Limita posloupnosti

Limita posloupnosti je matematická konstrukce, vyjadřující, že se hodnoty zadané posloupnosti blíží libovolně blízko k nějakému bodu. Právě tento bod je pak označován jako limita. Tato skutečnost se zapisuje $\lim a_{n}=a$ případně $a_{n}\to a\,$.

Pojem limity posloupnosti lze definovat na libovolném metrickém prostoru.

Formální definice

Posloupnost $\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty }$ má limitu A, pokud se jejími hodnotami můžeme k A libovolně přiblížit. Tedy pro každé kladné číslo $\varepsilon$ platí, že existuje nějaký člen posloupnosti, od kterého jsou už její hodnoty od A vzdáleny méně, než $\varepsilon$.

Zapsáno symbolicky:

$\forall \varepsilon >0:\exists n\in \mathbb {N} :\forall k\geq n:\left|a_{k}-A\right|<\varepsilon$

Platí, že každá posloupnost má nejvýše jednu limitu.

Důkaz jednoznačnosti limity

Budeme dokazovat sporem. Předpokládejme tedy, že nějaká posloupnost $\left(a_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ má dvě limity: $A$ a $B$, přičemž $A\neq B$.

Platí:

$\forall \varepsilon >0:\exists n_{1}\in \mathbb {N} :\forall n\geq n_{1}:\left|a_{n}-A\right|<\varepsilon$

a

$\forall \varepsilon >0:\exists n_{2}\in \mathbb {N} :\forall n\geq n_{2}:\left|a_{n}-B\right|<\varepsilon$

Označme $n_{0}$ větší z čísel $n_{1}$, $n_{2}$. Pak pro všechna epsilon, tedy i pro $\epsilon ={|A-B|/2}$ a pro nějaké $k>n_{0}$ platí:

$|A-a_{k}|<{|A-B|/2}$ a $|B-a_{k}|<{|A-B|/2}$

Tedy vzdálenost $a_{k}$ od bodu $A$ i od bodu $B$ je menší, než polovina vzdálenosti těchto dvou bodů, dostáváme tedy spor.

Konvergence posloupnosti

Pokud k libovolnému číslu $\varepsilon >0$ existuje přirozené číslo $n_{0}$ takové, že pro všechna $n>n_{0}$ platí $|a_{n}-A|<\varepsilon$, pak říkáme, že posloupnost $(a_{n})$ má (vlastní, konečnou) limitu $A$, popř. že posloupnost konverguje k číslu $A$. Konvergenci posloupnosti k $A$ zapisujeme

$\lim _{n\to \infty }a_{n}=A$

Pokud má posloupnost vlastní limitu, pak ji označujeme jako konvergentní. V opačném případě hovoříme o divergentní posloupnosti.

K ověření konvergence lze použít tzv. Bolzano-Cauchyovu podmínku, která říká, že existuje-li ke každému $\varepsilon >0$ takové přirozené číslo $n_{0}$, že pro libovolnou dvojici indexů $m>n_{0},n>n_{0}$ platí $|a_{m}-a_{n}|<\varepsilon$, pak je posloupnost $(a_{n})$ konvergentní. V úplných metrických prostorech se jedná o nutnou a postačující podmínku konvergence posloupnosti. Posloupnost splňující BC podmínku se také nazývá Cauchyovská posloupnost.

Divergentní a oscilující posloupnosti

Říkáme, že posloupnost je

• konvergentní, pokud má vlastní limitu
• divergentní, pokud má nevlastní limitu $+\infty$, $-\infty$, je oscilující nebo nemá limitu
• oscilující, pokud nemá vlastní ani nevlastní limitu.

Konvergence řady

Podrobnější informace naleznete v článku Řada (matematika).

Bodová a stejnoměrná konvergence

O funkční posloupnosti $(f_{n}(x))$ říkáme, že (bodově) konverguje k limitní funkci $f(x)$, pokud pro každé $x_{0}\in \mathbf {I}$ existuje vlastní limita $\lim _{n\to \infty }f_{n}(x_{0})=f(x_{0})$. Pokud uvedená limita neexistuje, pak posloupnost $(f_{n}(x))$ označíme jako divergentní.

Pokud lze pro libovolné $\varepsilon >0$ najít takové $n_{0}$, které je stejné pro všechny body $x\in \mathbf {I}$, a pro všechna $n>n_{0}$ a všechny body $x\in \mathbf {I}$ platí

$\left|f_{n}(x)-f(x)\right|<\varepsilon$

pak posloupnost $(f_{n}(x))$ označíme jako stejnoměrně konvergentní.

Posloupnost je na daném intervalu stejnoměrně konvergentní, konverguje-li v každém bodě $x$ přibližně stejně rychle.

Podle Bolzano-Cauchyovy podmínky je posloupnost $(f_{n}(x))$ na intervalu $\mathbf {I}$ stejnoměrně konvergentní tehdy a pouze tehdy, pokud lze ke každému $\varepsilon >0$ najít takové přirozené číslo $n_{0}$, že pro každou dvojici $n>n_{0},m>n_{0}$ a každé $x\in \mathbf {I}$ platí

$\left|f_{n}(x)-f_{m}(x)\right|<\varepsilon$

Pokud jsou funkce $f_{n}(x)$ na intervalu $\mathbf {I}$ spojité a posloupnost $(f_{n}(x))$ je na $\mathbf {I}$ stejnoměrně konvergentní, pak je na intervalu $\mathbf {I}$ spojitá také limitní funkce $f(x)$.

Vlastnosti konvergentní posloupnosti

Mějme dvě konvergentní posloupnosti $(a_{n}),(b_{n})$, pro které platí $\lim _{n\to \infty }a_{n}=a,\lim _{n\to \infty }b_{n}=b$. Pak následující posloupnosti jsou také konvergentní.

$\lim _{n\to \infty }(a_{n}\pm b_{n})=a\pm b$

$\lim _{n\to \infty }ka_{n}=ka$

$\lim _{n\to \infty }\left|a_{n}\right|=\left|a\right|$

$\lim _{n\to \infty }a_{n}b_{n}=ab$

$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}={\frac {a}{b}}\;{\mbox{ pro }}b\neq 0$

Z posloupnosti $(b_{n})$ jsou vynechány všechny nulové členy, kterých je konečný počet, neboť $b\neq 0$.

Máme-li dvě konvergentní posloupnosti $(a_{n}),(b_{n})$, pro které platí $\lim _{n\to \infty }a_{n}=a,\lim _{n\to \infty }b_{n}=b$, pak jestliže pro každé $n$ je $a_{n}\leq b_{n}$, pak je také $a\leq b$.

Máme-li dvě konvergentní posloupnosti $(a_{n}),(b_{n})$, pro které platí $\lim _{n\to \infty }a_{n}=a,\lim _{n\to \infty }b_{n}=a$, pak jestliže existuje posloupnost $(c_{n})$ taková, že pro každé $n$ je $a_{n}\leq c_{n}\leq b_{n}$, pak platí také $\lim _{n\to \infty }c_{n}=a$.

Je-li $(a_{k_{n}})$ podposloupnost posloupnosti $(a_{n})$ a platí $\lim _{n\to \infty }a_{n}=a$, pak platí také $\lim _{n\to \infty }a_{k_{n}}=a$.

Platí Bolzano-Weierstrassova věta: Je-li ${\mathit {(}}a_{n})$ omezená posloupnost v $\mathbb {R}$, pak z ní lze vybrat posloupnost ${\mathit {(}}a_{k_{n}})$, která je konvergentní.

Tato věta je založena na axiomu výběru. Proto v některých logických systémech (např. intuicionistická logika) neplatí.

Podle Bolzano-Weierstrassovy věty má každá ohraničená posloupnost alespoň jeden hromadný bod. Pokud je těchto hromadných bodů více (i nekonečně mnoho), vždy existuje jeden nejmenší a jeden největší (tzv. limes superior a limes inferior dané posloupnosti), což zapisujeme

$\lim _{n\to \infty }\sup a_{n}$

$\lim _{n\to \infty }\inf a_{n}$

Posloupnost $(a_{n})$ je konvergentní tehdy a pouze tehdy, pokud $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }\sup a_{n}=\lim _{n\to \infty }\inf a_{n}=a$

Konvergentní posloupnost má tedy právě jeden hromadný bod.

Související články

• Limita funkce
• L'Hospitalovo pravidlo
• Konvergence (matematika)
• Divergence (matematika)

Portály: Matematika