Cauchyho–Riemannovy podmínky

V matematice, konkrétně v komplexní analýze, jsou Cauchyho-Riemannovy podmínky nutnou (ne však postačující) podmínkou, aby daná funkce byla holomorfní (tedy komplexně diferencovatelná). Postačující podmínkou je např. pokud mají funkce u,v spojité parciální derivace. Jde o parciální diferenciální rovnice pojmenované po Augustinu Cauchym a Bernhardu Riemannovi. Poprvé se tyto rovnice objevily roku 1752 v práci D'Alemberta.

Cauchyova-Riemannova věta

Následující tvrzení, které charakterizuje holomorfní funkce pomocí Cauchyových-Riemannových podmínek, bývá označováno jako Cauchyova-Riemannova věta.

Buď f(x + iy) = u + iv funkce z otevřené podmnožiny komplexních čísel C do C, kde x a y jsou reálná čísla a u, v jsou reálné funkce definované na otevřené podmnožině R². Potom f je holomorfní právě když u a v jsou spojitě diferencovatelné a jejich parciální derivace splňují Cauchyho-Riemannovy podmínky:

{\partial u \over \partial x}={\partial v \over \partial y}

a

{\partial u \over \partial y}=-{\partial v \over \partial x}.

Kompaktní formulace

Tyto dvě podmínky lze ekvivalentně vyjádřit pomocí jediného vztahu:

{i{\partial f \over \partial x}}={\partial f \over \partial y}.

Formulace v polárních souřadnicích

Je-li komplexní číslo zapsáno v polárních souřadnicích: $z=re^{i\theta }$ , lze zapsat Cauchyho-Riemannovy podmínky ve tvaru:

{\partial u \over \partial r}={1 \over r}{\partial v \over \partial \theta },

{\partial v \over \partial r}=-{1 \over r}{\partial u \over \partial \theta }.

Kompaktní formulace v polárních souřadnicích

Opět lze tyto dvě rovnice zapsat pomocí jediné:

{\partial f \over \partial r}={1 \over ir}{\partial f \over \partial \theta },

kde derivace uvažujeme v bodě $re^{i\theta }$ .

Odvození

Jako derivace funkce dvou proměnných

První možností jak vést důkaz je říci, že má-li funkce parciální derivaci jako funkce dvou proměnných, potom musí mít stejnou hodnotu podél všech křivek procházejících daným bodem. Máme-li funkci f(z) = u(x, y) + i v(x, y) nad C, a počítáme-li derivaci v bodě, z₀, přibližujeme se k z₀ nejprve po křivce podél reálné osy a poté podél imaginární osy. Obě hodnoty derivací musí vyjít stejné.

Podél reálné osy:

$f'(z)\,$	$=\lim _{h\rightarrow 0}{f(z+h)-f(z) \over h}$
	$=\lim _{h\rightarrow 0}{u(x+h,y)+iv(x+h,y)-[u(x,y)+iv(x,y)] \over h}$
	$=\lim _{h\rightarrow 0}{[u(x+h,y)-u(x,y)]+i[v(x+h,y)-v(x,y)] \over h}$
	$=\lim _{h\rightarrow 0}{\left[{\frac {u(x+h,y)-u(x,y)}{h}}+i{\frac {v(x+h,y)-v(x,y)}{h}}\right]},$

což je z definice parciální derivace rovno

f'(z)={\partial u \over \partial x}+i{\partial v \over \partial x}.

Podél imaginární osy:

$f'(z)\,$	$=\lim _{h\rightarrow 0}{f(z+ih)-f(z) \over ih}$
	$=\lim _{h\rightarrow 0}{u(x,y+h)+iv(x,y+h)-[u(x,y)+iv(x,y)] \over ih}$
	$=\lim _{h\rightarrow 0}{\left[{\frac {u(x,y+h)-u(x,y)}{ih}}+i{\frac {v(x,y+h)-v(x,y)}{ih}}\right]}$
	$=\lim _{h\rightarrow 0}{\left[-i{\frac {u(x,y+h)-u(x,y)}{h}}+{\frac {v(x,y+h)-v(x,y)}{h}}\right]}$
	$=\lim _{h\rightarrow 0}{\left[{\frac {v(x,y+h)-v(x,y)}{h}}-i{\frac {u(x,y+h)-u(x,y)}{h}}\right]}.$

tedy opět z definice parciální derivace:

f'(z)={\partial v \over \partial y}-i{\partial u \over \partial y}.

Porovnáním těchto dvou výsledků

{\partial u \over \partial x}+i{\partial v \over \partial x}={\partial v \over \partial y}-i{\partial u \over \partial y}.

Má-li se rovnat reálná i imaginární část bude

{\partial u \over \partial x}={\partial v \over \partial y}

{\partial u \over \partial y}=-{\partial v \over \partial x}.\quad \square

Pomocí reprezentace derivace jako lineárního zobrazení

Další možností, jak odvodit Cauchyho-Riemannovy podmínky je uvažovat komplexní derivaci jako lineární zobrazení a to dvěma způsoby – jako zobrazení z $\mathbb {C}$ do $\mathbb {C}$ a jako zobrazení z $\mathbb {R} ^{2}$ do $\mathbb {R} ^{2}$ .

Chápeme-li f přirozeným způsobem jako funkci z $\mathbb {R} ^{2}$ do $\mathbb {R} ^{2}$ , je lineární zobrazení L totálním diferenciálem f v bodě z, platí-li:

\,f(z+h)=f(z)+L(h)+\xi (h)

, kde

\xi

je funkce splňující

\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\xi (h)}{\|h\|}}=0.

Na druhou stranu si uvědomme, že komplexní číslo w je komplexní derivací funkce $f:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C}$ v bodě z, právě když pro všechna $h\in \mathbb {C}$ platí:

\,f(z+h)=f(z)+w\cdot h+\xi (h)

, kde

\xi

je opět funkce splňující

\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\xi (h)}{|h|}}=0.

Přitom w = s + it určuje jednoznačně lineární zobrazení $W:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ dané maticí

W={\begin{pmatrix}s&-t\\t&\;\;s\end{pmatrix}}.

Toto zobrazení splňuje (stále při přirozeném ztotožňování komplexních čísel s vektory z $\mathbb {R} ^{2}$ ) vztah $W(h)=w\cdot h$ , tedy platí:

\,f(z+h)=f(z)+W(h)+\xi (h)

, kde

\xi

je opět funkce splňující

\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\xi (h)}{|h|}}=0.

.

Tedy na jednu stranu, má-li f v bodě z komplexní derivaci w, je zobrazení W totálním diferenciálem $f(x,y)=u(x,y)+i\cdot v(x,y)$ a tedy platí:

W={\begin{pmatrix}s&-t\\t&\;\;s\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial u}{\partial x}}(z)&{\frac {\partial u}{\partial y}}(z)\\{\frac {\partial v}{\partial x}}(z)&{\frac {\partial v}{\partial y}}(z)\end{pmatrix}},

odkud Cauchyho-Riemannovy podmínky zřejmě plynou.

Na druhou stranu, má-li f = u + iv spojité parciální derivace v z, má v z totální diferenciál:

\mathrm {d} f(z)={\begin{pmatrix}{\frac {\partial u}{\partial x}}(z)&{\frac {\partial u}{\partial y}}(z)\\{\frac {\partial v}{\partial x}}(z)&{\frac {\partial v}{\partial y}}(z)\end{pmatrix}}.

Pak z dříve dokázaných vztahů je číslo $w={\frac {\partial u}{\partial x}}(z)+i\cdot {\frac {\partial v}{\partial x}}(z)$ komplexní derivací funkce f, neboť díky platnosti Cauchyho-Riemannových podmínek je lineární zobrazení W určené takto definovaným w rovno $\mathrm {d} f(z)$ . $\quad \square$

Reference

Veselý, J.: Komplexní analýza, Karolinum Praha, 2000

Externí odkazy

Cauchyho–Riemannovy podmínky v encyklopedii MathWorld (anglicky)