Geometrická posloupnost

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Geometrická posloupnost je druh matematické posloupnosti, kde každý člen kromě prvního je stálým násobkem předchozího členu. Tento násobek se nazývá kvocient geometrické posloupnosti a pro posloupnosti s nenulovými členy je roven podílu libovolného členu kromě prvního a členu předchozího.

Geometrickou posloupnost s nezápornými členy lze chápat jako zúžení exponenciální funkce na obor přirozených čísel (připouštíme však i základ 0 a 1) a proto i pro svou jednoduchost je jedním z nejdůležitějších typů posloupností.

Vyjádření členů posloupnosti[editovat | editovat zdroj]

Pro vyjádření n-tého členu geometrické posloupnosti s kvocientem q lze použít různé vztahy.

Rekurentní zadání[editovat | editovat zdroj]

Geometrické posloupnosti lze definovat jako řešení lineární rekurentní rovnice 1. řádu s konstantními koeficienty:

Řešením lze zjistit vzorec pro libovolný člen:

První člen a1 má libovolnou hodnotu (je to tzv. počáteční podmínka), obecný vztah pro n-tý člen se dokáže snadno matematickou indukcí.

Zadání vzorcem pro n-tý člen[editovat | editovat zdroj]

.

Pro případ používáme .

Příklad[editovat | editovat zdroj]

Například je-li , pak několik prvních členů geometrické posloupnosti je: 2, 6, 18, 54, 162, 486 …

Pro se jedná o posloupnost 1, -1, 1, -1, ...

Součet prvních n členů[editovat | editovat zdroj]

Součet prvních n členů geometrické posloupnosti se vypočítá (pro q≠1):

a pro q=1 samozřejmě (jedná se pak o konstantní aritmetickou posloupnost):

Tento zvláštní případ lze také dostat z předchozího vzorce limitním přechodem pro .

Vztahy platí v libovolném komutativním tělese, např. komplexních čísel.

Příklad[editovat | editovat zdroj]

Součet prvních pěti členů posloupnosti z předchozího příkladu () je:

Odvození vzorce[editovat | editovat zdroj]

Součet prvních n členů geometrické posloupnosti lze vyjádřit jako .

Vynásobíme-li obě strany rovnice kvocientem q, dostaneme .

Odečtením první rovnice od druhé dostaneme .

Takže (je-li q různé od 1), platí

.

Pro q = 1 je součet prvních n členů triviální, jedná se o (konstantní) aritmetickou posloupnost (lze dostat i limitním přechodem),

Jiný způsob odvození vzorce[editovat | editovat zdroj]

Součet prvních členů posloupnosti lze spočítat „hrubou silou“ následovně:

,

kde členy lze vyjádřit pomocí :

,

přičemž ze součtu lze vytknout :

.

Obdobně lze získat i vztah pro součet prvních členů (ve skutečnosti nás příliš nezajímá, ale bude se hodit pro další odvozování):

Tento vzorec se ovšem velmi podobá předchozímu vztahu pro . V podstatě lze vypočítat z dvěma způsoby:

  • Součet má o jeden (poslední) člen více než :
  • Závorka v je vlastně závorka z vynásobená a ještě k ní je zleva přičtena 1:
Po vynásobení lze tuto skutečnost aplikovat na a :

Získali jsme tak dvě různé možnosti, jak vypočítat . Protože tyto dvě možnosti musí dávat stejný výsledek, lze mezi ně položit rovnítko:

Z takto sestavené rovnice lze po několika úpravách získat hledaný vzorec pro výpočet (v tomto okamžiku už pro nás vlastní součet přestává být zajímavý):

Geometrická řada[editovat | editovat zdroj]

Součet členů geometrické posloupnosti je označován jako geometrická řada.

Součet geometrické řady je dán jako limita posloupnosti n-tých částečných součtů. Platí tedy

Geometrická řada tedy konverguje pouze tehdy, je-li absolutní hodnota kvocientu q menší než 1.

Vyjádření periodického čísla zlomkem pomocí geometrické řady[editovat | editovat zdroj]

Příklad

Napište jako zlomek s celočíselným čitatelem i jmenovatelem:

Zapíšeme nejprve jako desetinný rozvoj:

...

Pak (|q| < 1) => konvergentní řada => můžeme vypočítat její součet pomocí vzorečku:

kde = 1. člen posloupnosti, q = kvocient

Souvislost s geometrickým průměrem[editovat | editovat zdroj]

Pro geometrickou posloupnost komplexních čísel platí, že absolutní hodnota každého členu kromě prvního je geometrickým průměrem absolutních hodnot sousedních členů:

Obráceně pokud tato vlastnost platí pro všechny členy posloupnosti (s nezápornými členy) počínaje druhým, tak se jedná o geometrickou posloupnost. Dokáže se např. převedením na aritmetickou posloupnost (logaritmováním).

Souvislost s aritmetickou posloupností[editovat | editovat zdroj]

Je-li posloupnost geometrická s kladnými členy, tak je posloupnost aritmetická (pro libovolný základ b>0, b≠1).

Je-li posloupnost aritmetická, tak je posloupnost geometrická (pro libovolný základ b≥0).

Související články[editovat | editovat zdroj]