Tečna

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání
Tečna funkce.
Tečna kružnice.

Tečna ke křivce je přímka, která má v bodě dotyku stejný směrový vektor jako tato křivka[1]. Křivka může být zadána jako graf funkce jedné proměnné. Zpravidla (pro nelineární funkce) má tečna s křivkou lokálně v okolí bodu dotyku společný jeden bod a zpravidla (mimo inflexní body) leží okolní body křivky ve stejné polorovině určené tečnou.

Tečna ke kuželosečce[editovat | editovat zdroj]

Pro regulární kuželosečky (elipsa, parabola, hyperbola, kružnice) je možné zavést tečnu jako přímku, která má s kuželosečkou jeden dvojnásobný průsečík. Diskriminant kvadratické rovnice pro nalezení průsečíků je tedy nulový.

Středové rovnice kuželoseček a jejich tečen v bodě jsou shrnuty v následující tabulce[2]. (Uvažujeme pouze regulární kuželosečky. Pro ostatní kuželosečky není potřebné pojem tečny zavádět, protože přímkové singulární kuželosečky jsou samy svojí tečnou a v ostatních případech tečnu neuvažujeme.)

Kuželosečka Středová rovnice kuželosečky Rovnice tečny v bodě
Kružnice
Elipsa
Parabola
Hyperbola

Každým bodem ležícím vně kružnice lze vést dvě tečny k této kružnici. Každá tečna je kolmá k poloměru kružnice, proto používáme pro její sestrojení Thaletovu kružnici.

Poznámka. Přístup známý z analytické geometrie kuželoseček, kdy je tečna definována jako přímka mající s regulární kuželosečkou společný jeden bod, je nepřenositelný na obecnější křivky. Proto se obecnější definice tečny v diferenciální geometrii liší od zavedení tohoto pojmu v teorii kuželoseček.

Tečna ke grafu funkce dané explicitně[editovat | editovat zdroj]

Diferencovatelná funkce má v bodě tečnu danou rovnicí

kde je derivace funkce v bodě dotyku.

Poznámka (svislá tečna). Tento vztah je obvyklou definicí tečny v diferenciálním počtu funkce jedné proměnné. Nepokrývá však například skutečnost, že svislá přímka je tečnou ke grafu funkce .

Graf třetí odmocniny má v počátku svislou tečnu.

Poznámka (inflexní bod). Bod, kde se funkce mění z konvexní na konkávní se nazývá inflexní bod. V tomto bodě nezůstává graf funkce v jedné polorovině definované tečnou, ale přechází z jedné poloroviny do druhé.

V inflexním bodě graf funkce přechází z jedné poloroviny definované tečnou do druhé poloroviny.

Tečna ke grafu funkce dané implicitně[editovat | editovat zdroj]

Funkce daná v okolí bodu implicitně rovnicí má v tomto bodě tečnu o rovnici

Poznámka (svislá tečna). Na rozdíl od předchozího odstavce, tento vztah již pokrývá skutečnost, že přímka je tečnou ke grafu funkce . K získání rovnice tečny stačí tento vztah přepsat do tvaru

Tečna ke grafu parametrické funkce[editovat | editovat zdroj]

Tečna ke grafu funkce dané parametricky rovnicemi

parametrické rovnice
V případě rovinných křivek se třetí rovnice neuplatní. V tomto případě bývá obvyklé rovnici psát v neparametrickém tvaru kde je bod dotyku. Tyto rovnice je výhodné zapsat i vektorově.

Poznámka. Rovnice tečny nezávisí na použité parametrizaci. Jinou parametrizací křivky můžeme dostat nejvýše jinou parametrizaci stejné tečny (tj. jinak dlouhý směrový vektor).

Zobecnění tečny[editovat | editovat zdroj]

Přesná formální definice tečny je založena na diferenciálním počtu na pojmu diferenciál. Dle míry zobecnění se definice při různých přístupech mohou lišit, ale v podstatě vždy vyjadřujeme definicí to, že tečnou rozumíme přímku, která má s křivkou společný jeden bod a vzdálenost křivky od přímky klesá při přibližování se k bodu dotyku rychleji než lineárně. Jedná se tedy vlastně o lineární aproximaci funkce, tj. lineární část obecné polynomické aproximace. V tomto smyslu je tečnu možné zobecnit na dotyk libovolného vyššího řádu libovolných dvou křivek. Toto je náplní diferenciální geometrie. Například výše uvedené ukázky svislé tečny a inflexního bodu jsou dotyky druhého řádu.


Související články[editovat | editovat zdroj]

Reference[editovat | editovat zdroj]

  1. KOLÁŘ, Ivan; POSPÍŠILOVÁ, Lenka. Diferenciální geometrie křivek a ploch [online]. Brno: Masarykova Univerzita [cit. 2022-06-06]. S. 11. Dostupné online. 
  2. ROBOVÁ, Jarmila, et al. Analytická geometrie: Portál středoškolské geometrie [online]. Praha: MFF UK [cit. 2022-06-06]. Dostupné online. 

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]