Věta o střední hodnotě diferenciálního počtu

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Tento článek pojednává o větě z matematické analýzy. Další významy jsou uvedeny v článku Lagrangeova věta.

Věta o střední hodnotě diferenciálního počtu (také Lagrangeova věta o střední hodnotě, Lagrangeova věta o přírůstku funkce) je matematická věta z oblasti diferenciálního počtu, která říká, že se při „hladké“ změně nějaké veličiny v nějakém okamžiku dosahuje průměrné rychlosti dané změny.

Rolleova věta[editovat | editovat zdroj]

Související informace naleznete také v článku Rolleova věta.

Speciálním jednodušším případem Lagrangeovy věty je Rolleova věta, ze které již věta Lagrangeova snadno plyne:

Nechť funkce je spojitá na intervalu , má derivaci v každém bodě intervalu a platí . Pak existuje bod takový, že .

Geometrický význam[editovat | editovat zdroj]

Geometrické znázornění Rolleovy věty

Rolleova věta říká, že za uvedených předpokladů existuje v intervalu bod, v němž je tečna ke grafu funkce rovnoběžná s osou x.

Fyzikální význam[editovat | editovat zdroj]

Fyzikálně lze Rolleovu větu interpretovat takto:

Mění-li se nějaká veličina v čase „hladkým způsobem“ tak, že na začátku i konci tohoto procesu má stejnou velikost, pak v nějakém okamžiku musí být okamžitá rychlost změny nulová.

Lagrangeova věta o střední hodnotě[editovat | editovat zdroj]

Lagrangeovu větu lze vyslovit následovně:

Nechť funkce je spojitá na intervalu a má v každém bodě intervalu derivaci. Pak existuje bod takový, že platí .

Protože je derivace v bodě směrnice tečny, můžeme tvrdit že pro platí:

  • je v tomto bodě rostoucí
  • je v tomto bodě klesající

Geometrický význam[editovat | editovat zdroj]

Geometrický význam Lagrangeovy věty

Lagrangeova věta tvrdí, že za uvedených předpokladů v intervalu existuje bod , v němž je tečna k funkci rovnoběžná s přímkou vedenou body a .

Fyzikální význam[editovat | editovat zdroj]

Lagrangeovu větu lze fyzikálně interpretovat následovně:

Mění-li se nějaká veličina v čase „hladkým způsobem“, pak v nějakém okamžiku musí být okamžitá rychlost změny rovna průměrné rychlosti.

Zobecnění[editovat | editovat zdroj]

Zobecněním Lagrangeovy věty je Cauchyova věta o střední hodnotě:

Nechť funkce jsou spojité na intervalu , mají v každém bodě intervalu vlastní derivaci a nechť pro všechna platí . Pak existuje bod takový, že platí .

Důkaz[editovat | editovat zdroj]

Dokážeme Cauchyovu větu o střední hodnotě, Lagrangeova věta pak plyne z Cauchyovy věty volbou . Protože pro všechna , je podle obměněné implikace Rolleovy věty (důkaz) nutně (ostatní předpoklady Rolleovy věty jsou splněny díky předpokladům Cauchyovy věty). Můžeme tak definovat funkci

.

Funkce je zřejmě spojitá na intervalu , má derivaci na intervalu a . splňuje předpoklady Rolleovy věty a existuje tedy takové, že

Dle předpokladu je a tedy

.

Související články[editovat | editovat zdroj]