Polynom

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Polynom (též mnohočlen) je výraz ve tvaru

,

kde . Čísla se nazývají koeficienty polynomu.

Stupeň polynomu[editovat | editovat zdroj]

Stupněm polynomu p(x) rozumíme nejvyšší exponent proměnné x s nenulovým koeficientem, značíme jej st. p(x) nebo deg p(x). Stupeň kvadratického polynomu (např. p(x) = x2 – 3×) je tedy 2, stupeň konstantního polynomu (např. p(x) = 7) je 0. Pro nulový polynom (p(x) = 0) se někdy definuje deg p(x) = –1.

Příklady polynomů[editovat | editovat zdroj]

  • je polynom 1. stupně (lineární polynom)
  • je polynom 2. stupně (kvadratický polynom)
  • je polynom 3. stupně (kubický polynom)

Operace s polynomy[editovat | editovat zdroj]

Mějme polynom -tého stupně , a polynom -tého stupně .

  • Oba polynomy se vzájemně rovnají, tzn. pro všechna pouze tehdy, je-li a pro každé platí .
  • Sečtením polynomů a získáme polynom
,

kde je stupeň výsledného polynomu.

  • Součin polynomů je polynom , který získáme vzájemným vynásobením jednotlivých členů obou polynomů, přičemž stupeň nového polynomu je .
  • Platí tedy, že .
  • Je-li kde , pak existují právě dva polynomy takové, že platí

kde má stupeň menší než nebo je nulovým polynomem. Pokud je nulový polynom, pak říkáme, že polynom je dělitelný polynomem .

Hornerovo schéma[editovat | editovat zdroj]

Polynom lze zapsat ve tvaru

Tento zápis lze využít k výpočtu hodnoty polynomu v bodě postupem, který bývá označován jako Hornerovo schéma. Zapíšeme-li

,
,
,
,

pak poslední číslo představuje právě hodnotu polynomu v bodě .

Příklady[editovat | editovat zdroj]

  • Mějme polynomy ,
  • Pokusme se zjistit, zda je polynom dělitelný polynomem .

Vydělíme člen s nejvyšší mocninou polynomu členem s nejvyšší mocninou polynomu , tzn. . První člen polynomu tedy bude . Tímto členem vynásobíme polynom (dostaneme tedy ) a výsledek odečteme od polynomu , čímž získáme nový polynom .

Nejvyšší člen polynomu opět dělíme nejvyšším členem polynomu , tzn. , tzn. další člen polynomu je . Tímto členem opět násobíme polynom , tzn. získáme , a výsledek odečteme od polynomu . Získáme nový polynom .

Stupeň polynomu je však nižší než stupeň polynomu , proto již nelze pokračovat v dělení. Polynom tedy odpovídá polynomu .

Výsledek tedy je

,

tzn. a .

Vzhledem k tomu, že , není polynom dělitelný polynomem .

Kořen polynomu[editovat | editovat zdroj]

Číslo se nazývá kořen polynomu , jestliže platí

Této skutečnosti, společně se základní větou algebry, se využívá při řešení algebraických rovnic.

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

  • Je-li kořenem polynomu stupně , pak
,

kde je polynom stupně .

  • Z předchozího plyne, že pokud je známo pouze kořenů polynomu -tého stupně, můžeme opakovaným použitím předchozího rozkladu rozložit libovolný polynom na součin kořenových činitelů, které obsahují známé kořeny polynomu, a polynomu stupně , tzn.
,

kde představují známé kořeny polynomu . Pro nalezení zbývajících kořenů polynomu stačí hledat pouze kořeny polynomu , tzn. řešit rovnici , neboť tyto kořeny jsou také zbývajícími kořeny polynomu . Polynom získáme z polynomu jeho vydělením výrazem .

Rozklad na kořenové činitele[editovat | editovat zdroj]

  • Důsledkem předchozí vlastnosti je skutečnost, že každý polynom stupně lze zapsat ve tvaru
,

kde jsou kořeny polynomu . Členy označujeme jako kořenové činitele. Ke každému polynomu existuje pouze jediný součin kořenových činitelů (pořadí jednotlivých kořenových činitelů v součinu není důležité).

Násobnost kořene[editovat | editovat zdroj]

  • Jestliže se v rozkladu na kořenové činitele vyskytují někteří kořenoví činitelé vícekrát, můžeme psát
,

kde , přičemž jsou přirozená čísla. Čísla určují násobnost kořene , tzn. kolikrát se kořen vyskytuje v řešení polynomu.

  • Pokud má polynom stupně s reálnými koeficienty -násobný kořen , má také -násobný kořen . To má za následek, že každý takový polynom je dělitelný polynomem .
  • Podle předchozího tvrzení lze každý polynom stupně s reálnými koeficienty vyjádřit jako součin reálného čísla , reálných kořenových činitelů a reálných trojčlenů , splňujících podmínku , tzn.
,

kde jsou reálná čísla, přičemž je splněna podmínka .

Také v předchozím rozkladu se někteří kořenoví činitelé mohou vyskytovat vícenásobně, tzn.

,

kde určuje počet reálných kořenů polynomu a je polovina z celkového počtu všech komplexních kořenů polynomu.

  • Z předchozího zápisu plyne, že každý polynom lichého stupně s reálnými koeficienty má alespoň jeden reálný kořen.
  • Pokud jsou kořeny polynomu , potom pro tyto kořeny platí následující vztahy

Derivace polynomu[editovat | editovat zdroj]

  • Derivací polynomu rozumíme polynom tvaru . Derivaci značíme '

(Pozn. Derivací nulového polynomu je nulový polynom.)

  • n-tou derivací rozumíme výraz definovaný pomocí indukce

'

'

Souvislost derivace a násobnosti kořene[editovat | editovat zdroj]

Číslo je k-násobný kořen polynomu právě tehdy, když je kořenem polynomu a jeho derivací až do řádu (a není kořenem derivace řádu ).

Polynom dvou proměnných[editovat | editovat zdroj]

Funkci dvou proměnných označíme jako polynom, pokud existují přirozená čísla a konstanty takové, že platí

.

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]