Vandermondova matice

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

Vandermondova matice, pojmenovaná po Alexandru-Théophilovi Vandermondovi, je matematický termín označující matici, která v každém řádku obsahuje po sobě jdoucí členy geometrické posloupnosti počínaje jedničkou, tedy matici

neboli matici, kde lze prvek na pozici i,j vyjádřit předpisem

V případě čtvercové Vandermondovy matice je možné počítat její determinant, ten je roven

Tento determinant bývá označován Vandermondův determinant.

Čtvercová Vandermondova matice je regulární, právě když hodnoty jsou různé.

Využití Vandermondovy matice[editovat | editovat zdroj]

Vandermondova matice se používá např. v případech, kdy známe množinu bodů (tj. kořeny a hodnoty ) a potřebujeme zjistit polynom, který jimi prochází (tj. koeficienty ). Řešíme následující soustavu:

Diskrétní Fourierova transformace[editovat | editovat zdroj]

Diskrétní Fourierova transformace (a její inverze) se dají zapsat jako násobení vstupního vektoru délky konkrétní Vandermondovou maticí z . Hodnoty v definici V. matice jsou komplexní odmocniny z 1. Při značení z předchozího příkladu počítá DFT hodnoty jako hodnoty polynomu s (komplexními) koeficienty v bodech , kde pro zvolenou , tj. -tou primitivní odmocninu z 1.