Přeskočit na obsah

Vandermondova matice

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

V lineární algebře se čtvercová matice nazývá Vandermondova matice, pokud má v každém řádku po sobě jdoucí členy geometrické posloupnosti počínaje jedničkou.

Matice je pojmenovaná po francouzském matematiku Alexandru-Théophilovi Vandermondovi (1735-1796).

Vandermondova matice je regulární, právě když má různé řádky, a tedy i různé kvocienty odpovídajících posloupností.

Vandermondova matice řádu určená uspořádanou - ticí reálných čísel je:

s prvky

Vandermondovu matici lze obecněji definovat nad libovolným tělesem.

Vlastnosti

[editovat | editovat zdroj]

Vandermondův determinant

[editovat | editovat zdroj]

Determinant Vandermondovy matice se nazývá Vandermondův determinant a lze jej vyjádřit výrazem:

Důkaz využívá skutečnosti, že řádková ani sloupcová operace spočívající v přičtení skalárního násobku jiného řádku, resp. sloupce nemění determinant.

V prvním kroku je od každého sloupce (kromě prvního) odečten -násobek předchozího sloupce. Odečítání jsou provedena tak, že se začne od posledních sloupců, aby se odečetl sloupec, který ještě nebyl změněn). Výsledná matice je:

Laplaceův rozvoj podél posledního řádku sníží řád matice o 1. Následně lze z ostatních řádků vytknout členy . Současné provedení těchto operací nezmění znaménko:

Použitím matematické indukce na Vandermondovu matici dává požadované vyjádření jako součin všech rozdílů , kde .

Regularita Vandermondova determinantu

[editovat | editovat zdroj]

Z předchozí vlastnosti bezprostředně vyplývá, že Vandermondova matice je regulární, právě když hodnoty jsou navzájem různé.

Numerické záležitosti

[editovat | editovat zdroj]

Při použití přirozené báze prostoru polynomů je Vandermondova matice velmi špatně podmíněna a související výpočty pomocí standardních metod v čase jsou relativně pomalé. Pro polynomy se proto v numerických algoritmech volí jiné reprezentace, jak je uvedeno níže.

Proložení polynomu

[editovat | editovat zdroj]

Vandermondova matice se používá např. v případech, kdy je zadána množina bodů o souřadnicích a je třeba určit polynom stupně nejvýše , který jimi prochází. Koeficienty hledaného polynomu

jsou řešením následující soustavy lineárních rovnic:

Diagonalizace doprovodné matice

[editovat | editovat zdroj]

Je-li doprovodná matice monického polynomu

,

vyjádřeného v různých bodech , potom Vandermondova matice diagonalizuje , neboť platí:

.


Diskrétní Fourierova transformace

[editovat | editovat zdroj]

Provedení diskrétní Fourierovy transformace (i její inverze) lze zapsat jako součin vstupního vektoru délky s konkrétní komplexní Vandermondovou maticí řádu . Hodnoty v definici Vandermondovy matice jsou komplexní odmocniny z 1. Diskrétní Fourierova transformace pak efektivně počítá hodnoty jako hodnoty polynomu s (komplexními) koeficienty v bodech , kde je zvolená -tá primitivní odmocnina z 1 a .

Polynomická regrese

[editovat | editovat zdroj]

Ve statistice rovnice znamená, že Vandermondova matice je regresní maticí polynomické regrese .

V tomto článku byly použity překlady textů z článků Vandermonde matrix na anglické Wikipedii a Vandermonde-Matrix na německé Wikipedii.

Literatura

[editovat | editovat zdroj]
  • BÄRTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. Praha: Academia, 2006. 832 s. ISBN 80-200-1448-9. Kapitola Matice, s. 180–198. 
  • BEČVÁŘ, Jindřich. Lineární algebra. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 436 s. ISBN 978-80-7378-392-1. 
  • HLADÍK, Milan. Lineární algebra (nejen) pro informatiky. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 328 s. ISBN 978-80-7378-378-5. 
  • OLŠÁK, Petr. Lineární algebra [online]. Praha: 2007 [cit. 2023-02-20]. Dostupné online. 
  • MOTL, Luboš; ZAHRADNÍK, Miloš. Pěstujeme lineární algebru [online]. [cit. 2023-02-20]. Dostupné online.