Znaménko permutace

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

Znaménko permutace (značené obvykle jako sgn(σ), též označováno jako parita permutace) je charakteristika konkrétní permutace (seřazení množiny čísel), která vyjadřuje, zda je počet inverzí této permutace (počet prvků prohozených oproti seřazené posloupnosti) sudý či lichý. Vyjadřuje se čísly ±1 či pouze příslušným znaménkem +/-: sudý počet inverzí odpovídá kladnému znaménku, lichý zápornému. Tuto vlastnost lze zapsat tak, že

sgn(σ) = (−1)n,

kde n je počet inverzí permutace, nebo počet cyklů sudé délky[1].

Definice inverze[editovat | editovat zdroj]

Inverze v permutaci p je dvojice prvků a, b taková, že a < b a zároveň p(a) > p(b).

Příklad[editovat | editovat zdroj]

Permutaci si lze představit jako dvouřádkovou matici:

např. matice

má počet inverzí 0, proto bude znaménko +. Pro jinou permutaci

platí:

, potom permutace:

má dvě inverze a znaménko bude +.

Alternativní výpočet[editovat | editovat zdroj]

Znaménko permutace lze také vypočítat tak, že za n ve vzorci dosadíme počet cyklů sudé délky.

Permutaci zapsanou ve formě matice:

lze také zapsat pomocí cyklů:

Ze zápisu pomocí cyklů vidíme, že počet cyklů sudé délky je roven 0. Dosadíme tedy do vzorce:

sgn(σ) = (−1)0 = 1

výsledek je kladný, znaménko je tedy +.

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Jsou-li a dvě permutace na množině , pak znaménko permutace jejich složení je rovno součinu znamének jednotlivých permutací, tedy

Znaménko inverzní permutace je určeno jako

Je-li permutace součinem nezávislých cyklů , kde každý z cyklů má délku , pak

Reference[editovat | editovat zdroj]

  1. ROSKOVEC, Tomáš. Permutace [online]. Dostupné online. 

Související články[editovat | editovat zdroj]