Limita posloupnosti

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Limita posloupnosti je matematická konstrukce, vyjadřující, že se hodnoty zadané posloupnosti blíží libovolně blízko k nějakému bodu. Právě tento bod je pak označován jako limita. Tato skutečnost se zapisuje případně .

Pojem limity posloupnosti lze definovat na libovolném metrickém prostoru.

Formální definice[editovat | editovat zdroj]

Posloupnost má limitu A, pokud se jejími hodnotami můžeme k A libovolně přiblížit. Tedy pro každé kladné číslo platí, že existuje nějaký člen posloupnosti, od kterého jsou už její hodnoty od A vzdáleny méně, než .

Zapsáno symbolicky:

Platí, že každá posloupnost má nejvýše jednu limitu.

Důkaz jednoznačnosti limity[editovat | editovat zdroj]

Budeme dokazovat sporem. Předpokládejme tedy, že nějaká posloupnost má dvě limity: a , přičemž .

Platí:

a

Označme větší z čísel , . Pak pro všechna epsilon, tedy i pro a pro nějaké platí:

a

Tedy vzdálenost od bodu i od bodu je menší, než polovina vzdálenosti těchto dvou bodů, dostáváme tedy spor.

Konvergence posloupnosti[editovat | editovat zdroj]

Pokud k libovolnému číslu existuje přirozené číslo takové, že pro všechna platí , pak říkáme, že posloupnost má (vlastní, konečnou) limitu , popř. že posloupnost konverguje k číslu . Konvergenci posloupnosti k zapisujeme

Pokud má posloupnost vlastní limitu, pak ji označujeme jako konvergentní. V opačném případě hovoříme o divergentní posloupnosti.

K ověření konvergence lze použít tzv. Bolzano-Cauchyovu podmínku, která říká, že existuje-li ke každému takové přirozené číslo , že pro libovolnou dvojici indexů platí , pak je posloupnost konvergentní. V úplných metrických prostorech se jedná o nutnou a postačující podmínku konvergence posloupnosti. Posloupnost splňující BC podmínku se také nazývá Cauchyovská posloupnost.

Divergentní a oscilující posloupnosti[editovat | editovat zdroj]

Říkáme, že posloupnost je

  • konvergentní, pokud má vlastní limitu
  • divergentní, pokud má nevlastní limitu , , je oscilující nebo nemá limitu
  • oscilující, pokud nemá vlastní ani nevlastní limitu.

Konvergence řady[editovat | editovat zdroj]

Podrobnější informace naleznete v článku Řada (matematika).

Bodová a stejnoměrná konvergence[editovat | editovat zdroj]

O funkční posloupnosti říkáme, že (bodově) konverguje k limitní funkci , pokud pro každé existuje vlastní limita . Pokud uvedená limita neexistuje, pak posloupnost označíme jako divergentní.

Pokud lze pro libovolné najít takové , které je stejné pro všechny body , a pro všechna a všechny body platí

pak posloupnost označíme jako stejnoměrně konvergentní.

Posloupnost je na daném intervalu stejnoměrně konvergentní, konverguje-li v každém bodě přibližně stejně rychle.

Podle Bolzano-Cauchyovy podmínky je posloupnost na intervalu stejnoměrně konvergentní tehdy a pouze tehdy, pokud lze ke každému najít takové přirozené číslo , že pro každou dvojici a každé platí

Pokud jsou funkce na intervalu spojité a posloupnost je na stejnoměrně konvergentní, pak je na intervalu spojitá také limitní funkce .

Vlastnosti konvergentní posloupnosti[editovat | editovat zdroj]

Mějme dvě konvergentní posloupnosti , pro které platí . Pak následující posloupnosti jsou také konvergentní.

Z posloupnosti jsou vynechány všechny nulové členy, kterých je konečný počet, neboť .

Máme-li dvě konvergentní posloupnosti , pro které platí , pak jestliže pro každé je , pak je také .

Máme-li dvě konvergentní posloupnosti , pro které platí , pak jestliže existuje posloupnost taková, že pro každé je , pak platí také .

Je-li podposloupnost posloupnosti a platí , pak platí také .

Platí Bolzano-Weierstrassova věta: Je-li omezená posloupnost v , pak z ní lze vybrat posloupnost , která je konvergentní.

Tato věta je založena na axiomu výběru. Proto v některých logických systémech (např. intuicionistická logika) neplatí.

Podle Bolzano-Weierstrassovy věty má každá ohraničená posloupnost alespoň jeden hromadný bod. Pokud je těchto hromadných bodů více (i nekonečně mnoho), vždy existuje jeden nejmenší a jeden největší (tzv. limes superior a limes inferior dané posloupnosti), což zapisujeme

Posloupnost je konvergentní tehdy a pouze tehdy, pokud

Konvergentní posloupnost má tedy právě jeden hromadný bod.

Historie pojmu[editovat | editovat zdroj]

Související články[editovat | editovat zdroj]