Polynom

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Polynom (též mnohočlen) je výraz ve tvaru

p(x)=\sum_{i=0}^n {a_i x^i}=a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_n x^n,

kde a_n \neq 0. Čísla a_0, a_1, ..., a_n se nazývají koeficienty polynomu.

Stupeň polynomu[editovat | editovat zdroj]

Stupněm polynomu p(x) rozumíme nejvyšší exponent proměnné x s nenulovým koeficientem, značíme jej st. p(x) nebo deg p(x). Stupeň kvadratického polynomu (např. p(x) = x2 – 3×) je tedy 2, stupeň konstantního polynomu (např. p(x) = 7) je 0. Pro nulový polynom (p(x) = 0) se někdy definuje deg p(x) = –1.

Příklady polynomů[editovat | editovat zdroj]

  • p(x) = 0 je tzv. nulový polynom, tedy polynom, který má všechny koeficienty nulové, tzn. a_i = 0, i = 0, 1, 2, ...
  • p(x) = 4 je polynom nultého stupně (konstanta)
  • p(x) = 8 x + 3 je polynom 1. stupně (lineární polynom)
  • p(x) = 3 x^2 + 2 x - 2 je polynom 2. stupně (kvadratický polynom)
  • p(x) = 3 x^3 - 8 x je polynom 3. stupně (kubický polynom)

Operace s polynomy[editovat | editovat zdroj]

Mějme polynom n-tého stupně f(x) = \sum_{i=0}^n a_i x^i, a_n \neq 0, a polynom m-tého stupně g(x) = \sum_{i=0}^m b_i x^i, b_m \neq 0.

  • Oba polynomy se vzájemně rovnají, tzn. f(x) = g(x) pro všechna x pouze tehdy, je-li n = m a pro každé i = 1, 2, ..., n platí a_i = b_i.
h(x) = f(x) + g(x) = \sum_{i=0}^r (a_i + b_i) x^i,

kde r = max(n,m) je stupeň výsledného polynomu.

  • Součin polynomů f(x), g(x) je polynom f(x) \cdot g(x), který získáme vzájemným vynásobením jednotlivých členů obou polynomů, přičemž stupeň nového polynomu je s = n + m.
  • Platí tedy, že  \sum_{i=0}^n a_i x^i \cdot \sum_{i=0}^m b_i x^i = \sum_{i=0}^{n+m} (\sum_{j=0}^i a_j\cdot b_{i-j}) x^i .
  • Je-li kde n \geq m, pak existují právě dva polynomy r(x), s(x) takové, že platí
f(x) = g(x) r(x) + s(x)

kde s(x) má stupeň menší než m nebo je nulovým polynomem. Pokud s(x) je nulový polynom, pak říkáme, že polynom f(x) je dělitelný polynomem g(x).

Hornerovo schéma[editovat | editovat zdroj]

Polynom p(x)=\sum_{i=0}^n {a_i x^i} lze zapsat ve tvaru

p(x) = (...((a_n x + a_{n-1})x + a_{n-2})x + ... + a_1)x + a_0

Tento zápis lze využít k výpočtu hodnoty polynomu p(x) v bodě x postupem, který bývá označován jako Hornerovo schéma. Zapíšeme-li

c_n = a_n,
c_{n-1} = c_n x + a_{n-1},
c_{n-2} = c_{n-1} x + a_{n-2},
c_0 = c_1 x + a_0,

pak poslední číslo c_0 představuje právě hodnotu polynomu p(x) v bodě x.

Příklady[editovat | editovat zdroj]

  • Mějme polynomy f(x) = x^4 - x, g(x) = x^3 - 2 x + 1
f(x) + g(x) = x^4 - x + x^3 - 2x + 1 = x^4 + x^3 - 3 x + 1
f(x) \cdot g(x) = (x^4 - x)(x^3 - 2x + 1) = x^7 - 2x^5 + x^4 - x^4 + 2x^2 - x = x^7 - 2x^5 + 2x^2 - x
  • Pokusme se zjistit, zda je polynom f(x) = x^4 - 3x^2 + 2x + 1 dělitelný polynomem g(x) = x^2 + 1.

Vydělíme člen s nejvyšší mocninou polynomu f(x) členem s nejvyšší mocninou polynomu g(x), tzn. \frac{x^4}{x^2} = x^2. První člen polynomu r(x) tedy bude x^2. Tímto členem vynásobíme polynom g(x) (dostaneme tedy x^4 + x^2) a výsledek odečteme od polynomu f(x), čímž získáme nový polynom f_1(x) = f(x) - (x^4 + x^2) = - 4x^2 + 2x + 1.

Nejvyšší člen polynomu f_1(x) opět dělíme nejvyšším členem polynomu g(x), tzn. \frac{-4 x^2}{x^2} = -4, tzn. další člen polynomu r(x) je -4. Tímto členem opět násobíme polynom g(x), tzn. získáme -4 x^2 - 4, a výsledek odečteme od polynomu f_1(x). Získáme nový polynom f_2(x) = 2 x + 5.

Stupeň polynomu f_2(x) je však nižší než stupeň polynomu g(x), proto již nelze pokračovat v dělení. Polynom f_2(x) tedy odpovídá polynomu s(x).

Výsledek tedy je

f(x) = x^4 - 3 x^2 + 2 x + 1 = g(x) r(x) + s(x) = (x^2 + 1)(x^2 - 4) + (2 x + 5),

tzn. r(x) = x^2 - 4 a s(x) = 2x + 5.

Vzhledem k tomu, že s(x) \neq 0, není polynom f(x) dělitelný polynomem g(x).

Kořen polynomu[editovat | editovat zdroj]

Číslo \alpha se nazývá kořen polynomu p(x), jestliže platí

p(\alpha) = 0

Této skutečnosti, společně se základní větou algebry, se využívá při řešení algebraických rovnic.

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

  • Je-li \alpha kořenem polynomu p(x) stupně n \geq 1, pak
p(x) = (x - \alpha) g(x),

kde g(x) je polynom stupně n - 1.

  • Z předchozího plyne, že pokud je známo pouze k kořenů polynomu n-tého stupně, můžeme opakovaným použitím předchozího rozkladu rozložit libovolný polynom p(x) na součin kořenových činitelů, které obsahují známé kořeny polynomu, a polynomu g(x) stupně n-k, tzn.
p(x) = (x - \alpha_1)(x - \alpha_2) \cdots (x - \alpha_k) g(x),

kde \alpha_i představují známé kořeny polynomu p(x). Pro nalezení zbývajících kořenů polynomu p(x) stačí hledat pouze kořeny polynomu g(x), tzn. řešit rovnici g(x) = 0, neboť tyto kořeny jsou také zbývajícími kořeny polynomu p(x). Polynom g(x) získáme z polynomu p(x) jeho vydělením výrazem (x - \alpha_1) \cdots (x - \alpha_k).

Rozklad na kořenové činitele[editovat | editovat zdroj]

  • Důsledkem předchozí vlastnosti je skutečnost, že každý polynom p(x) stupně n \geq 1 lze zapsat ve tvaru
p(x) = a_n (x - \alpha_1)(x - \alpha_2) \cdots (x - \alpha_n),

kde \alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n jsou kořeny polynomu p(x). Členy (x - \alpha_i) označujeme jako kořenové činitele. Ke každému polynomu existuje pouze jediný součin kořenových činitelů (pořadí jednotlivých kořenových činitelů v součinu není důležité).

Násobnost kořene[editovat | editovat zdroj]

  • Jestliže se v rozkladu na kořenové činitele vyskytují někteří kořenoví činitelé vícekrát, můžeme psát
f(x) = a_n (x - \alpha_1)^{k_1} \cdot (x -\alpha_2)^{k_2} \cdot ... \cdot (x - \alpha_n)^{k_n},

kde k_1+k_2+...+k_n=n, přičemž k_i jsou přirozená čísla. Čísla k_i určují násobnost kořene \alpha_i, tzn. kolikrát se kořen \alpha_i vyskytuje v řešení polynomu.

  • Pokud má polynom stupně n \geq 1 s reálnými koeficienty k-násobný kořen \alpha = a + i b, má také k-násobný kořen \overline{\alpha} = a - i b. To má za následek, že každý takový polynom je dělitelný polynomem (x - \alpha)(x - \overline{\alpha}) = x^2 - 2 x a + (a^2 + b^2).
  • Podle předchozího tvrzení lze každý polynom p(x) stupně n \geq 1 s reálnými koeficienty vyjádřit jako součin reálného čísla a_n, reálných kořenových činitelů x - \alpha_i a reálných trojčlenů x^2 + p_i x + q_i, splňujících podmínku p_i^2 - 4 q_i < 0, tzn.
p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 = a_n (x - \alpha_1)(x - \alpha_2) \cdots (x - \alpha_k)(x^2 + p_1 x + q_1)(x^2 + p_2 x + q_2) \cdots (x^2 + p_m x + q_m),

kde \alpha_1, ..., \alpha_k, p_1, ..., p_m, q_1, ..., q_m jsou reálná čísla, přičemž je splněna podmínka k + 2 m = n.

Také v předchozím rozkladu se někteří kořenoví činitelé mohou vyskytovat vícenásobně, tzn.

p(x) = a_n (x - \alpha_1)^{u_1} \cdots (x - \alpha_s)^{u_s}(x^2 + p_1 x + q_1)^{v_1} \cdots (x^2 + p_r x + q_r)^{v_r},

kde u_1 + u_2 + ... + u_s = k určuje počet reálných kořenů polynomu a v_1 + v_2 + ... + v_r = m je polovina z celkového počtu všech komplexních kořenů polynomu.

  • Z předchozího zápisu plyne, že každý polynom lichého stupně s reálnými koeficienty má alespoň jeden reálný kořen.
  • Pokud jsou \alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n kořeny polynomu p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0, potom pro tyto kořeny platí následující vztahy
\alpha_1 + \alpha_2 + ...+ \alpha_n = -a_{n-1}
\alpha_1 \alpha_2 + \alpha_1 \alpha_3 + ... + \alpha_1 \alpha_n + \alpha_2 \alpha_3 + ...+ \alpha_2 \alpha_n + + \alpha_{n-1} \alpha_n = a_{n-2}
\alpha_1 \alpha_2 \cdots \alpha_n = (-1)^n a_0

Derivace polynomu[editovat | editovat zdroj]

  • Derivací polynomu  \sum_{i=0}^n a_i x^i rozumíme polynom tvaru  \sum_{i=1}^{n} a_i\cdot i x^{i-1} . Derivaci značíme  f '

(Pozn. Derivací nulového polynomu je nulový polynom.)

  • n-tou derivací rozumíme výraz definovaný pomocí indukce

 f\ ^{(1)}=f '

 f\ ^{(n)}=(f^{(n-1)}) '

Souvislost derivace a násobnosti kořene[editovat | editovat zdroj]

Číslo \alpha je k-násobný kořen polynomu právě tehdy, když je kořenem polynomu a jeho derivací až do řádu k-1 (a není kořenem derivace řádu k).

Polynom dvou proměnných[editovat | editovat zdroj]

Funkci P dvou proměnných x \in R, y \in R označíme jako polynom, pokud existují přirozená čísla n, m a konstanty a_{ij} takové, že platí

P(x,y) = \sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^m a_{ij} x^i y^j.

Související články[editovat | editovat zdroj]