Dvojčlen

Dvojčlen nebo binom (lat.) je v algebře součet nebo rozdíl dvou jednoduchých členů (monomů), který se nejčastěji zapisuje v závorkách jako (a + 7), (ax + b), (ax – b) a podobně. Dvojčlen je zvláštní případ mnohočlenu (polynomu) se dvěma členy.

Aritmetické operace s dvojčleny[editovat | editovat zdroj]

Pro dva (lineární) dvojčleny (a₁x + b₁) a (a₂x + b₂) platí, že:

(a₁x + b₁) + (a₂x + b₂) = ((a₁ + a₂)x + (b₁ + b₂))
(a₁x + b₁) – (a₂x + b₂) = ((a₁ – a₂)x + (b₁ – b₂))

Součin dvojčlenů $(ax+b)$ a $(cx+d)$ je:

(ax+b)(cx+d)=acx^{2}+adx+bcx+bd.

Dvojčlen $a^{2}-b^{2}$ lze rozložit na součin dvou dvojčlenů

a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b).

Povýšení dvojčlenu na n-tou mocninu, jež se zapíše jako

(a+b)^{n}

,

lze rozvinout pomocí binomické věty, anebo pomocí Pascalova trojúhelníku. V jednoduchém případě dvojčlenu

(p+q)^{2}

se mocnina vypočte jako součet čtverce prvního členu, dvojnásobného součinu obou členů a čtverce druhého členu:

p^{2}+2pq+q^{2}

. Geometrické znázornění je na vedlejším obrázku.

Je to zvláštní případ obecnějšího vzorce:

a^{n+1}-b^{n+1}=(a-b)\sum _{k=0}^{n}a^{k}\,b^{n-k}

.

Zajímavý příklad je vzorec pro tzv. Pythagorejské trojice: pro m < n nechť platí $a=n^{2}-m^{2}$ , $b=2mn$ a $c=n^{2}+m^{2}$ . Potom platí, že $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ .