Limita funkce

Limita funkce je matematická konstrukce vyjadřující, že se hodnoty zadané funkce blíží libovolně blízko k nějakému bodu. Právě tento bod je pak označován jako limita. Tato skutečnost se zapisuje $\lim _{x\rightarrow a}f(x)=A$.

Hlavní motivací pro používání limit je možnost „opravit“ chování funkce. Pokud nelze hodnotu funkce v určitém bodě spočítat (např. kvůli dělení nulou), ale v jeho okolí se chová „rozumně“, funkci můžeme opravit tak, že její funkční hodnotu v problematickém bodě nahradíme limitou. Zda se funkce v okolí určitého bodu chová rozumně, lze poznat podle toho, že limita existuje.

Limita funkce je základní pojem v matematické analýze, v diferenciálním a integrálním počtu. Například definice spojitosti funkce používají limitu: funkce je spojitá, pokud se její funkční hodnota v každém bodě rovná její limitě v tomto bodě.

Definice

Definice podle Cauchyho

Funkce f zobrazuje prstencové okolí bodu a do okolí bodu A.

Číslo $A\in \mathbb {R}$ je limitou funkce $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ v bodě $a\in \mathbb {R}$, jestliže k libovolnému $\varepsilon >0$ existuje takové $\delta >0$, že pro všechna $x\in D_{f}$ taková, že $\left|x-a\right|<\delta$ ($x$ leží v prstencovém okolí bodu $a$) platí $\left|f(x)-A\right|<\varepsilon$.

Limitu má smysl zkoumat jen v definičním oboru funkce neobsahujícím bod $a$, tj. libovolně blízko k bodu $a$ musí být funkce definována.

Definice podle Heineho

Číslo $A\in \mathbb {R}$ je limitou funkce $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ v hromadném bodě $a$ definičním oboru funkce, jestliže pro každou posloupnost $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }$, kde $x_{n}\in D(f)-\{a\}$ a $x_{n}\rightarrow a$ platí $f(x_{n})\rightarrow A$.

Heineho a Cauchyova definice jsou ekvivalentní. Heineho se používá k výpočtu limit, Cauchyova častěji k důkazům.

Definice pomocí spojitosti

V definici spojitosti funkce obvykle figuruje limita. Přímým důsledkem takové definice je fakt, že v bodě, ve kterém je funkce spojitá, je limita rovna funkční hodnotě. Je však možné nadefinovat spojitost i nezávisle, například Cauchyho definice spojitosti. Potom je možné limitu zavést tak, že platí

$$\lim _{x\to a}f(x)=A$$

právě tehdy, když je funkce $g(x)$ definovaná předpisem

$$g(x)={\begin{cases}A&x=a\\f(x)&{\text{jinak}}\end{cases}}$$

spojitá v bodě $a$. Tato definice nejlépe vystihuje hlavní motivaci pro pojem limita funkce (možnost „opravit“ chování funkce, viz úvod).

Limita zprava a zleva

Limity x → x₀⁺ ≠ x → x₀⁻. Proto limita pro x → x₀ neexistuje.

Funkce $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ má v bodě $a$ jednostrannou limitu $A$ zleva resp. zprava, jestliže k libovolnému číslu $\varepsilon >0$ existuje číslo $\delta >0$ takové, že pro všechna $x\in D_{f}-\{a\}$ splňující podmínku $x\in (a-\delta ,a)$ resp. $x\in (a,a+\delta )$, tj. pro všechna $x$ z levého resp. pravého okolí bodu $a$, platí $|f(x)-A|<\varepsilon$, tj.:

$\lim _{x\to a-}f(x)=A\;$ - limita zleva

$\lim _{x\to a+}f(x)=A\;$ - limita zprava

Funkce $f(x)$ má v bodě $a$ limitu právě tehdy, pokud má v tomto bodě současně limitu zleva i zprava a tyto limity se rovnají, např. funkce $f(x)={\frac {1}{x}}$ nemá v bodě nula limitu, ačkoliv má obě jednostranné limity:

$\lim _{x\to 0-}{\frac {1}{x}}=-\infty$

$\lim _{x\to 0+}{\frac {1}{x}}=\infty$

Limita funkce více proměnných

Funkce $n$-proměnných $f:\mathbb {R^{n}} \rightarrow \mathbb {R}$ má v bodě $A=[a_{1},a_{2},...,a_{n}]$ limitu $B$, jestliže k libovolnému číslu $\varepsilon >0$ existuje číslo $\delta >0$ takové, že pro všechny body $X=[x_{1},x_{2},...,x_{n}]$ z $\delta$-okolí bodu $A$ s výjimkou samotného bodu $A$ platí $|f(X)-B|<\varepsilon$. Takovou limitu značíme některým z následujících způsobů:

• $\lim _{X\to A}f(X)=B$
• $\lim _{[x_{1},x_{2},...,x_{n}]\to A}f(X)=B$
• $\lim _{[x_{1},x_{2},...,x_{n}]\to [a_{1},a_{2},...,a_{n}]}f(X)=B$
• $\lim _{\begin{matrix}x_{1}\to a_{1}\\x_{2}\to a_{2}\\\vdots \\x_{n}\to a_{n}\end{matrix}}f(X)=B$

U funkce $n$-proměnných je možné provádět limitní přechod nejen vůči všem proměnným, ale také vzhledem k pouze několika proměnným, např. $\lim _{x_{1}\to a_{1}}f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=g(x_{2},x_{3},...,x_{n})$, kde $g$ je funkcí $n-1$ proměnných.

Limita komplexní funkce

Komplexní funkce $f:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C}$ definovaná v okolí bodu $z_{0}$ má v bodě $z_{0}$ limitu $A$, jestliže k libovolnému $\varepsilon >0$ existuje $\delta$-okolí bodu $z_{0}$ takové, že

$|f(z)-A|<\varepsilon$.

Limitu v bodě $z_{0}$ zapisujeme:

$\lim _{z\rightarrow z_{0}}f(z)=A$,

kde limita $A$ může být komplexním číslem.

Nevlastní limita v nevlastním bodě

Pro limitu funkce $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ rozlišujeme: vlastní limita v vlastním bodě, nevlastní limita v vlastním bodě, vlastní limita v nevlastním bodě a nevlastní limita v nevlastním bodě:

• Limitu funkce $\lim _{x\to a}f(x)=A\in \mathbb {R}$ nazýváme vlastní limitou funkce $f$ ve vlastním bodě $a\in \mathbb {R}$.
• Limitu funkce $\lim _{x\to a}f(x)=\pm \infty$ nazýváme nevlastní limitou funkce $f$ ve vlastním bodě $a\in \mathbb {R}$.
• Limitu funkce $\lim _{x\to \pm \infty }f(x)=A\in \mathbb {R}$ nazýváme vlastní limitou funkce $f$ v nevlastním bodě.
• Limitu funkce $\lim _{x\to \pm \infty }f(x)=\pm \infty$ nazýváme nevlastní limitou funkce $f$ v nevlastním bodě.

Nevlastní limitu ve vlastním bodě lze definovat také zprava nebo zleva, bereme-li pouze pravé nebo levé okolí bodu $a$.

Příklady

Příklad vlastní limity ve vlastním bodě:

$\lim _{x\to 3}2x=6$

Příklad nevlastní limity ve vlastním bodě:

$\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x^{2}}}=\infty$

Příklad vlastní limity v nevlastním bodě:

$\lim _{x\to -\infty }2^{x}=0$

Příklad nevlastní limity v nevlastním bodě:

$\lim _{x\to \infty }2^{x}=\infty$

Vlastnosti

• Mějme funkci $f$, která má v bodě $a$ limitu $A$ a funkci $g$, která má ve stejném bodě limitu $B$, pak pro libovolné číslo $c$ platí následující vztahy:
  • $\lim _{x\to a}cf(x)=cA$
  • $\lim _{x\to a}[f(x)\pm g(x)]=A\pm B$
  • $\lim _{x\to a}f(x)g(x)=AB$
  • $\lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {A}{B}}$, pokud $B\neq 0$

• Mějme funkci $f$, která má v bodě $a$ limitu $A$, tedy $\lim _{x\to a}f(x)=A$, a funkci $g$, která má v bodě $A$ limitu $B$, tedy $\lim _{y\to A}g(y)=B$. Pokud existuje takové $\delta >0$, že pro všechna $x$ splňující podmínku $0<|x-a|<\delta$ platí $f(x)\neq A$, pak:

$\lim _{x\to a}g(f(x))=B$

• Máme-li funkce $f$ a $g$, pro něž v okolí bodu $a$ platí $f(x)\leq g(x)$, pak v případě, že obě funkce mají v bodě $a$ limitu, bude platit:

$\lim _{x\to a}f(x)\leq \lim _{x\to a}g(x)$

• Máme-li funkce $f,g,h$, pro něž v okolí bodu $a$ platí $f(x)\leq h(x)\leq g(x)$ a existují-li limity $\lim _{x\to a}f(x)=A$ a $\lim _{x\to a}g(x)=A$, pak existuje také limita:

$\lim _{x\to a}h(x)=A$

Příklad funkce bez limity

Příklad funkce bez limity v bodě x=1

Funkce

$f(x)={\begin{cases}\sin {\frac {5}{x-1}}&{\mbox{ pro }}x<1\\0&{\mbox{ pro }}x=1\\{\frac {0.1}{x-1}}&{\mbox{ pro }}x>1\end{cases}}$

nemá limitu v bodě $x_{0}=1$.

Související články

• Limita
• Limita posloupnosti
• Seznam základních limit
• L'Hospitalovo pravidlo
• Spojitá funkce
• Okolí (matematika)

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Limita funkce na Wikimedia Commons
• Encyklopedické heslo Limita v Ottově slovníku naučném ve Wikizdrojích

Autoritní data	PSH: 7436

Portály: Matematika