Tečný vektor

Tečný vektor je v matematice vektor popisující lokální směr křivky, plochy nebo obecněji hladké variety v daném bodě.^[1]

Tečný vektor ke křivce

Je-li křivka zadána parametricky funkcí $\mathbf {r} (t)$ , pak tečný vektor v bodě odpovídajícím parametru $t_{0}$ je dán derivací

$\mathbf {\tau } (t_{0})={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}(t_{0}).$

Je-li $\mathbf {r} (t)=(x(t),y(t),z(t)),$ pak

$\mathbf {\tau } (t_{0})=\left(x'(t_{0}),y'(t_{0}),z'(t_{0})\right)$ určuje tečný vektor ke křivce v daném bodě.^[1]

Tečný vektor udává okamžitý směr křivky a lze jej chápat jako limitu sečen spojujících dva navzájem se blížící body křivky.^[1]

Tečna ke křivce v bodě $\mathbf {r} (t_{0})$ je přímka procházející tímto bodem ve směru tečného vektoru $\mathbf {r} '(t_{0}).$ ^[1]

Nezávislost na parametrizaci

Tečna ke křivce nezávisí na volbě parametrizace. Při změně parametru $t=\varphi (t^{*})$ se tečný vektor změní pouze násobením nenulovým skalárem. Tečné vektory odpovídající různým parametrizacím jsou proto kolineární a určují stejnou tečnu.^[1]

Jednotkový tečný vektor

Je-li tečný vektor nenulový, lze jej normovat na jednotkovou délku. Takto získaný vektor

$\mathbf {t} (t)={\frac {\mathbf {r} '(t)}{\|\mathbf {r} '(t)\|}}$

se nazývá jednotkový tečný vektor. Udává směr křivky nezávisle na rychlosti její parametrizace.

Pro parametrické vyjádření křivky $\mathbf {r} (t)=(x(t),y(t),z(t))$ platí

$\mathbf {t} (t)={\frac {(x'(t),y'(t),z'(t))}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}+z'(t)^{2}}}}.$

Vlastnosti

Každý nenulový násobek tečného vektoru je opět tečným vektorem ke stejné křivce v daném bodě.
Velikost tečného vektoru závisí na parametrizaci křivky a vyjadřuje rychlost změny polohy při změně parametru.
Jednotkový tečný vektor má velikost rovnou jedné a určuje pouze směr křivky.
V prostoru $\mathbb {R} ^{3}$ je v daném bodě křivky tečný vektor kolmý na normálovou rovinu.

Diferenciální geometrie

V diferenciální geometrii je pojem tečného vektoru zobecněn na hladké variety. Všechny tečné vektory v daném bodě tvoří vektorový prostor nazývaný tečný prostor.

Odkazy

Reference

1 2 3 4 5 JEŽEK, František. Diferenciální geometrie : Pomocný učební text – díl I. Plzeň: Západočeská univerzita v Plzni, 2005. Dostupné online.

Literatura

DO CARMO, Manfredo P. Differential Geometry of Curves and Surfaces. 2.. vyd. Mineola, New York: Dover Publications, 2016. ISBN 978-0-486-80699-0.
LEE, John M. Introduction to Smooth Manifolds. 2.. vyd. New York: Springer, 2013. Dostupné online. ISBN 978-1-4419-9981-8.

Související články

[Jezek-1] 1 2 3 4 5 JEŽEK, František. Diferenciální geometrie : Pomocný učební text – díl I. Plzeň: Západočeská univerzita v Plzni, 2005. Dostupné online.

[1]