Cauchyho-Riemannovy podmínky

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

V matematice, konkrétně v komplexní analýze, jsou Cauchyho-Riemannovy podmínky nutnou (ne však postačující) podmínkou, aby daná funkce byla holomorfní (tedy komplexně diferencovatelná). Postačující podmínkou jsou např. pokud mají funkce u,v spojité parciální derivace. Jde o parciální diferenciální rovnice pojmenované po Augustinu Cauchym a Bernhardu Riemannovi. Poprvé se tyto rovnice objevily roku 1752 v práci D'Alemberta.

Cauchy-Riemannova věta[editovat | editovat zdroj]

Následující tvrzení, které charakterizuje holomorfní funkce pomocí Cauchy-Riemannových podmínek, bývá označováno jako Cauchy-Riemannova věta.

Buď f(x + iy) = u + iv funkce z otevřené podmnožiny komplexních čísel C do C, kde x a y jsou reálná čísla a u, v jsou reálné funkce definované na otevřené podmnožině R2. Potom f je holomorfní právě když u a v jsou spojitě diferencovatelné a jejich parciální derivace splňují Cauchyho-Riemannovy podmínky:

a

Kompaktní formulace[editovat | editovat zdroj]

Tyto dvě podmínky lze ekvivalentně vyjádřit pomocí jediného vztahu:

Formulace v polárních souřadnicích[editovat | editovat zdroj]

Uvažujeme-li zápis komplexního čísla v polárních souřadnicích: , lze zapsat Cauchyho-Riemannovy podmínky ve tvaru:

Kompaktní formulace v polárních souřadnicích[editovat | editovat zdroj]

Opět lze tyto dvě rovnice zapsat pomocí jediné:

kde derivace uvažujeme v bodě .

Odvození[editovat | editovat zdroj]

Jako derivace funkce dvou proměnných[editovat | editovat zdroj]

První možností jak vést důkaz je říci, že má-li funkce parciální derivaci jako funkce dvou proměnných, potom musí mít stejnou hodnotu podél všech křivek procházejících daným bodem. Máme-li funkci f(z) = u(x, y) + i v(x, y) nad C, a počítáme-li derivaci v bodě, z0, přibližujeme se k z0 nejprve po křivce podél reálné osy a poté podél imaginární osy. Obě hodnoty derivací musí vyjít stejné.

Podél reálné osy:

což je z definice parciální derivace rovno

Podél imaginární osy:

tedy opět z definice parciální derivace:

Porovnáním těchto dvou výsledků

Má-li se rovnat reálná i imaginární část bude

Pomocí reprezentace derivace jako lineárního zobrazení[editovat | editovat zdroj]

Další možností, jak odvodit Cauchyho-Riemannovy podmínky je uvažovat komplexní derivaci jako lineární zobrazení a to dvěma způsoby – jako zobrazení z do a jako zobrazení z do .

Chápeme-li f přirozeným způsobem jako funkci z do , je lineární zobrazení L totálním diferenciálem f v bodě z, platí-li:

, kde je funkce splňující

Na druhou stranu si uvědomme, že komplexní číslo w je komplexní derivací funkce v bodě z, právě když pro všechna platí:

, kde je opět funkce splňující

Přitom w = s + it určuje jednoznačně lineární zobrazení dané maticí

Toto zobrazení splňuje (stále při přirozeném ztotožňování komplexních čísel s vektory z ) vztah , tedy platí:

, kde je opět funkce splňující .

Tedy na jednu stranu, má-li f v bodě z komplexní derivaci w, je zobrazení W totálním diferenciálem a tedy platí:

odkud Cauchyho-Riemannovy podmínky zřejmě plynou.

Na druhou stranu, má-li f = u + iv spojité parciální derivace v z, má v z totální diferenciál:

Pak z dříve dokázaných vztahů je číslo komplexní derivací funkce f, neboť díky platnosti Cauchyho-Riemannových podmínek je lineární zobrazení W určené takto definovaným w rovno .

Reference[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]