Permutace

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Permutace množiny, která obsahuje prvků, je jedno z možných uspořádání těchto prvků, přičemž výsledná uspořádaná n-tice má stejný počet prvků jako původní množina. Někdy se také uvažují tzv. permutace s opakováním, což zahrnuje i takové uspořádání prvků, ve kterém se některé prvky vyskytují vícekrát.

Obecněji je permutace bez opakování chápána jako bijektivní zobrazení z množiny na množinu .

Permutace bez opakování[editovat | editovat zdroj]

Pokud se prvky ve výběru nemohou opakovat, pak počet všech možných výběrů je určen vztahem

,

kde označuje faktoriál, kde n je z oboru přirozených čísel včetně čísla 0.

Pokud se hovoří o permutacích prvků, jsou tím obvykle myšleny permutace bez opakování.

Příklad[editovat | editovat zdroj]

Mějme skupinu tří různých prvků .

Permutace těchto prvků představují skupiny , , , , , . Jejich počet je tedy

Permutace s opakováním[editovat | editovat zdroj]

Pokud se prvky ve výběru mohou opakovat, pak počet permutací s opakováním je určen jako

,

přičemž mezi vybranými prvky je skupin, které mají postupně stejných prvků. Musí přitom platit:


Příklad[editovat | editovat zdroj]

Mějme skupinu tří prvků . Skupina je tedy složena ze dvou skupin (tedy ), přičemž první skupina má dva prvky , tzn. , a druhá skupina obsahuje jeden prvek , tzn. .

Permutacemi s opakováním získáme skupiny , , . Počet těchto skupin je tedy roven

Zápis[editovat | editovat zdroj]

Permutace lze zapsat tabulkou, kde v horním řádku je vstupní hodnota funkce a v dolním její výsledná hodnota. Nebo se zapisuje jako spojení cyklů nebo transpozic.

Permutace je lichá, pokud lze vyjádřit spojením lichého počtu cyklů délky 2. Permutace je sudá, pokud lze vyjádřit spojením sudého počtu cyklů délky 2.

Příklad zápisu[editovat | editovat zdroj]

Pomocí tabulky lze permutaci množiny zapsat jako

Pomocí cyklů a transpozic lze předchozí permutaci zapsat jako

Tato permutace je sudá.

Samodružný prvek[editovat | editovat zdroj]

Každý prvek , pro který platí , se nazývá samodružným prvkem. V opačném případě se jedná o prvek nesamodružný.

Jestliže každý prvek permutace je samodružný, pak hovoříme o identické (jednotkové) permutaci. Příkladem takové permutace je

Inverzní permutace[editovat | editovat zdroj]

K permutaci

je možné vytvořit inverzní permutaci

Inverzní permutaci značíme

Složením permutace a k ní inverzní permutace získáme identickou permutaci.

Skládání permutací[editovat | editovat zdroj]

Mějme na množině dvě permutace

Složením permutací (hovoříme také o součinu permutací) je permutace

(pozor, toto je skládání zleva doprava, někdy se používá opačné)

Součin permutací zkráceně zapíšeme

Násobení permutací není v obecném případě komutativní, tzn. .

Příklad[editovat | editovat zdroj]

Za použití výše uvedené metody způsobu zápisu permutace vypadají následovně

Složením permutací a rozumíme permutaci Permutace skládáme jako funkce, tedy zprava doleva. Nejprve se podíváme na první prvek permutace . V ní číslo 1 jde na číslo 6. Pak se podíváme kam jde 6 v . Permutace o čísle 6 nic neříká, tedy píšeme

(1 6

Teď se podívám kam jde 6 v . Na 2. Druhá permutace opět o 2 nehovoří. Tedy pokračujeme v zápisu

(1 6 2

Číslo 2 jde na 4, ale číslo 4 jde v na 1 a tento provek už máme jako začátek našeho cyklu. Tedy zatím počítáme správně. Pokud by nám vyšlo nějaké číslo, které není na začátku cyklu, pak je někde chyba. Tedy uzavíráme cyklus.

(1 6 2)

Teď se podíváme na číslo do permutace vpravo, které jsme ještě nepoužili (není napsáno v již uzavřeném cyklu). Takovým číslem je 4. Číslo 4 jde v na 1 a ta jde v na 5. To zapíšeme

(1 6 2)(4 5

a provedeme tento postup pro zbylá čísla (zde chybí už jenom číslo 5). Tedy výsledek je

Pozn.: Výsledek lze interpretovat také třeba jako (216)(534), neboť (216) = (162) = (621).

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Máme-li na dané množině permutace a identickou permutaci , pak platí vztahy



To jsou axiomy grupy splněné obecně pro každou množinu permutací P(n), kde grupovým násobením je součin dvou permutací. Tedy množina permutací P(n) společně se skládáním permutací tvoří grupu.

Řád permutace[editovat | editovat zdroj]

Máme-li permutaci , značí permutaci vzniklou k-násobným složením permutace , tj. , . Řád permutace je nejmenší přirozené číslo k takové, pro které platí , tj. po k složeních vznikne identická permutace.

Příklad[editovat | editovat zdroj]

Zobrazení na celých číslech je permutace. Máme-li nyní permutaci definovanou na celých číslech. Pak :.

Poznámky[editovat | editovat zdroj]

Literatura[editovat | editovat zdroj]

  • Odmaturuj z matematiky. [s.l.] : Didaktis, 2003 (druhé opravené vydání). ISBN 80-86285-97-9. Kapitola 35. Kombinatorika.  

Související články[editovat | editovat zdroj]