Matematická analýza
Matematická analýza (řecky ανάλυσις [ana'lyzɪs] „řešení“, starořecky ἀναλύειν ánalýein „řešit“) je jednou ze základních disciplín matematiky. Metody matematické analýzy mají velký význam v přírodních a technických vědách. Základy matematické analýzy se zejména v anglosaských zemích označují jako calculus, kalkul neboli počet, což se po roce 2000 prosazuje někdy i do češtiny[1], slovo calculus pochází z latiny a značí oblázek, oblázky se používaly ve starověkém Římě v abacích, což byly desky s drážkami, ve kterých se oblázky posunovaly obdobně jako korálky na drátěném počítadle.
Základními oblastmi matematické analýzy je diferenciální počet[2][3] (funkce, limity, derivace) a integrální počet[4][5] (primitivní funkce a neurčité integrály, určité integrály včetně metrických prostorů a teorie míry). Dále sem patří teorie obyčejných i parciálních diferenciálních rovnic, integrálních rovnic, diferenciální geometrie, a další oblasti (posloupnosti, řady).[6][7]
Historie
[editovat | editovat zdroj]První kroky v analýze byly učiněny již v počátcích řecké matematiky v období antiky. Například nekonečná geometrická řada byla známa již tehdy díky Zénonovým aporiím.[8] Později řečtí matematici jako například Eudoxos a Archimédés vytvořili ještě jasnější, ovšem zatím neformální, použití konceptu limit a konvergence, když používali metodu vyčerpání ke spočtení obsahu resp. objemu dvourozměrných resp. třírozměrných objektů[9] a dále v 12. století v Indii vytvořil matematik Bháskara II. koncepci diferenciálního počtu. Základy matematické analýzy vznikají až v době, kdy byl přesně definován infinitezimální počet, nezávisle na sobě Leibnizem a Newtonem. Úspěch infinitezimálního počtu se časem promítnul do oblastí jako diferenciální rovnice, diferenciální geometrie, tenzorový počet, variační počet a komplexní analýza.
Předmět zkoumání
[editovat | editovat zdroj]Původně se matematická analýza studovala v oboru reálných, později komplexních čísel. Studium funkcí definovaných v takto dostatečně obecných podmínkách také poskytuje pohodlnou metodu získávání informací o tom, jak se funkce mění v prostoru, stejně jako v čase (viz obecná teorie relativity). V současnosti se metody matematické analýzy aplikují mj. např. ve studiu topologických prostorů resp. algebraické geometrie, tj. aplikací funkcionální analýzy s cílem hlubšího porozumění analýze v abstraktnějších prostorech. Jedním z příkladů může být Fourierova analýza, kde jsou funkce vyjádřeny pomocí určité nekonečné řady exponenciálních resp. goniometrických funkcí, taková dekompozice je užitečná k rozložení libovolné např. zvukové či elektromagnetické vlny až na jednotlivé frekvenční součásti. Členy ve Fourierově rozvoji funkce mohou být také uvažovány jako vektory nekonečně dimenzionálního prostoru, který je známý jako Hilbertův prostor (viz kvantová mechanika).
Aplikace
[editovat | editovat zdroj]Vývoj a použití kalkulu (diferenciálního a integrálního počtu) a matematické analýzy měl a má dalekosáhlé důsledky pro téměř všechny aspekty života v moderním světě. Je používán téměř ve všech vědách, především ve fyzice. Prakticky všechny moderní výdobytky, různé technologie používající se například ve stavebnictví, strojírenství, letectví, balistice atd. užívají infinitezimální počet přímo ve svých základech. Mnoho matematických vzorců, které jsou dnes používané v energetice a průmyslu a jiných praktických vědách, byly odvozené prostřednictvím kalkulu.
Odkazy
[editovat | editovat zdroj]Reference
[editovat | editovat zdroj]V tomto článku byly použity překlady textů z článků Analysis na německé Wikipedii a Mathematical analysis na anglické Wikipedii.
- ↑ Ilja Černý, Úvod do inteligentního kalkulu : 1000 příkladů z elementární analýzy. Praha : Academia, 2002
- ↑ V. Jarník: Diferenciální počet (I). Academia, Praha 1984
- ↑ V. Jarník: Diferenciální počet (II). Academia, Praha 1984
- ↑ V. Jarník: Integrální počet (I). Academia, Praha 1984
- ↑ V. Jarník: Integrální počet (II). Academia, Praha 1984
- ↑ G. J. Šilov: Matematická analýza. Alfa, Bratislava 1974, str. 9
- ↑ HEWITT, Edwin; STROMBERG, Karl. Real and Abstract Analysis. [s.l.]: Springer-Verlag, 1965. Dostupné online.
- ↑ STILLWELL, John. Real and Abstract Analysis. [s.l.]: [s.n.], 2004. 170 s. Kapitola Infinite Series.
„Nekonečné řady byly v řecké matematice přítomny, [...] Není pochyb, že Zénonův dichotomický paradox (Sekce 4.1) se zabývá například rozložením čísla 1 do nekonečné řady 1/2 + 1/2^2 + 1/2^3 + 1/2^4 + ... a že Archimedes nalezl oblast parabolického segmentu (Sekce 4.4) vlastně sčítáním nekonečné řady 1 + 1/4 + 1/4^2 + 1/4^3 + ... = 4/3. Oba tyto příklady jsou zvláštními případy toho, co dnes označujeme jako součet geometrické řady“ - ↑ Smith. [s.l.]: [s.n.], 1958.
Literatura
[editovat | editovat zdroj]- Matematická analýza nejen pro fyziky (I) až (III) , Praha : Matfyzpress, 2004 až 2007, ISBN 80-86732-25-8, ISBN 80-7378-007-0, ISBN 978-80-7378-020-3, Jiří Kopáček
- [1] Measure and integral, Praha : Matfyzpress, 2005, ISBN 80-86732-68-1, Jaroslav Lukeš, Jan Malý
Související články
[editovat | editovat zdroj]Externí odkazy
[editovat | editovat zdroj]
Obrázky, zvuky či videa k tématu matematická analýza na Wikimedia Commons - Největší vědecké spory historie: Kdo první objevil derivaci? – 21. století, Martin Janda (19. 02. 2007)
