Determinant

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Výpočet determinantu Sarusovým pravidlem.
Výpočet determinantu Sarusovým pravidlem.

V lineární algebře je determinant zobrazení, které přiřadí každé čtvercové matici A skalár det A.

Determinantem čtvercové matice řádu n nazýváme součet všech součinů n prvků této matice takových, že v žádném z uvedených součinů se nevyskytují dva prvky z téhož řádku ani z téhož sloupce. Každý součin přitom označíme znaménkem permutace.

Značení[editovat | editovat zdroj]

Determinant matice \mathbf{A} s prvky a_{ij} zapisujeme jako

\det \mathbf{A}

nebo pomocí prvků jako


\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix},

popř. ve zkrácené formě

\begin{vmatrix} a_{ij} \end{vmatrix}.

Geometrický význam determinantu[editovat | editovat zdroj]

Matice řádu 2[editovat | editovat zdroj]

Matice 2×2

\mathbf{A}=\begin{pmatrix}a&b\\
c&d\end{pmatrix}

má determinant

\det\mathbf{A}=ad-bc \,.

Jeho absolutní hodnotu lze interpretovat jako obsah rovnoběžníku s vrcholy v bodech (0,0), a1=(a,c), a2=(b,d) a (a + b, c + d). Znaménko determinantu určuje vzájemnou orientaci vektorů a1 a a2. det A je kladný, pokud úhel mezi vektory a1 a a2 měřený v kladném směru (tedy proti směru hodinových ručiček) menší než π, a záporný, pokud je tento úhel větší než π.

Matice řádu 3[editovat | editovat zdroj]

Podobný geometrický význam jako pro matici řádu 2 najdeme i pro matice \mathbf{B}=(b_{ij}) řádu 3. Řádkové vektory

\mathbf{b}_1=(b_{11},b_{12},b_{13}), \, \mathbf{b}_2=(b_{21},b_{22},b_{23}), \,\mathbf{b}_3=(b_{31},b_{32},b_{33})

určují v třídimenzionálním prostoru rovnoběžnostěn, jehož objem je roven |det B|. Pokud je det B kladný, tak je posloupnost vektorů b1,b2,b3 pravotočivá, a levotočivá, pokud je det B záporný.

Matice vyšších řádů[editovat | editovat zdroj]

I v reálných prostorech vyšších řádů lze determinant chápat jako objem obecného n-rozměrného rovnoběžnostěnu, případně jako pravotočivost, respektive levotočivost posloupnosti b1,b2,…,bn.

Všeobecná definice a výpočet[editovat | editovat zdroj]

Nechť \mathbf{A} = (a_{ij}) \, je čtvercová matice.

Matice řádu 1[editovat | editovat zdroj]

Pokud A je matice 1×1, je

\det\mathbf{A} = a_{11} \,

Determinant matice prvního řádu je tedy roven hodnotě jediného prvku této matice.

Matice řádu 2[editovat | editovat zdroj]

Pokud A je matice 2×2, je

\det\mathbf{A} = a_{11}a_{22} - a_{21}a_{12} \,

Matice řádu 3[editovat | editovat zdroj]

Pro matici A typu 3×3 je vzorec složitější:


\det\mathbf{A} = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{13}a_{21}a_{32} + a_{12}a_{23}a_{31} -
          a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33}
\,

Mnemotechnická pomůcka sloužící k zapamatování postupu výpočtu determinantu třetího řádu se nazývá Sarrusovo pravidlo.

Matice vyšších řádů[editovat | editovat zdroj]

Pro obecnou matici n×n determinant definoval Gottfried Leibniz pomocí Leibnizova vzorce:

\det\mathbf{A} = \sum_{\sigma \in S_n} 
\sgn(\sigma) \prod_{i=1}^n {a}_{i,\sigma(i)}

Suma se počítá přes všechny permutace \sigma čísel {1, 2, …, n} a \sgn(\sigma) značí znaménko permutace \sigma: +1, pokud \sigma je sudá permutace, a −1, pokud je lichá.

Tento vzorec obsahuje n! (faktoriál) sčítanců, což jej s růstem n rychle činí prakticky nepoužitelným pro výpočet. V praxi se proto používají jiné způsoby výpočtu.

Obecný vzorec lze také vyjádřit pomocí Levi-Civitova symbolu \varepsilon_{j_1 j_2 \cdots j_n} jako

\det \mathbf{A} = \sum_{j_1,j_2,...,j_n} \varepsilon_{j_1 j_2 \cdots j_n} a_{1 j_1} a_{2 j_2} \cdots a_{n j_n} = \sum_{j_1,j_2,...,j_n} \varepsilon_{j_1 j_2 \cdots j_n} a_{j_1 1} a_{j_2 2} \cdots a_{j_n n}

Postupy výpočtu[editovat | editovat zdroj]

Gaussova eliminace[editovat | editovat zdroj]

Gaussova metoda spočívá v provedení takových úprav matice, které nemění hodnotu determinantu, ale zjednoduší výpočet jeho hodnoty. Cílem prováděných úprav je získat trojúhelníkovou matici A (tedy pro i > j je a_{{ij}} = 0), neboť pro tu platí

\det\mathbf{A} = a_{{11}} a_{{22}} \cdots a_{{nn}} \,,

tzn. determinant trojúhelníkové matice je roven součinu prvků hlavní diagonály matice.

Při úpravách matice pro výpočet determinantu postupujeme podle těchto pravidel:

  • Pokud B vznikne z A výměnnou dvou sloupců potom \det\mathbf{B} = -\det\mathbf{A} \,
  • Pokud B vznikne z A vynásobením řádku nebo sloupce skalárem c, potom \det\mathbf{B} = c\det\mathbf{A} \,
  • Pokud B vznikne z A přičtením násobku jednoho řádku k jinému, nebo přidáním násobku sloupce k jinému sloupci potom \det\mathbf{B} = \det\mathbf{A} \,

Opakovaným použitím uvedených pravidel převedeme matici na matici trojúhelníkovou a pro tu poté snadno spočteme determinant.

Kofaktorová metoda[editovat | editovat zdroj]

Pomocí kofaktorové metody můžeme rozvinout determinant podle řádku či podle sloupce, což je pro relativně malé matice celkem efektivní metoda. Například podle řádku i

\det\mathbf{A} = \sum_{j=1}^n\ {a}_{ij}{C}_{ij}

kde {C}_{ij} jsou kofaktory, tedy {C}_{ij} je (-1)^{i+j} krát determinant matice, která vznikne z A odstraněním i-tého řádku a j-tého sloupce. Takováto matice se nazývá submatice a determinant k ní příslušný subdeterminant. Ze vzorce je zřejmé, že je nejvhodnější využívat k rozvinutí řádek nebo sloupec, který obsahuje hodně 0. Tato metoda se též označuje jako Laplaceův rozvoj (podle sloupce nebo řádku).

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

  • Pokud lze prvky i-tého řádku psát jako c \cdot a_{ij}, pak platí
\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
c a_{i1} & c a_{i2} & \cdots & c a_{in} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = c \cdot 
\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}
  • Speciální případ předchozí vlastnosti nastane tehdy, máme-li matici \mathbf{B}, jejíž prvky lze vyjádřit vynásobením prvků čtvercové matice \mathbf{A} řádu n číslem c, tzn. b_{ij} = c \cdot a_{ij}. Pak platí
\det \mathbf{B} = c^n \det \mathbf{A}
  • Pro součet dvou determinantů, které se vzájemně liší v jednom řádku platí
\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
a_{i1} + b_{i1} & a_{i2} + b_{i2} & \cdots & a_{in} + b_{in} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = 
\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} + 
\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
b_{i1} & b_{i2} & \cdots & b_{in} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}
  • Determinant je antisymetrický vůči vzájemné výměně dvou řádků, popř. vzájemné výměně dvou sloupců. Při výměně dvou řádků nebo dvou sloupců se tedy znaménko determinantu změní na opačné.
  • Z předchozích vlastností plyne, že pokud má matice \mathbf{A} dva stejné řádky nebo dva stejné sloupce, tak musí platit \det \mathbf{A} = - \det \mathbf{A} = 0.
  • Předchozí tvrzení je možné zobecnit na případ, kdy jeden řádek (sloupec) lze vyjádřit jako lineární kombinaci ostatních řádků (sloupců). V takovém případě je determinant nulový.
  • Z předchozího plyne, že pokud je jeden z řádků nebo sloupců nulový, je celý determinant roven nule.
  • Determinant matice A, kterou získáme z matice B tak, že k libovolnému řádku (sloupci) matice B přičteme lineární kombinaci zbývajících řádků (sloupců) matice B, je roven determinantu matice B, tzn. \det \mathbf{A} = \det \mathbf{B}. Přičteme-li tedy k danému řádku (sloupci) lineární kombinaci ostatních řádků (sloupců), hodnota determinantu se nezmění.
  • Nulovost, resp. nenulovost determinantu je jeho důležitou vlastností. Z geometrické interpretace vyplývá, že v případě nulového determinantu má rovnoběžnostěn nulový objem. To nastane jen tehdy, když lze jeden z vektorů vyjádřit jako lineární kombinaci ostatních. Vektory (ať už řádkové nebo sloupcové) v tomto případě generují prostor dimenze nižší, než je rozměr matice. Taková matice se nazývá singulární. Naopak matice jejíž determinant je nenulový se nazývá regulární.
  • Hodnota determinantu se nezmění, zaměníme-li řádky za sloupce. Determinant matice \mathbf{A} je tedy roven determinantu transponované matice \mathbf{A}^T, tzn.
\det \mathbf{A} = \det \mathbf{A}^T.
  • Součinem determinantů \det \mathbf{A} a \det \mathbf{B} je determinant \det \mathbf{C}, pro který platí
\begin{vmatrix} c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
c_{n1} & c_{n2} & \cdots & c_{nn} \end{vmatrix} = 
\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} \cdot 
\begin{vmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{nn} \end{vmatrix},

kde prvky matice \mathbf{C} jsou dány jedním z následujících vztahů

c_{ik} = \sum_{j=1}^n a_{ij} b_{kj}, tzn. násobí se řádky matice A s řádky matice B,
c_{ik} = \sum_{j=1}^n a_{ji} b_{kj}, tzn. násobí se sloupce matice A s řádky matice B,
c_{ik} = \sum_{j=1}^n a_{ij} b_{jk}, tzn. násobí se řádky matice A se sloupci matice B,
c_{ik} = \sum_{j=1}^n a_{ji} b_{jk}, tzn. násobí se sloupce matice A se sloupci matice B.

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]