Spojitá funkce

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Tento článek pojednává o spojitosti funkcí na reálných číslech. O obecnějším pojmu na topologických prostorech (jehož speciálním případem je i spojitost reálných funkcí) pojednává článek Spojité zobrazení.
Spojitá (červeně) a nespojitá funkce (modře)

Spojitá funkce je taková matematická funkce, jejíž hodnoty se mění plynule, tedy při dostatečně malé změně hodnoty x se hodnota f(x) změní libovolně málo. Intuitivní (ne zcela přesná) představa spojité funkce spočívá ve funkci, jejíž graf lze nakreslit jedním tahem, aniž by se tužka zvedla z papíru. Funkce, která není spojitá, se označuje jako nespojitá.

Spojitost je také jednou ze základních vlastností běžně požadovaných po „rozumných funkcích“, mnoho matematických konstrukcí vyžaduje spojitost funkce jako nutnou podmínku – např. derivace, primitivní funkce apod.

Pro reálné funkce reálné proměnné lze spojitost funkce f v hromadném bodě definičního oboru x0 definovat následujícími dvěma podmínkami:

  • Funkce je v bodě x0 definována (x0 patří do definičního oboru).
  • V bodě x0 existuje limita funkce a je rovna právě funkční hodnotě v tomto bodě:
    .[1][2]

Tato definice mluví o spojitosti v bodě; mimo to se také používá výraz funkce spojitá na množině či intervalu (pokud je funkce spojitá ve všech bodech této množiny), obecně o spojité funkci se hovoří v případě, že je spojitá na celém svém definičním oboru.

Cauchyho definice[editovat | editovat zdroj]

O funkci řekneme, že je spojitá v bodě a, pokud ke každému (libovolně malému) číslu existuje takové číslo , že pro všechna x, pro něž platí , platí také

.

Velikost čísla může záviset nejen na volbě čísla , ale i na volbě bodu a.

Funkci označujeme jako spojitou zprava (resp. zleva), pokud k libovolnému existuje takové , že pro všechna (resp. ), tzn. pro všechna x z pravého okolí (resp. levého okolí) bodu , je . Funkce je spojitá tehdy, je-li spojitá zprava i zleva.

Cauchyho definici lze formulovat také pro funkci n proměnných. O funkci , kde jsou proměnné funkce, řekneme, že je spojitá v bodě , pokud ke každému (libovolně malému) číslu existuje takové číslo , že pro všechny body z okolí bodu A, tzn. pro body jejichž vzdálenost splňuje podmínku , platí

.

Heineho definice[editovat | editovat zdroj]

Nechť je hromadným bodem . Funkce je spojitá v bodě právě tehdy když platí .

Spojitost komplexní funkce[editovat | editovat zdroj]

O komplexní funkci říkáme, že je spojitá, jestliže v daném bodě komplexní roviny platí

.

Je-li funkce spojitá v každém bodě určité oblasti , pak říkáme, že je spojitá v .

Bod nespojitosti[editovat | editovat zdroj]

Body, v nichž daná funkce není spojitá, označujeme jako body nespojitosti, singularity.

Za bod nespojitosti prvního druhu označíme takový bod , ve kterém má funkce limitu zprava i zleva, avšak tyto dvě limity mají rozdílné hodnoty, tzn. .[2] Rozdíl mezi těmito čísly, tzn. , nazýváme skokem funkce v bodě .[1]

Za bod nespojitosti druhého druhu označíme takový bod , v němž neexistuje alespoň jedna z vlastních (konečných) jednostranných limit.[2]

Pokud v bodě existuje vlastní (konečná) limita , avšak funkce není v bodě a definována, nebo je , pak bod označujeme jako odstranitelnou nespojitost funkce .[1]

Funkci, která je definována na intervalu , označíme jako po částech spojitou na daném intervalu, je-li spojitá ve všech bodech intervalu s výjimkou konečného počtu bodů, v nichž má nespojitost prvního druhu.

Druhy bodů nespojitosti

Na obrázku vpravo je bodem nespojitosti prvního druhu bod . Bod je bodem nespojitosti druhého druhu. Bod je odstranitelnou nespojitostí funkce f(x). Funkce je po částech spojitá na intervalu .

Stejnoměrná spojitost[editovat | editovat zdroj]

Mějme funkci na intervalu , pro niž k libovolnému existuje takové, že pro libovolné dva body z intervalu splňující platí , pak říkáme, že funkce je stejnoměrně spojitá na intervalu .

Weierstrassova věta[editovat | editovat zdroj]

Weierstrassova věta říká, že libovolnou spojitou funkci na intervalu lze (s libovolnou přesností) aproximovat stejnoměrně v posloupností polynomů, tzn. k libovolnému existuje polynom takový, že pro všechna .

Absolutně spojitá funkce[editovat | editovat zdroj]

Funkci označíme jako absolutně spojitou na intervalu , jestliže k libovolnému existuje takové , že pro každý systém intervalů pro který je , a platí .

Je-li funkce absolutně spojitá na intervalu , pak je na tomto intervalu spojitá a má na tomto intervalu konečnou variaci.

Příklady[editovat | editovat zdroj]

Funkce dolní celá část, nespojitá v každém celém čísle

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

  • Má-li funkce v bodě konečnou derivaci, pak je v bodě a také spojitá.
  • Pokud je funkce spojitá v bodě a funkce spojitá v bodě , pak složená funkce je spojitá v bodě .
  • Je-li funkce spojitá na uzavřeném intervalu , pak na existuje alespoň jeden bod takový, že pro všechna Jedná se o maximum funkce na intervalu Současně také existuje alespoň jeden bod takový, že pro všechna . Jedná se o minimum funkce na intervalu . Funkce spojitá na uzavřeném intervalu je tedy na tomto intervalu také ohraničená.

Související články[editovat | editovat zdroj]

Reference[editovat | editovat zdroj]

  1. a b c Matematika polopatě [online]. Nová média, c2006-2014, [cit. 2015-12-06]. Kapitola Spojitost funkce. Dostupné online.  
  2. a b c Math Tutor [online]. [cit. 2015-12-06]. Kapitola Spojitost reálných funkcí. Dostupné online.