Diskriminant

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

Diskriminant je polynom s reálnými nebo komplexními koeficienty, který se používá při řešení algebraických rovnic, především kvadratických, také při studiu vlastností polynomických funkcí.

Diskriminant kvadratických rovnic[editovat | editovat zdroj]

Pro kvadratickou rovnici (kde ) je diskriminant .

Znaménko diskriminantu určuje charakter kořenů:

  • Pokud , pak má daná rovnice právě dva různé reálné kořeny .
  • Pokud , pak má daná rovnice právě jeden dvojnásobný reálný kořen .
  • Pokud , pak má daná rovnice právě dva různé imaginární sdružené kořeny .

Diskriminant ryze kvadratické rovnice, dané předpisem: (kde ), je ; pokud je kladný (liší se znaménko a ), má daná rovnice dva navzájem opačné kořeny: .

Diskriminantem kvadratické rovnice v normovaném tvaru, dané předpisem: , je .

Diskriminant triviální kvadratické rovnice (kde ) je roven .

Vyjádření diskriminantu pomocí kořenů polynomu druhého stupně[editovat | editovat zdroj]

Související informace naleznete také v článku Viètovy vzorce.

Pro kořeny polynomu druhého stupně platí:

 ; .

Vyjádření: ;

Dosazením do vzorce pro výpočet diskriminantu:

Diskriminant polynomu druhého stupně (kvadratické rovnice) s kořeny je dán vztahem:

  • Dva různé reálné kořeny pro:
  • Jeden dvojnásobný reálný kořen pro:
  • Dva komplexně sdružené imaginární kořeny pro:

Diskriminant kubických rovnic[editovat | editovat zdroj]

U kubické rovnice (kde ) je diskriminant .

Lze zjednodušit na (pomocí Viètových vzorců). S reálnými keoficienty platí:

  • Tři různé reálné kořeny pro:
  • Alespoň dva stejné kořeny ze tří reálných pro:
  • Jeden reálný a dva imaginární, komplexně sdružené kořeny pro .

Diskriminant polynomu n−tého stupně[editovat | editovat zdroj]

Diskriminantem polynomu −tého stupně s kořeny rozumíme výraz

Pro účely výpočtu možno rozepsat (viz Vandermondův determinant):

Reference[editovat | editovat zdroj]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Diskriminante na německé Wikipedii.


Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]