Geometrická posloupnost

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

Geometrická posloupnost je druh matematické posloupnosti, kde každý člen kromě prvního je stálým násobkem předchozího členu. Tento násobek se nazývá kvocient geometrické posloupnosti a pro posloupnosti s nenulovými členy je roven podílu libovolného členu kromě prvního a členu předchozího.

Geometrickou posloupnost s nezápornými členy lze chápat jako zúžení exponenciální funkce na obor přirozených čísel (připouštíme však i základ 0 a 1) a proto i pro svou jednoduchost je jedním z nejdůležitějších typů posloupností.

Vyjádření členů posloupnosti[editovat | editovat zdroj]

Pro vyjádření n-tého členu geometrické posloupnosti s kvocientem q lze použít různé vztahy.

Rekurentní zadání[editovat | editovat zdroj]

Geometrické posloupnosti lze definovat jako řešení lineární rekurentní rovnice 1. řádu s konstantními koeficienty:

Řešením lze zjistit vzorec pro libovolný člen:

První člen a1 má libovolnou hodnotu (je to tzv. počáteční podmínka), obecný vztah pro n-tý člen se dokáže snadno matematickou indukcí.

Zadání vzorcem pro n-tý člen[editovat | editovat zdroj]

.

Příklad[editovat | editovat zdroj]

Například je-li , pak několik prvních členů geometrické posloupnosti je: 2, 6, 18, 54, 162, 486 …

Pro se jedná o posloupnost 1, -1, 1, -1, ...

Součet prvních n členů[editovat | editovat zdroj]

Součet prvních n členů geometrické posloupnosti se vypočítá (pro q≠1):

a pro q=1 samozřejmě (jedná se pak o konstantní aritmetickou posloupnost):

Tento zvláštní případ lze také dostat z předchozího vzorce limitním přechodem pro .

Vztahy platí v libovolném komutativním tělese, např. komplexních čísel.

Příklad[editovat | editovat zdroj]

Součet prvních pěti členů posloupnosti z předchozího příkladu () je:

Odvození vzorce[editovat | editovat zdroj]

Součet prvních n členů geometrické posloupnosti lze vyjádřit jako .

Vynásobíme-li obě strany rovnice kvocientem q, dostaneme .

Odečtením první rovnice od druhé dostaneme .

Takže (je-li q různé od 1), platí

.

Pro q = 1 je součet prvních n členů triviální, jedná se o (konstantní) aritmetickou posloupnost (lze dostat i limitním přechodem),

Jiný způsob odvození vzorce[editovat | editovat zdroj]

Součet prvních členů posloupnosti lze spočítat „hrubou silou“ následovně:

,

kde členy lze vyjádřit pomocí :

,

přičemž ze součtu lze vytknout :

.

Obdobně lze získat i vztah pro součet prvních členů (ve skutečnosti nás příliš nezajímá, ale bude se hodit pro další odvozování):

Tento vzorec se ovšem velmi podobá předchozímu vztahu pro . V podstatě lze vypočítat z dvěma způsoby:

  • Součet má o jeden (poslední) člen více než :
  • Závorka v je vlastně závorka z vynásobená a ještě k ní je zleva přičtena 1:
Po vynásobení lze tuto skutečnost aplikovat na a :

Získali jsme tak dvě různé možnosti, jak vypočítat . Protože tyto dvě možnosti musí dávat stejný výsledek, lze mezi ně položit rovnítko:

Z takto sestavené rovnice lze po několika úpravách získat hledaný vzorec pro výpočet (v tomto okamžiku už pro nás vlastní součet přestává být zajímavý):

Geometrická řada[editovat | editovat zdroj]

Součet členů geometrické posloupnosti je označován jako geometrická řada.

Součet geometrické řady je dán jako limita posloupnosti n-tých částečných součtů. Platí tedy

Geometrická řada tedy konverguje pouze tehdy, je-li absolutní hodnota kvocientu q menší než 1.

Vyjádření periodického čísla zlomkem pomocí geometrické řady[editovat | editovat zdroj]

Příklad

Napište jako zlomek s celočíselným čitatelem i jmenovatelem:

Zapíšeme nejprve jako desetinný rozvoj:

...

Pak (|q| < 1) => konvergentní řada => můžeme vypočítat její součet pomocí vzorečku:

kde = 1. člen posloupnosti, q = kvocient

Souvislost s geometrickým průměrem[editovat | editovat zdroj]

Pro geometrickou posloupnost komplexních čísel platí, že absolutní hodnota každého členu kromě prvního je geometrickým průměrem absolutních hodnot sousedních členů:

Obráceně pokud tato vlastnost platí pro všechny členy posloupnosti (s nezápornými členy) počínaje druhým, tak se jedná o geometrickou posloupnost. Dokáže se např. převedením na aritmetickou posloupnost (logaritmováním).

Souvislost s aritmetickou posloupností[editovat | editovat zdroj]

Je-li posloupnost geometrická s kladnými členy, tak je posloupnost aritmetická (pro libovolný základ b>0, b≠1).

Je-li posloupnost aritmetická, tak je posloupnost geometrická (pro libovolný základ b≥0).

Související články[editovat | editovat zdroj]