Funkce signum

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Funkce signum

Funkce signum (neboli znaménková funkce, zkratka sgn) je matematická funkce, která libovolnému číslu z\, přiřadí číslo o velikosti jedna, mínus jedna nebo nula (pro z\, = 0).

Reálné signum[editovat | editovat zdroj]

Reálné signum je definováno následujícím způsobem:

 \sgn x = \left\{ \begin{matrix} 
-1 & : &  x < 0 \\
0 & : &  x = 0 \\
1 & : &  x > 0 \end{matrix} \right.

Libovolné číslo lze tedy vyjádřit jako součin znaménka a absolutní hodnoty:

 x = \sgn(x) \cdot |x|\,

Komplexní signum[editovat | editovat zdroj]

Funkce signum může být zobecněna na komplexní čísla tak, že

\sgn z = \frac{z}{|z|}

pro každé z\mathbb{C} kromě z = 0. Signum daného komplexního čísla z je bod na jednotkové kružnici v komplexní rovině se středem v počátku [0,0], který je nejblíže z.

Další zobecnění funkce signum na reálné a komplexní výrazy je funkce csgn, definovaná takto:


 \operatorname{csgn}(z)= \begin{cases}
 1 & \text{pokud } \Re(z) > 0 \vee (\Re(z) = 0 \land \Im(z) > 0), \\
 -1 & \text{pokud } \Re(z) < 0 \vee (\Re(z) = 0 \land \Im(z) < 0), \\
 0 & \text{pokud } \Re(z)=\Im(z)=0. 
\end{cases}

Potom (kromě z = 0):

\operatorname{csgn}(z) = \frac{z}{\sqrt{z^2}} = \frac{\sqrt{z^2}}{z}.

Související články[editovat | editovat zdroj]