Vandermondova matice

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Vandermondova matice, pojmenovaná po Alexandru-Théophilovi Vandermondovi, je matematický termín označující matici, která v každém řádku obsahuje po sobě jdoucí členy geometrické posloupnosti počínaje jedničkou, tedy matici

V=\begin{bmatrix}
1 & \alpha_1 & \alpha_1^2 & \dots & \alpha_1^{n-1}\\
1 & \alpha_2 & \alpha_2^2 & \dots & \alpha_2^{n-1}\\
1 & \alpha_3 & \alpha_3^2 & \dots & \alpha_3^{n-1}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\
1 & \alpha_m & \alpha_m^2 & \dots & \alpha_m^{n-1}\\
\end{bmatrix}

neboli matici, kde lze prvek na pozici i,j vyjádřit předpisem

V_{i,j} = \alpha_i^{j-1}

V případě čtvercové Vandermondovy matice je možné počítat její determinant, ten je roven

\det(V) = \prod_{1\le i<j\le n} (\alpha_j-\alpha_i).

Tento determinant bývá označován Vandermondův determinant.

Čtvercová Vandermondova matice je regulární, právě když hodnoty \alpha_1 ... \alpha_{m} jsou různé.

Využití Vandermondovy matice[editovat | editovat zdroj]

Vandermondova matice se používá např. v případech, kdy známe množinu bodů (tj. kořeny x_1 ... x_{n+1} a hodnoty y_1 ... y_{n+1}) a potřebujeme zjistit polynom, který jimi prochází (tj. koeficienty \alpha_0 ... \alpha_{n}). Řešíme následující soustavu:

\begin{bmatrix}
1 & x_1 & x_1^2 & \dots & x_1^{n}\\
1 & x_2 & x_2^2 & \dots & x_2^{n}\\
1 & x_3 & x_3^2 & \dots & x_3^{n}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\
1 & x_{n+1} & x_{n+1}^2 & \dots & x_{n+1}^{n}\\
\end{bmatrix}
*
\begin{bmatrix}
\alpha_0 \\ \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ 
\vdots  \\
\alpha_n\\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ 
\vdots  \\
y_{n+1}\\
\end{bmatrix}