Derivace

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání
Graf funkce (černě) a její tečna (červeně). Sklon tečny odpovídá derivaci funkce ve vyznačeném bodě

Derivace je důležitý pojem matematické analýzy a základ diferenciálního počtu. Derivace funkce je změna (růst či pokles) její hodnoty v poměru ke změně jejího argumentu, pro velmi malé změny argumentu. Výpočet derivace se nazývá derivování. Opačným procesem k derivování je integrování.

Pojem derivace vznikl v 17. století v pracích Newtona a Leibnize při řešení geometrických a fyzikálních problémů. Pro funkci jedné proměnné je derivace funkce v libovolném bodě (pokud existuje) rovna směrnici tečny ke grafu funkce v tomto bodě. Pro funkci popisující dráhu tělesa jako funkci času derivace udává okamžitou rychlost. Podobně, derivace funkce udávající rychlost je zrychlení.

Název derivace je z latiny a lze jej přeložit jako odvozenina nebo odvození, srov. např. německý název pro derivaci „Ableitung“. Neříká to sice o vlastnostech derivace mnoho, ale aspoň tolik, že derivace funkce je danou funkcí plně určena, dá se z ní odvodit, je v ní „obsažena“.

Intuitivní výklad[editovat | editovat zdroj]

Derivative1.png
Derivace funkce sinus v bodě, jako směrnice tečny.

Na obrázku je graf funkce, která má v bodě x hodnotu f(x). V bodě xx má hodnotu f(xx) a spojnice obou bodů tvoří sečnu křivky. Její směrnici (sklon) lze vyjádřit jako poměr (f(xx) - f(x)) / Δx . Budeme-li nyní oba body přibližovat, tj. zmenšovat diferenci Δx až k nule, přejde sečna nakonec v tečnu. Tečna svírá úhel s osou x a tangens tohoto úhlu nazýváme směrnicí tečny. Derivaci funkce v bodě lze s dostatečnou přesností aproximovat právě jako tuto směrnici tečny. Je-li v bodě x křivka rostoucí, bude její derivace >0 a je-li klesající, bude derivace <0. Pokud křivka v bodě x dosahuje maxima nebo minima a tečna je tedy rovnoběžná s osou x, bude derivace rovna nule.

Na dalším obrázku je znázorněná grafická derivace funkce sinus pomocí tečny.

Definice derivace[editovat | editovat zdroj]

Animace zhruba ukazující, jak hodnota derivace odpovídá „přírůstku“ nebo „úbytku“ funkční hodnoty v jednotlivých bodech.

Historické definice derivace[editovat | editovat zdroj]

Historické definice vyjadřovaly derivaci jako poměr, v jakém růst či pokles závislé proměnné y odpovídá změně nezávisle proměnné x. Nejjednodušší představa o derivaci je, že „derivace je mírou změny funkce v daném bodě, resp. bodech“. Pro změnu hodnoty se používá symbol Δ, takže tento poměr lze symbolicky zapsat jako

.

Derivace je hodnota podílu pro Δx jdoucí k 0. Nahradíme-li konečně malý rozdíl Δx nekonečně malou změnou dx, získáme intuitivní definici derivace

,

což naznačuje poměr dvou infinitezimálních hodnot. Derivace vskutku je podílem dvou diferenciálních forem – diferenciálu závislé a diferenciálu nezávislé proměnné. Tento (Leibnizův) zápis se čte dy podle dx a chápe buď jako jediný symbol, označující prostě jen derivování funkce y podle proměnné x, anebo opravdu i jako zlomek. V tom případě lze diferenciály chápat buď elementárněji jako diferenciální formy anebo jako nekonečně malé veličiny (v rámci tzv. nestandardní analýzy, kterou pěstoval mj. i český matematik Petr Vopěnka).

Moderní definice derivace[editovat | editovat zdroj]

Během vývoje matematiky se intuitivní představa nekonečně malých (infinitezimálních) hodnot ukázala jako nedostatečně přesná a byla nahrazena „ε-δ“ formalismem limit. Nejběžnější moderní definice derivace je

Zápis derivace[editovat | editovat zdroj]

Podrobnější informace naleznete v článku Zápis derivace.

Derivace se značí několika způsoby (v závorce je čtení zápisu):

  • [:f s čárkou:],
  • [:d podle d x z f x:],
  • [:d f podle d x:],
  • [:d podle x f:],
  • [:f x:],
  • Newtonova notace používá tečku nad proměnnou: , používá se obvykle pouze ve fyzice pro derivování podle proměnné vyjadřující čas (t).

Diferencovatelnost[editovat | editovat zdroj]

Ne vždy však limita, která derivaci definuje, existuje a je konečná, tzn. ne každá funkce má v každém bodě derivaci. Pokud je limita nevlastní, pak derivace neexistuje, resp. můžeme říci, že je v daném bodě derivace nevlastní. Říkáme, že funkce f je v bodě x diferencovatelná, pokud v tomto bodě derivace existuje; funkce je diferencovatelná na intervalu I, pokud je diferencovatelná v každém bodě tohoto intervalu. Funkce nemá derivaci v místě, kde není spojitá, ale spojitost funkce existenci derivace nezaručuje – funkce může mít v daném bodě svislou tečnu (což by odpovídalo nevlastní, nekonečné derivaci), popř. v daném bodě nemusí mít tečnu vůbec (v místě, kde má graf funkce „špičku“). Existují dokonce funkce, které jsou spojité v každém bodě, ale nemají v žádném bodě derivaci (např. tzv. Weierstrassova funkce).

Antiderivace[editovat | editovat zdroj]

Z derivace lze naopak získat původní funkci integrováním, pokud známe funkční hodnotu původní funkce aspoň v jednom bodě (tzv. počáteční podmínku).

Zobecnění[editovat | editovat zdroj]

Parciální derivace[editovat | editovat zdroj]

Zobecněním pojmu derivace pro funkce více proměnných je tzv. parciální derivace, kdy se u funkce více proměnných považuje za proměnnou jenom ta, podle které se derivuje, ostatní jsou v tomto výpočtu považovány za konstanty. Parciální derivace se značí obdobně jako obyčejné derivace, pouze místo symbolů d se používají symboly ∂, např.: značí parciální derivaci funkce podle proměnné .

Derivace v normovaných prostorech[editovat | editovat zdroj]

Nechť jsou normované prostory, Říkáme, že zobrazení je Fréchetovsky (Gatteauxovsky) derivovatelné v bodě v -té souřadnici pokud zobrazení (tedy, zobrazení se všemi souřadnicemi FIXOVANÝMI) je F-(G-) diferencovatelné v bodě .

Derivace ve směru[editovat | editovat zdroj]

Pro funkci více proměnných je derivace ve směru vektoru v definována vztahem

Pokud je funkce f v bodě x diferencovatelná, potom platí

kde je gradient funkce f v bodě x a značí skalární součin.

Hodnota derivace ve směru vektoru v záleží na velikosti vektoru |v|, proto se často vyžaduje, aby |v| = 1. Někdy se také používá definice, která na velikosti vektoru v nezávisí:

Totální (úplná) derivace[editovat | editovat zdroj]

Totální derivace je derivace funkce více proměnných, která na rozdíl od parciální derivace zohledňuje závislosti mezi jednotlivými proměnnými.

Komplexní derivace[editovat | editovat zdroj]

O komplexní funkci řekneme, že má v derivaci, pokud existuje limita

Derivace existuje pouze tehdy, pokud předchozí limita nezávisí na směru, kterým se v komplexní rovině přibližujeme ke komplexnímu bodu . Tato podmínka je vyjádřena Cauchyho-Riemannovými podmínkami.

Pokud má v bodě derivaci, pak je v spojitá.

Komplexní funkci, která má v bodě derivaci, označujeme jako monogenní v bodě . Pokud má derivaci v každém bodě oblasti , pak říkáme, že je v holomorfní. Je-li holomorfní funkce víceznačná, označujeme ji jako analytickou.

Derivace vektorů a tenzorů[editovat | editovat zdroj]

Derivací vektoru podle proměnné t rozumíme vektor, jehož složky získáme derivací složek vektoru , tzn.

Obdobně postupujeme při derivaci tenzorů.

Derivace vyššího řádu[editovat | editovat zdroj]

Derivaci funkce , tzn. , také označujeme jako první derivaci (derivaci prvního řádu). Funkci lze opět derivovat, čímž získáme druhou derivaci (derivaci druhého řádu) funkce

Dalším derivováním můžeme získat vyšší derivace funkce , které značíme , atd. Používá se také jiné značení, při němž n-tou derivaci značíme jako , popř. pro označení derivace v bodě a lze použít .

Někdy je výhodné použít také tzv. nultou derivaci funkce , za niž považujeme samotnou funkci , tzn. .

Při použití Leibnizovy notace se derivace vyšších řádů čtou jako exponenty, např. třetí derivaci čteme "d třetí y podle d x na třetí".

Derivace neceločíselného řádu, zlomkové derivace[editovat | editovat zdroj]

Definici lze rozšířit i na záporné a „necelé“ řády. Jako přirozené se jeví ztotožnit minus první derivaci s integrálem a derivaci minus n-tého řádu s výrazem , neboť prvním resp. n-tým derivováním dostaneme základní funkci. Pro nepřirozené s>0 pak jen faktoriál nahradíme gama funkcí: .

Derivace reálného r-tého řádu (r>0) je pak definována jako

,

kde n je nejnižší přirozené číslo větší než r; vše za předpokladu, že existuje „vnitřní“ derivace záporného (r-n)-tého řádu.

Pozn.: Nejnižší n se bere proto, že zatímco pro záporné řády je zajištěna komutativnost a aditivnost (tj. dvě postupně provedené derivace záporného řádu, jestliže existují, jsou ekvivalentní jedné derivaci s řádem daným součtem obou řádů bez ohledu na pořadí), pro kladné řády to obecně neplatí.

Výpočty derivací[editovat | editovat zdroj]

Principiálně základní technikou je výpočet přímo z definice, tzn. dosazením příslušné funkce do definující limity a výpočtem této limity. Tento způsob je však obvykle (až na velice jednoduché funkce) dosti komplikovaný a v praxi se nepoužívá. Místo toho se derivace funkcí počítají ze známých derivací několika základních funkcí a jednoduchých algebraických pravidel pro jejich skládání a další úpravy.

Elementární funkce[editovat | editovat zdroj]

Související informace naleznete také v článku Derivace elementárních funkcí.

Algebraická pravidla[editovat | editovat zdroj]

Ze známých derivací elementárních funkcí se derivace složitějších funkcí sestavují tak, že se složitější funkce rozloží na jednodušší pomocí jednoduchých algebraických pravidel, která pro výpočet derivací platí:

  • Linearita derivace: pro libovolné funkce f, g a konstanty a, b.
    • Speciálně platí a také .
  • Derivace součinu: pro všechny funkce f, g.
  • Derivace podílu: pro všechny funkce f, g, kde g ≠ 0.
  • Derivace složené funkce: Pokud , pak .
  • Derivace inverzní funkce: Pokud jsou f(x) i f−1(x) obě diferencovatelné, pak tehdy, kdy Δx ≠ 0 pokud Δy ≠ 0, platí .
  • Derivace jedné proměnné vůči druhé, pokud obě jsou funkcí třetí proměnné: Pokud x = f(t) a y = g(t), pak .
  • Derivace implicitní funkce: Pokud f(x, y) je implicitní funkce, pak .
  • Derivace parametricky zadané funkce: Je-li funkce vyjádřena parametrickými rovnicemi , pak pro její derivace platí

Z některých předchozích pravidel je vidět, že Leibnizova notace umožňuje některé manipulace, které připomínají např. krácení zlomku. Je ale třeba podotknout, že se jedná jen o symbolické manipulace, s krácením zlomku nemající nic společného. V žádném případě pak není možné „krátit d“ stylem dx/dy = x/y.

Často používané derivace funkcí[editovat | editovat zdroj]

Související informace naleznete také v článku Derivace elementárních funkcí.
  • pro , n přirozené číslo a m libovolné
  • pro
  • pro
  • pro
  • pro
  • Derivaci součinu n funkcí lze zapsat jako
  • Pro vyjádření n-té derivace součinu dvou funkci lze použít tzv. Leibnizův vzorec
,

kde jsou binomické koeficienty a , atd.

Konkrétní příklady[editovat | editovat zdroj]

  • f(x) = 3; f ′(x) = 0,
  • f(x) = x; f ′(x) = 1,
  • f(x) = 2x; f ′(x) = 2 · 1 = 2.
  • f(x) = 5x³; f ′(x) = 15x²; f″(x) = 30x
  • f(x) = ex; f ′(x) = ex.
  • f(x) = ln x; f ′(x) = x−1.
  • f(x) = x³ + 2x² − 5x + 7; f ′(x) = 3x² + 4x − 5.
  • f(x) = sin x · cos x; f ′(x) = cos² x − sin² x (= cos 2x).
  • ; .
  • ; .

Aplikace[editovat | editovat zdroj]

Pojem derivace se objevuje v obrovském množství situací, jak v matematice samé, tak i v jejích aplikacích, např. ve fyzice.

Lokální extrémy[editovat | editovat zdroj]

Související informace naleznete také v článku Extrém funkce.

Pokud má daná diferencovatelná funkce nějaký lokální extrém (lokální maximum či minimum), je zřejmé, že její tečna v tomto bodě musí být vodorovná, tzn. derivace této funkce musí být v tomto bodě nulová. (Pokud funkce v nějakých bodech tečnu, resp. derivaci nemá, derivace o takových bodech samozřejmě nic prozradit nedokáže.) Pokud v tomto bodě lze spočítat i druhou derivaci, prozradí její znaménko, o jaký extrém se jedná:

  • V bodech, kde je první derivace nula a druhá derivace je kladná, se nachází lokální minimum.
  • V bodech, kde je první derivace nula a druhá derivace je záporná, se nachází lokální maximum.
  • V bodech, kde je první derivace nulová, se nachází tzv. stacionární bod, který může a nemusí být extrémem.
  • (V bodech, kde funkce nemá první či druhou derivaci, je nutno použít jiná kritéria.)

Alternativou k rozlišení pomocí druhé derivace je znaménko první derivace: v bodě, kde má funkce lokální extrém, mění první derivace znaménko: pokud je nějaký bod lokálním minimem, pak v jeho levém okolí je první derivace záporná a v pravém okolí kladná, naopak v levém okolí lokálního maxima je první derivace kladná a v pravém záporná.

Tato kritéria se často používají v optimalizačních úlohách. Pokud je např. požadováno najít obdélník, který při zadaném obvodu má maximální plochu, je třeba najít maximum funkce f(x) = x ⋅ (o/2 − x). Její derivací je funkce f′(x) = o/2 − 2x, která je nulová pro x = o/4. Druhá derivace funkce f je f″(x) = −2, tzn. je všude záporná. V bodě x = o/4 má tedy funkce f maximum. Znamená to tedy, že ze všech obdélníků o zadaném obvodu má největší obsah ten, který má všechny čtyři strany stejně dlouhé, tzn. čtverec.

Analýza chování funkce[editovat | editovat zdroj]

Související informace naleznete také v článku Průběh funkce.

Předchozí odstavec popisuje způsob, jak pro danou funkci nalézt její lokální extrémy. To může kromě optimalizačních úloh sloužit také k získání přehledu o chování funkce, např. při ručním náčrtu jejího grafu. Kromě analýzy extrémů lze využít derivací k následujícím pozorováním:

  • V bodech, kde je první derivace kladná, je funkce rostoucí.
  • V bodech, kde je první derivace záporná, je funkce klesající.
  • V bodech, kde je druhá derivace kladná, je funkce konvexní.
  • V bodech, kde je druhá derivace záporná, je funkce konkávní.
  • V bodech, kde je druhá derivace nulová, se mohou vyskytovat inflexní body.

Z toho lze tedy odvodit například následující poznatky:

  • Na intervalech, kde je derivace nulová, je funkce konstantní.
  • Na intervalech, kde je derivace numericky blízká k nule, se funkce mění pomalu.
  • Na intervalech, kde je derivace kladná a numericky velká, funkce rychle roste.
  • Na intervalech, kde je derivace kladná a roste (druhá derivace původní funkce je kladná), původní funkce také roste a její růst se stále zrychluje (rostoucí konvexní funkce).
  • Na intervalech, kde je derivace kladná, ale klesá (druhá derivace původní funkce je záporná), původní funkce roste, ale její růst se zpomaluje (rostoucí konkávní funkce).

Fyzika[editovat | editovat zdroj]

Jednoznačně nejdůležitější oblastí použití derivace ve fyzice jsou derivace podle časové proměnné, vyjadřující rychlost změny nějaké proměnné v čase. Nejběžnější pak jsou časové derivace polohy, které se vyskytují v klasické kinematice:

  • Rychlost (okamžitá rychlost, koncept průměrné rychlosti se obejde bez diferenciálního počtu) je derivace souřadnice polohy tělesa podle času.
  • Zrychlení je derivace rychlosti podle času, tzn. druhá derivace polohy podle času.
  • Ryv je derivace zrychlení podle času, tzn. třetí derivace polohy podle času.

Kromě těchto základních pojmů se derivace objevují v mnoha teoriích fyzikálních polí, Maxwellových rovnicích atd.

Derivace podle prostorové proměnné vyjadřuje rychlost, s jakou se mění proměnná v prostoru. Jedná se o jednorozměrný gradient. Například při vedení tepla v tyči je derivace teploty podle polohy mírou nerovnoměrného rozložení teploty podél tyče a udává (pomocí Fourierova zákona) tok tepla, který je tímto nerovnoměrným rozložením teploty vyvolán. Derivace teploty podle polohy je v jednotkách teploty na jednotku délky, například ve stupních Celsia na centimetr.

Derivace a středoškolská fyzika[editovat | editovat zdroj]

Ve středoškolské fyzice jsou pro jednoduchost často studovány funkce, které jsou dány přímou úměrností. Například dráha rovnoměrného pohybu nebo rychlost rovnoměrně zrychleného pohybu. V takovém případě dává derivace stejný výsledek jako podíl a díky tomu můžeme určovat rychlost jako podíl dráhy a času nebo zrychlení jako podíl změny rychlosti a času. Pro obecné děje s nekonstantními rychlostmi a nekonstantním zrychlením však podíl dává jenom průměrnou rychlost nebo průměrné zrychlení a okamžitou rychlost nebo okamžité zrychlení určujeme pomocí derivace. Tachometr v automobilu je vlastně mechanická kalkulačka ukazující derivaci polohy podle času.

Diferenciální rovnice[editovat | editovat zdroj]

Podrobnější informace naleznete v článku Diferenciální rovnice.

Mnoho vědeckých problémů lze formulovat v podobě rovnic, ve kterých se vedle sebe vyskytuje nějaká funkce i její derivace. Takové rovnici se říká diferenciální rovnice. Diferenciální rovnice se objevují snad ve všech vědeckých oborech, kromě matematiky a fyziky také např. v chemii, sociologii, ekologii atd. Podle toho, zda se v rovnici objevují pouze „obyčejné“ derivace, nebo i parciální derivace, se rozlišují

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]