Totální diferenciál

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Totální diferenciál je v matematice diferenciál aplikovaný na funkci několika proměnných. Vyjadřuje závislost změny hodnoty funkce několika proměnných na malé změně jedné nebo více proměnných směrem od daného bodu. Tuto závislost aproximuje jako lineární funkci. Chyba této aproximace při malé změně proměnných musí být velmi malá (ve smyslu definice), jinak totální diferenciál neexistuje. Zkoumaná funkce tedy musí být dostatečně hladká. Jestliže totální diferenciál v daném bodě existuje, říkáme, že funkce v daném bodě má totální diferenciál neboli že je v daném bodě diferencovatelná.

Pokud v bodě existuje totální diferenciál funkce n proměnných , pak je to lineární funkce

,

kde

je parciální derivace funkce podle v bodě ,
je gradient funkce v bodě ,
je vektor změn jednotlivých nezávislých proměnných
a symbol značí skalární součin.


Definice[editovat | editovat zdroj]

Nechť je funkce n reálných proměnných definovaná na jistém okolí bodu . Totálním diferenciálem funkce v bodě nazýváme lineární funkci , s níž lze funkci v okolí bodu aproximovat jako



tak, že pro chybu aproximace platí


.


Jestliže taková lineární funkce existuje, pak má tvar



a říkáme, že funkce má v bodě totální diferenciál neboli že je v bodě diferencovatelná.

Podmínky a důsledky diferencovatelnosti[editovat | editovat zdroj]

  • Jestliže má funkce na jistém okolí bodu spojité všechny parciální derivace, pak má v bodě totální diferenciál.
  • Jestliže má funkce v bodě totální diferenciál, pak je v bodě spojitá a má v něm směrovou derivaci v každém směru.

Geometrický význam[editovat | editovat zdroj]

  • Pro názornou interpretaci geometrického významu totálního diferenciálu budeme uvažovat 2D funkci a bod, ve kterém budem zkoumat existenci totálního diferenciálu .
  • Jelikož tato funkce splňuje podmínky existence totálního diferenciálu, musí platit .
  • Abychom si znázornili totální diferenciál, vypustíme zbytkovou funkci
  • , ,
  • Po dosazení za neznámé do rovnice a přeznačení na dostaneme
  • Nyní se podívejme na grafy funkcí a funkce
Graf č.1
  • Z grafu je vidět že geometrický význam totálního diferenciálu je rovina tečná k funkci v bodě
  • Pro funkci jedné proměnné představuje totální diferenciál tečnou přímku.

Literatura[editovat | editovat zdroj]

  • Krbálek, Milan. Matematická analýza IV. 3., přeprac. vyd. V Praze: České vysoké učení technické, 2009, 252 s. ISBN 978-80-01-04315-8.