Polynomická regrese

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Ukázka aproximace zadaných bodů polynomem libovolného řádu.

Polynomická či polynomiální regrese představuje proložení (aproximaci) zadaných hodnot polynomem a jde o zvláštní případ lineární regrese. Koeficienty hledaného polynomu jsou metodou nejmenších čtverců vypočteny tak, aby součet druhých mocnin odchylek původních hodnot od získaného polynomu byl minimální.[1]

Odvození[editovat | editovat zdroj]

Cílem je proložit hodnotami , polynom -tého stupně . Koeficienty jsou přitom voleny tak, aby součet druhých mocnin odchylek

byl minimální, tj.

Úloha vede na problém nejmenších čtverců.

Problém nejmenších čtverců[editovat | editovat zdroj]

Dosazením hodnot do polynomiálního modelu přímo dostaneme aproximační problém. Z definice odchylky zřejmě platí . (Uvědomme si, že tak vlastně reprezentuje chybu vzniklou při měření veličiny přičemž předpokládáme, že veličiny jsou známy přesně.) V maticovém zápisu

kde

jsou neznámé koeficienty hledaného polynomu a cílem je dosáhnout takového řešení, aby norma vektoru byla minimální. Úloha se řeší metodou nejmenších čtverců.

Minimum funkcionálu [editovat | editovat zdroj]

Minimum (pozitivně semidefinitního) funkcionálu můžeme hledat klasicky pomocí derivací. Protože veličiny , jsou předem známy, odchylka je funkcí koeficientů polynomu , tj. . Minimalizace součtu kvadrátů odchylek vede na hledání minima funkcionálu

Funkcionál tvoří součet druhých mocnin, je tedy zřejmě nezáporný a nemůže obsahovat žádná lokální maxima ani sedlové body. Bod splňující podmínky

je tedy vždy lokálním minimem, které je zároveň minimem globálním. Vyjádříme-li jednotlivé parciální derivace, dostáváme soustavu lineárních algebraických rovnic, kterou můžeme maticově zapsat ve tvaru

Řešením této soustavy jsou hledané koeficienty . Pokud má matice lineárně nezávislé sloupce, koeficienty polynomu jsou dány jednoznačně a lze je formálně vypočítat podle vztahu

Jak vidíme, soustava získaná z parciálních derivací funkcionálu není nic jiného než soustava normálních rovnic odpovídající problému nejmenších čtverců z předchozího odstavce. Poznamenejme, že se úloha zpravidla (z numerických důvodů) neřeší pomocí soustavy normálních rovnic , ale například QR faktorizací rozšířené matice původního problému nejmenších čtverců.

Kvadratická regrese[editovat | editovat zdroj]

Graf, na kterém byla experimentální data zjištěna s obrovskou chybou, přičemž daná závislost (nalezená metodou nejmenších čtverců) proměnné y na x je kvadratická.

Kvadratická regrese je případ polynomické regrese, kdy stupeň polynomu je roven dvěma. Jako taková je tedy speciálním případem lineární regrese. Soubor daných hodnot je proložen (aproximován) kvadratickou funkcí (parabolou). Koeficienty polynomu (paraboly) jsou opět vypočteny metodou nejmenších čtverců.

Odvození problému nejmenších čtverců i nalezení minima funkcionálu je zcela analogické předchozímu případu. Místo obecným polynomem prokládáme data parabolou, tedy polynomem druhého řádu . Součet čtverců odchylek (funkcionál ) závisí na parametrech , konkrétně

Minimum funkcionálu opět nalezneme pomocí parciálních derivací (v místě lokálního extrému jsou rovny nule),

Spočtením derivací dostaneme soustavu normálních rovnic

ze které již formálně není problém (za předpokladu regularity matice soustavy) vypočítat koeficienty .

Reference[editovat | editovat zdroj]

  1. Jiří Likeš, Josef Machek, Matematická statistika, SNTL Praha 1988, s. 165-169

Související články[editovat | editovat zdroj]