Determinant

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Výpočet determinantu Sarrusovým pravidlem.
Výpočet determinantu Sarrusovým pravidlem.

V lineární algebře je determinant zobrazení, které přiřadí každé čtvercové matici A skalár det A.

Determinantem čtvercové matice řádu nazýváme součet všech součinů prvků této matice takových, že v žádném z uvedených součinů se nevyskytují dva prvky z téhož řádku ani z téhož sloupce. Každý součin přitom označíme znaménkem permutace.

Značení[editovat | editovat zdroj]

Determinant matice s prvky zapisujeme jako

nebo pomocí prvků jako

,

popř. ve zkrácené formě

.

Geometrický význam determinantu[editovat | editovat zdroj]

Matice řádu 2[editovat | editovat zdroj]

Matice 2×2

má determinant

.

Jeho absolutní hodnotu lze interpretovat jako obsah rovnoběžníku s vrcholy v bodech (0,0), a1=(a,c), a2=(b,d) a (a + b, c + d). Znaménko determinantu určuje vzájemnou orientaci vektorů a1 a a2. det A je kladný, pokud úhel mezi vektory a1 a a2 měřený v kladném směru (tedy proti směru hodinových ručiček) menší než π, a záporný, pokud je tento úhel větší než π.

Matice řádu 3[editovat | editovat zdroj]

Podobný geometrický význam jako pro matici řádu 2 najdeme i pro matice řádu 3. Řádkové vektory

určují v třídimenzionálním prostoru rovnoběžnostěn, jehož objem je roven |det B|. Pokud je det B kladný, tak je posloupnost vektorů b1,b2,b3 pravotočivá, a levotočivá, pokud je det B záporný.

Matice vyšších řádů[editovat | editovat zdroj]

I v reálných prostorech vyšších řádů lze determinant chápat jako objem obecného n-rozměrného rovnoběžnostěnu, případně jako pravotočivost, respektive levotočivost posloupnosti b1,b2,…,bn.

Všeobecná definice a výpočet[editovat | editovat zdroj]

Nechť je čtvercová matice.

Matice řádu 1[editovat | editovat zdroj]

Pokud A je matice 1×1, je

Determinant matice prvního řádu je tedy roven hodnotě jediného prvku této matice.

Matice řádu 2[editovat | editovat zdroj]

Pokud A je matice 2×2, je

Matice řádu 3[editovat | editovat zdroj]

Pro matici A typu 3×3 je vzorec složitější:

Mnemotechnická pomůcka sloužící k zapamatování postupu výpočtu determinantu třetího řádu se nazývá Sarrusovo pravidlo.

Matice vyšších řádů[editovat | editovat zdroj]

Pro obecnou matici × determinant definoval Gottfried Leibniz pomocí Leibnizova vzorce:

Suma se počítá přes všechny permutace čísel {1, 2, …, n} a značí znaménko permutace : +1, pokud je sudá permutace, a −1, pokud je lichá.

Tento vzorec obsahuje (faktoriál) sčítanců, což jej s růstem rychle činí prakticky nepoužitelným pro výpočet. V praxi se proto používají jiné způsoby výpočtu.

Obecný vzorec lze také vyjádřit pomocí Levi-Civitova symbolu jako

Postupy výpočtu[editovat | editovat zdroj]

Gaussova eliminace[editovat | editovat zdroj]

Gaussova metoda spočívá v provedení takových úprav matice, které nemění hodnotu determinantu, ale zjednoduší výpočet jeho hodnoty. Cílem prováděných úprav je získat trojúhelníkovou matici A (tedy pro je ), neboť pro tu platí

,

tzn. determinant trojúhelníkové matice je roven součinu prvků hlavní diagonály matice.

Při úpravách matice pro výpočet determinantu postupujeme podle těchto pravidel:

  • Pokud B vznikne z A výměnnou dvou řádku nebo sloupců potom
  • Pokud B vznikne z A vynásobením řádku nebo sloupce skalárem c, potom
  • Pokud B vznikne z A přičtením násobku jednoho řádku k jinému, nebo přidáním násobku sloupce k jinému sloupci potom

Opakovaným použitím uvedených pravidel převedeme matici na matici trojúhelníkovou a pro tu poté snadno spočteme determinant.

Kofaktorová metoda[editovat | editovat zdroj]

Pomocí kofaktorové metody můžeme rozvinout determinant podle řádku či podle sloupce, což je pro relativně malé matice celkem efektivní metoda. Například podle řádku i

kde jsou kofaktory, tedy je krát determinant matice, která vznikne z odstraněním -tého řádku a -tého sloupce. Takováto matice se nazývá submatice a determinant k ní příslušný subdeterminant. Ze vzorce je zřejmé, že je nejvhodnější využívat k rozvinutí řádek nebo sloupec, který obsahuje hodně 0. Tato metoda se též označuje jako Laplaceův rozvoj (podle sloupce nebo řádku).

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

  • Pokud lze prvky i-tého řádku psát jako , pak platí
  • Speciální případ předchozí vlastnosti nastane tehdy, máme-li matici , jejíž prvky lze vyjádřit vynásobením prvků čtvercové matice řádu číslem , tzn. . Pak platí
  • Pro součet dvou determinantů, které se vzájemně liší v jednom řádku platí
  • Determinant je antisymetrický vůči vzájemné výměně dvou řádků, popř. vzájemné výměně dvou sloupců. Při výměně dvou řádků nebo dvou sloupců se tedy znaménko determinantu změní na opačné.
  • Z předchozích vlastností plyne, že pokud má matice dva stejné řádky nebo dva stejné sloupce, tak musí platit .
  • Předchozí tvrzení je možné zobecnit na případ, kdy jeden řádek (sloupec) lze vyjádřit jako lineární kombinaci ostatních řádků (sloupců). V takovém případě je determinant nulový.
  • Z předchozího plyne, že pokud je jeden z řádků nebo sloupců nulový, je celý determinant roven nule.
  • Determinant matice A, kterou získáme z matice B tak, že k libovolnému řádku (sloupci) matice B přičteme lineární kombinaci zbývajících řádků (sloupců) matice B, je roven determinantu matice B, tzn. . Přičteme-li tedy k danému řádku (sloupci) lineární kombinaci ostatních řádků (sloupců), hodnota determinantu se nezmění.
  • Nulovost, resp. nenulovost determinantu je jeho důležitou vlastností. Z geometrické interpretace vyplývá, že v případě nulového determinantu má rovnoběžnostěn nulový objem. To nastane jen tehdy, když lze jeden z vektorů vyjádřit jako lineární kombinaci ostatních. Vektory (ať už řádkové nebo sloupcové) v tomto případě generují prostor dimenze nižší, než je rozměr matice. Taková matice se nazývá singulární. Naopak matice jejíž determinant je nenulový se nazývá regulární.
  • Hodnota determinantu se nezmění, zaměníme-li řádky za sloupce. Determinant matice je tedy roven determinantu transponované matice , tzn.
.
  • Součinem determinantů a je determinant , pro který platí
,

kde prvky matice jsou dány jedním z následujících vztahů

, tzn. násobí se řádky matice A s řádky matice B,
, tzn. násobí se sloupce matice A s řádky matice B,
, tzn. násobí se řádky matice A se sloupci matice B,
, tzn. násobí se sloupce matice A se sloupci matice B.

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]