Rolleova věta

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Geometrický význam Rolleovy věty.

Rolleova věta (též Rollova věta) je matematická věta diferenciálního počtu. Je pojmenována po francouzském matematikovi Michelu Rolleovi, který větu formuloval v roce 1691.

Věta[editovat | editovat zdroj]

Nechť f je spojitá funkce na uzavřeném intervalu \left[a,b\right] a nechť pro každý bod x otevřeného intervalu \left(a,b\right) existuje derivace f'\left(x\right) a nechť f\left(a\right) = f\left(b\right). Pak existuje bod c v otevřeném intervalu \left(a,b\right), pro nějž platí

f'\left(c\right) = 0.

Důkaz[editovat | editovat zdroj]

Důkaz rozdělíme do dvou částí:

  1. Nechť funkce f je konstantní. Potom derivace f'\left(x\right)=0, \forall x \in \left(a,b\right) a věta je dokázána.
  2. Nechť funkce f není konstantní. Jelikož f\left(a\right) = f\left(b\right) a funkce není konstantní, musí existovat d \in \left(a,b\right) takové, že f\left(d\right) > f\left(a\right) = f\left(b\right) nebo f\left(d\right) < f\left(a\right) = f\left(b\right). Předpokládejme, že f\left(d\right) > f\left(a\right) = f\left(b\right).

Využijeme věty tvrdící, že každá funkce spojitá na uzavřeném intervalu \left[a,b\right] nabývá na tomto intervalu svého maxima i minima a zabývejme se maximem. Jelikož existuje d \in \left(a,b\right) takové, že f\left(d\right) > f\left(a\right) = f\left(b\right), tak maximum nemůže ležet ani v a, ani v b. Leží tedy uvnitř intervalu, v bodě c. Z věty o nutné podmínce lokálního extrému vyplývá, že tedy v bodě c, kde se nalézá lokální extrém funkce, f'\left(c\right) = 0.

Analogické tvrzení platí i pro minimum.

Historie[editovat | editovat zdroj]

Rolleovu větu znal už ve dvanáctém století indický matematický matematik Bhaskara II. První formální důkaz podal francouzský matematik Michel Rolle v roce 1691. Název Rolleova věta byl poprvé použit v devatenáctém století.

Příklady[editovat | editovat zdroj]

Půlkruh s poloměrem r

První příklad[editovat | editovat zdroj]

Buď poloměr r > 0
a mějme funkci

f(x) = \sqrt{(r^2-x^2)}, \quad x  \in [-r, r] .

Jejím grafem je horní půlkruh se středem v počátku. Tato funkce je spojitá na uzavřeném intervalu [-r, r] a má derivaci na otevřeném intervalu (-r, r) , ale ne v krajních bodech. Předpoklady Rolleovy věty jsou splněny, protože f(-r) = f(r) . A skutečně, bod s nulovou derivací existuje.

Graf funkce absolutní hodnoty

Druhý příklad[editovat | editovat zdroj]

Pokud funkce nemá ve všech vnitřních bodech intervalu derivaci, nemusí závěr Rolleovy věty platit. Mějme funkci absolutní hodnoty:

f(x) = \left\vert x \right\vert, \quad x \in [-1, 1] .

Ačkoli f(-1) = f(1) , neexistuje žádný bod c \in (-1,1) takový, že f'(c) = 0 . Důvodem je právě to, že v bodě x=0 neexistuje derivace funkce f .

Související články[editovat | editovat zdroj]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Rolle's theorem na anglické Wikipedii.


Logo Wikimedia Commons Obrázky, zvuky či videa k tématu Rolleova věta ve Wikimedia Commons