Podmíněnost matice

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Podmíněnost matice nebo též číslo podmíněnosti matice, je číslo, které kvalitativně charakterizuje danou matici a do značné míry determinuje chování (zejména přesnost) řady numerických maticových algoritmů.

Čtvercová regulární matice[editovat | editovat zdroj]

Nechť je čtvercová regulární matice, pak číslo

kde značí libovolnou maticovou normu, nazveme podmíněností matice vzhledem k této normě (v praxi se nejčastěji používá spektrální a Frobeniova norma).

Uvažujme podmíněnost indukovanou spektrální normou. Je-li matice symetrická pozitivně definitní (tj. normální matice s kladnými vlastními čísly), pak

kde podíl vpravo je podíl největšího a nejmenšího vlastního čísla matice .

Je-li regulární matice normální (tedy ), pak

kde je spektrum matice ; podmíněnost je tedy podíl v absolutní hodnotě největšího a v absolutní hodnotě nejmenšího vlastního čísla matice .

Pro obecnou čtvercovou regulární matici je podmíněnost

dána podílem největšího a nejmenšího singulárního čísla matice (singulární čísla normálních matic jsou absolutní hodnoty vlastních čísel).

Zřejmě obecně platí


Příklady[editovat | editovat zdroj]

Ortogonální matice[editovat | editovat zdroj]

Je-li matice ortogonální, pak zřejmě . Obecně platí

kde .

Vzdálenost od nejbližší singulární matice[editovat | editovat zdroj]

Je-li matice regulární, a matice je nějaká její perturbace tak, že

pak je i matice regulární. Důkaz jen naznačíme. Podmínku

lze zapsat ve tvaru . Místo tvrzení původního lze snadno dokázat tvrzení opačné: je-li singulární, pak . Nechť tedy existuje tak, že , tedy , pak

Protože můžeme nerovnost dělit a dostáváme shora uvedené tvrzení. (Všimněme si, že důkaz a tedy i tvrzení platí pro libovolnou multiplikativní maticovou normu a jí indukovanou podmíněnost, nejen pro normu spektrální.)

Podmíněnost (respektive její převrácená hodnota) tedy vyjadřuje vzdálenost od nejbližší singulární matice.

Podmíněnost versus determinant[editovat | editovat zdroj]

Pro rozlišení singulárních a regulárních matic se často používá determinantu matice. Velkou nevýhodou determinantu, ve srovnání s číslem podmíněnosti, je fakt, že je-li determinant nenulový ale velmi blízký nule, o vzdálenosti dané matice od nejbližší matice singulární to nic nevypovídá. V praktických výpočtech je tudíž determinant naprosto nepoužitelný. Uvažujme pro příklad skalární násobek jednotkové (tedy ortogonální a bezesporu regulární) matice

pak

V běžně používané konečné aritmetice s plovoucí řádovou čárkou (double, ) je determinant této matice nulový.

Podmíněnost singulární matice jako limita[editovat | editovat zdroj]

Nechť je matice jejíž koeficienty spojitě závisí na parametru a nechť všechna singulární čísla matice jsou jednoduchá pro všechna (pak jsou též spojitými funkcemi parametru ). Nechť je matice regulární všude v nějakém okolí bodu a zároveň je singulární. Pak

Obdélníková matice[editovat | editovat zdroj]

Uvažujme obdélníkovou matici , která má plnou hodnost, tedy . Podmíněnost je pak opět dána podílem největšího a nejmenšího singulárního čísla

kde je Moore-Penroseova pseudoinverze matice .

Podmíněnost obecné matice lze analogicky definovat pomocí součinu normy matice a normy její Moore-Penroseovy pseudoinverze, tedy jako podíl největšího a nejmenšího nenulového singulárního čísla. Takto definovaná podmíněnost je vždy konečné číslo, a je tedy různá od podmíněnosti shora uvedené čtvercové singulární matice, která byla zavedena limitním přechodem. V numerické analýze se ovšem velmi často vyskytují matice regulární, nebo alespoň plné hodnosti. Konečná podmíněnost zcela obecné matice je potřeba řidčeji.

Reference[editovat | editovat zdroj]

  • J. Duintjer Tebbens, I. Hnětynková, M. Plešinger, Z. Strakoš, P. Tichý: Analýza metod pro maticové výpočty, základní metody. Matfyzpress 2012. ISBN 978-80-7378-201-6.