Determinant

Výpočet determinantu Sarrusovým pravidlem

Výpočet determinantu Sarrusovým pravidlem

Determinantem čtvercové matice řádu $n$ se v lineární algebře nazývá součet všech součinů $n$ prvků této matice takových, že v žádném z uvedených součinů se nevyskytují dva prvky z téhož řádku ani z téhož sloupce a každý součin je přitom opatřen znaménkem permutace. Jedná se tedy o zobrazení, které přiřadí každé čtvercové matici A skalár.

Determinanty se vyskytují napříč mnoha oblastmi matematiky. Pokud je matice tvořena koeficienty soustavy rovnic, informuje nás determinant o jednoznačné řešitelnosti této soustavy. V případech, kdy požadujeme existenci nekonečně mnoha řešení, jako například při hledání vlastních čísel a vlastních vektorů, se determinant používá na formulaci rovnice, z níž vlastní čísla určujeme. Při substituci ve vícerozměrném integrálu nám determinant Jacobiho matice umožňuje přechod z kartézských do křivočarých souřadnic. V geometrii determinant vyjadřuje obsah rovnoběžníku a objem rovnoběžnostěnu. Pomocí determinantu v praxi zapisujeme vektorový součin a s ním související pojmy, například rotaci vektorového pole.

Značení

Determinant matice $\mathbf {A}$ s prvky $a_{ij}$ se zapisuje jako

$\det \mathbf {A}$

nebo pomocí prvků jako

${\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{vmatrix}}$,

popř. ve zkrácené formě

${\begin{vmatrix}a_{ij}\end{vmatrix}}$.

Geometrický význam determinantu

Matice řádu 2

Matice 2×2

$\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$

má determinant

$\det \mathbf {A} =ad-bc\,$.

Jeho absolutní hodnotu lze interpretovat jako obsah rovnoběžníku s vrcholy v bodech (0,0), a₁=(a,c), a₂=(b,d) a (a + b, c + d). Znaménko determinantu určuje vzájemnou orientaci vektorů a₁ a a₂. det A je kladný, pokud úhel mezi vektory a₁ a a₂ měřený v kladném směru (tedy proti směru hodinových ručiček) menší než π, a záporný, pokud je tento úhel větší než π.

Matice řádu 3

Podobný geometrický význam jako pro matici řádu 2 existuje i pro matice $\mathbf {B} =(b_{ij})$ řádu 3. Řádkové vektory

$\mathbf {b} _{1}=(b_{11},b_{12},b_{13}),\,\mathbf {b} _{2}=(b_{21},b_{22},b_{23}),\,\mathbf {b} _{3}=(b_{31},b_{32},b_{33})$

určují v třídimenzionálním prostoru rovnoběžnostěn, jehož objem je roven |det B|. Pokud je det B kladný, tak je posloupnost vektorů b₁,b₂,b₃ pravotočivá, a levotočivá, pokud je det B záporný.

Matice vyšších řádů

I v reálných prostorech (euklidovských) vyšších dimenzí lze determinant chápat jako (orientovaný) objem obecného n-rozměrného rovnoběžnostěnu, a jeho znaménko jako indikátor orientace (pravotočivosti, respektive levotočivosti) posloupnosti vektorů b₁,b₂,…,b_n.

Všeobecná definice a výpočet

Nechť $\mathbf {A} =(a_{ij})\,$ je čtvercová matice.

Matice řádu 1

Pokud A je matice 1×1, je

$\det \mathbf {A} =a_{11}\,$

Determinant matice prvního řádu je tedy roven hodnotě jediného prvku této matice.

Matice řádu 2

Pokud A je matice 2×2, je

$\det \mathbf {A} =a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}\,$

Matice řádu 3

Pro matici A typu 3×3 je vzorec složitější:

$\det \mathbf {A} =a_{11}a_{22}a_{33}+a_{13}a_{21}a_{32}+a_{12}a_{23}a_{31}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}\,$

Mnemotechnická pomůcka sloužící k zapamatování postupu výpočtu determinantu třetího řádu se nazývá Sarrusovo pravidlo.

Matice vyšších řádů

Pro obecnou matici $n$×$n$ determinant definoval Gottfried Leibniz pomocí Leibnizova vzorce:

$\det \mathbf {A} =\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}{a}_{i,\sigma (i)}$

Suma se počítá přes všechny permutace $\sigma$ čísel {1, 2, …, n} a $\operatorname {sgn}(\sigma )$ značí znaménko permutace $\sigma$: +1, pokud $\sigma$ je sudá permutace, a −1, pokud je lichá.

Tento vzorec obsahuje $n!$ (faktoriál) sčítanců, což jej s růstem $n$ rychle činí prakticky nepoužitelným pro výpočet. V praxi se proto používají jiné způsoby výpočtu.

Obecný vzorec lze také vyjádřit pomocí Levi-Civitova symbolu $\varepsilon _{j_{1}j_{2}\cdots j_{n}}$ jako

$\det \mathbf {A} =\sum _{j_{1},j_{2},...,j_{n}}\varepsilon _{j_{1}j_{2}\cdots j_{n}}a_{1j_{1}}a_{2j_{2}}\cdots a_{nj_{n}}=\sum _{j_{1},j_{2},...,j_{n}}\varepsilon _{j_{1}j_{2}\cdots j_{n}}a_{j_{1}1}a_{j_{2}2}\cdots a_{j_{n}n}$

Pro okrajový případ prázdné matice 0×0 se determinant bere jako 1 (existuje právě jedna permutace prázdné množiny a prázdný součin je 1).

Postupy výpočtu

Gaussova eliminace

Gaussova metoda spočívá v provedení takových úprav matice, které nemění hodnotu determinantu, ale zjednoduší výpočet jeho hodnoty. Cílem prováděných úprav je získat trojúhelníkovou matici A (tedy pro $i>j$ je $a_{ij}=0$), neboť pro tu platí

$\det \mathbf {A} =a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}\,$,

tzn. determinant trojúhelníkové matice je roven součinu prvků hlavní diagonály matice.

Při úpravách matice pro výpočet determinantu se postupuje podle těchto pravidel:

• Pokud B vznikne z A výměnou dvou řádku nebo sloupců, potom $\det \mathbf {B} =-\det \mathbf {A} \,$
• Pokud B vznikne z A vynásobením řádku nebo sloupce skalárem c, potom $\det \mathbf {B} =c\det \mathbf {A} \,$
• Pokud B vznikne z A přičtením násobku jednoho řádku k jinému, nebo přidáním násobku sloupce k jinému sloupci, potom $\det \mathbf {B} =\det \mathbf {A} \,$

Opakovaným použitím uvedených pravidel převedeme matici na matici trojúhelníkovou a pro tu poté snadno spočteme determinant.

Metoda rozvoje podle řádku (sloupce)

Pomocí kofaktorové metody lze rozvinout determinant podle řádku či podle sloupce, což je pro relativně malé matice celkem efektivní metoda. Tato metoda je vhodná také pro řídké matice (tedy matice s mnoha nulovými prvky). Například podle řádku i

$\det \mathbf {A} =\sum _{j=1}^{n}\ {a}_{ij}{C}_{ij}$

kde ${C}_{ij}$ jsou kofaktory, tedy ${C}_{ij}$ je $(-1)^{i+j}$ krát determinant matice, která vznikne z $A$ odstraněním $i$-tého řádku a $j$-tého sloupce. Takováto matice se nazývá submatice a determinant k ní příslušný subdeterminant. Ze vzorce je zřejmé, že je nejvhodnější využívat k rozvinutí řádek nebo sloupec, který obsahuje hodně nul. Tato metoda se též označuje jako Laplaceův rozvoj (podle sloupce nebo řádku).

Vlastnosti

• Hodnota determinantu se nezmění při záměně řádků a sloupců. Determinant matice $\mathbf {A}$ je tedy roven determinantu transponované matice $\mathbf {A} ^{T}$, tzn.

$\det \mathbf {A} =\det \mathbf {A} ^{T}$.

• Pokud lze prvky i-tého řádku psát jako $c\cdot a_{ij}$, pak platí

${\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\ca_{i1}&ca_{i2}&\cdots &ca_{in}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{vmatrix}}=c\cdot {\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{i1}&a_{i2}&\cdots &a_{in}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{vmatrix}}$,

tzn. determinant je homogenní funkcí (stupně jedna) svých řádků (i sloupců).

Speciální případ předchozí vlastnosti nastane u matice $\mathbf {B}$, jejíž prvky lze vyjádřit vynásobením prvků čtvercové matice $\mathbf {A}$ řádu $n$ číslem $c$, takže $b_{ij}=c\cdot a_{ij}$. Pak platí

$\det \mathbf {B} =c^{n}\det \mathbf {A}$

• Pro součet dvou determinantů, které se vzájemně liší v jednom řádku platí

${\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{i1}+b_{i1}&a_{i2}+b_{i2}&\cdots &a_{in}+b_{in}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{i1}&a_{i2}&\cdots &a_{in}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\b_{i1}&b_{i2}&\cdots &b_{in}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{vmatrix}}$,

takže determinant je aditivní funkcí svých řádků (i sloupců).

• Spolu s výše uvedenou homogenitou to znamená, že determinant je multilineární formou svých řádků i sloupců.

• Determinant je antisymetrický vůči vzájemné výměně dvou řádků, popř. vzájemné výměně dvou sloupců. Při výměně dvou řádků nebo dvou sloupců se tedy znaménko determinantu změní na opačné. Jedná se tedy o alternující formu.
• Z předchozí vlastnosti plyne, že pokud má matice $\mathbf {A}$ dva stejné řádky nebo dva stejné sloupce (a není nad tělesem charakteristiky 2), tak musí platit $\det \mathbf {A} =-\det \mathbf {A} =0$.
• Předchozí tvrzení je možné zobecnit na případ, kdy jeden řádek (sloupec) lze vyjádřit jako lineární kombinaci ostatních řádků (sloupců). V takovém případě je determinant nulový.
• Z předchozího plyne, že pokud je jeden z řádků nebo sloupců nulový, je celý determinant roven nule.
• Determinant matice A, kterou získáme z matice B tak, že k libovolnému řádku (sloupci) matice B přičteme lineární kombinaci zbývajících řádků (sloupců) matice B, je roven determinantu matice B, tzn. $\det \mathbf {A} =\det \mathbf {B}$. Přičteme-li tedy k danému řádku (sloupci) lineární kombinaci ostatních řádků (sloupců), hodnota determinantu se nezmění.
• Nulovost, resp. nenulovost determinantu je jeho důležitou vlastností. Z geometrické interpretace vyplývá, že v případě nulového determinantu má příslušný rovnoběžnostěn nulový objem. To nastane jen tehdy, když lze jeden z vektorů vyjádřit jako lineární kombinaci ostatních. Vektory (ať už řádkové nebo sloupcové) v tomto případě generují prostor dimenze nižší, než je řád matice. Taková matice se nazývá singulární. Naopak matice, jejíž determinant je nenulový, je regulární.

• Součinem determinantů $\det \mathbf {A}$ a $\det \mathbf {B}$ je determinant $\det \mathbf {C}$, pro který platí

${\begin{vmatrix}c_{11}&c_{12}&\cdots &c_{1n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c_{n1}&c_{n2}&\cdots &c_{nn}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{vmatrix}}\cdot {\begin{vmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots &b_{1n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\b_{n1}&b_{n2}&\cdots &b_{nn}\end{vmatrix}}$,

kde prvky matice $\mathbf {C}$ jsou dány jedním z následujících vztahů

$c_{ik}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{kj}$, tzn. násobí se řádky matice A s řádky matice B,

$c_{ik}=\sum _{j=1}^{n}a_{ji}b_{kj}$, tzn. násobí se sloupce matice A s řádky matice B,

$c_{ik}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}$, tzn. násobí se řádky matice A se sloupci matice B,

$c_{ik}=\sum _{j=1}^{n}a_{ji}b_{jk}$, tzn. násobí se sloupce matice A se sloupci matice B.

Platí tedy pro determinant součinu matic, že je roven součinu jejich determinantů,

$\det \mathbf {(AB)} =\det \mathbf {(BA)} =\det \mathbf {A} \cdot \det \mathbf {B} .$

• Determinant v euklidovském prostoru je pseudoskalár, při změně ortonormální báze mění znaménko podle toho, jestli se mění orientace báze či nikoliv.

Odkazy

Související články

• Matice
• Subdeterminant
• Cramerovo pravidlo

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu determinant na Wikimedia Commons
• Determinant v encyklopedii MathWorld (anglicky)
• Lineární algebra: determinanty Archivováno 6. 10. 2008 na Wayback Machine. Aplikace, která vypočítá determinant z matice řádu 2-6. Pro matice řádu 4,5,6 zobrazuje postup výpočtu Laplaceovým rozvojem podle řádků/sloupců zvolených uživatelem.
• Operace s maticemi v R (determinant, stopa, inverzní, adjungovaná, transponovaná) Aplikace, která vypočítá determinant z matice řádu 2-8

Autoritní data	NKC: ph153485 PSH: 7275 BNF: cb11975737s (data) GND: 4138983-9 LCCN: sh85037299 NDL: 00562696 NLI: 987007550422505171

Portály: Matematika