|, kde a i b jsou reálná čísla lze vyjádřit jako

 |a - b| = \sqrt{(a - b)^2}.

Zatímco absolutní hodnotu rozdílu |a-b|, kde a i b jsou komplexní čísla

  a = a_1 + i a_2  a   b = b_1 + i b_2  , pak

 
|a - b| 	 = |(a_1 + i a_2) - (b_1 + i b_2)|

 
 = |(a_1 - b_1) + i(a_2 - b_2)|

 
= \sqrt{(a_1 - b_1)^2 + (a_2 - b_2)^2}.

Reálná funkce d X × X se nazývá metrika, jestliže to splňuje tyto čtyři axiómy:

 
d(a, b) \ge 0

 
d(a, b) = 0 \iff a = b

 
d(a, b) = d(b, a)

 
d(a, b)  \le d(a, c) + d(c, b)