Limita funkce

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Limit-at-infinity-graph.png

Limita funkce je matematická konstrukce vyjadřující, že se hodnoty zadané funkce blíží libovolně blízko k nějakému bodu. Právě tento bod je pak označován jako limita. Tato skutečnost se zapisuje .

Hlavní motivací pro používání limit je možnost „opravit“ chování funkce. Pokud nelze hodnotu funkce v určitém bodě spočítat (např. kvůli dělení nulou), ale v jeho okolí se chová „rozumně“, funkci můžeme opravit tak, že její funkční hodnotu v problematickém bodě nahradíme limitou. Zda se funkce v okolí určitého bodu chová rozumně, lze poznat podle toho, že limita existuje.

Limita funkce je základní pojem v matematické analýze, v diferenciálním a integrálním počtu. Například definice spojitosti funkce používají limitu: funkce je spojitá, pokud se její funkční hodnota v každém bodě rovná její limitě v tomto bodě.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Definice podle Cauchyho[editovat | editovat zdroj]

Funkce f zobrazuje prstencové okolí bodu a do okolí bodu A.

Číslo je limitou funkce v bodě , jestliže k libovolnému existuje takové , že pro všechna taková, že ( leží v prstencovém okolí bodu ) platí .

Limitu má smysl zkoumat jen v definičním oboru funkce neobsahujícím bod , tj. libovolně blízko k bodu musí být funkce definována.

Definice podle Heineho[editovat | editovat zdroj]

Číslo je limitou funkce v hromadném bodě definičním oboru funkce, jestliže pro každou posloupnost , kde a platí .

Heineho a Cauchyova definice jsou ekvivalentní. Heineho se používá k výpočtu limit, Cauchyova častěji k důkazům.

Definice pomocí spojitosti[editovat | editovat zdroj]

V definici spojitosti funkce obvykle figuruje limita. Přímým důsledkem takové definice je fakt, že v bodě, ve kterém je funkce spojitá, je limita rovna funkční hodnotě. Je však možné nadefinovat spojitost i nezávisle, například Cauchyho definice spojitosti. Potom je možné limitu zavést tak, že platí

právě tehdy, když je funkce definovaná předpisem
spojitá v bodě . Tato definice nejlépe vystihuje hlavní motivaci pro pojem limita funkce (možnost „opravit“ chování funkce, viz úvod).

Limita zprava a zleva[editovat | editovat zdroj]

Limity x → x0+ ≠ x → x0. Proto limita pro x → x0 neexistuje.

Funkce má v bodě jednostrannou limitu zleva resp. zprava, jestliže k libovolnému číslu existuje číslo takové, že pro všechna splňující podmínku resp. , tj. pro všechna z levého resp. pravého okolí bodu , platí , tj.:

- limita zprava
- limita zleva

Funkce má v bodě limitu právě tehdy, pokud má v tomto bodě současně limitu zleva i zprava a tyto limity se rovnají, např. funkce nemá v bodě nula limitu, ačkoliv má obě jednostranné limity:

Limita funkce více proměnných[editovat | editovat zdroj]

Funkce -proměnných má v bodě limitu , jestliže k libovolnému číslu existuje číslo takové, že pro všechny body z -okolí bodu s výjimkou samotného bodu platí . Takovou limitu značíme některým z následujících způsobů:

U funkce -proměnných je možné provádět limitní přechod nejen vůči všem proměnným, ale také vzhledem k pouze několika proměnným, např. , kde je funkcí proměnných.

Limita komplexní funkce[editovat | editovat zdroj]

Komplexní funkce definovaná v okolí bodu má v bodě limitu , jestliže k libovolnému existuje -okolí bodu takové, že

.

Limitu v bodě zapisujeme:

,

kde limita může být komplexním číslem.

Nevlastní limita v nevlastním bodě[editovat | editovat zdroj]

Pro limitu funkce rozlišujeme: vlastní limita v vlastním bodě, nevlastní limita v vlastním bodě, vlastní limita v nevlastním bodě a nevlastní limita v nevlastním bodě:

  • Limitu funkce nazýváme vlastní limitou funkce ve vlastním bodě .
  • Limitu funkce nazýváme nevlastní limitou funkce ve vlastním bodě .
  • Limitu funkce nazýváme vlastní limitou funkce v nevlastním bodě.
  • Limitu funkce nazýváme nevlastní limitou funkce v nevlastním bodě.

Nevlastní limitu ve vlastním bodě lze definovat také zprava nebo zleva, bereme-li pouze pravé nebo levé okolí bodu .

Příklady[editovat | editovat zdroj]

Příklad vlastní limity ve vlastním bodě:

Příklad nevlastní limity ve vlastním bodě:

Příklad vlastní limity v nevlastním bodě:

Příklad nevlastní limity v nevlastním bodě:

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

  • Mějme funkci , která má v bodě limitu a funkci , která má ve stejném bodě limitu , pak pro libovolné číslo platí následující vztahy:
    • , pokud
  • Mějme funkci , která má v bodě limitu , tedy , a funkci , která má v bodě limitu , tedy . Pokud existuje takové , že pro všechna splňující podmínku platí , pak:
  • Máme-li funkce a , pro něž v okolí bodu platí , pak v případě, že obě funkce mají v bodě limitu, bude platit:
  • Máme-li funkce , pro něž v okolí bodu platí a existují-li limity a , pak existuje také limita:

Příklad funkce bez limity[editovat | editovat zdroj]

Příklad funkce bez limity v bodě x=1

Funkce

nemá limitu v bodě .

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]