Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skalární součin je v matematice zobrazení , které dvojici vektorů přiřadí číslo (skalár ), které má vztah k velikosti těchto vektorů, k tzv.
ortogonalitě a případně k úhlu , který svírají. Formálně se skalární součin definuje na reálném nebo komplexním vektorovém prostoru V jako binární zobrazení
V
×
V
→
R
{\displaystyle V\times V\to \mathbb {R} }
V
×
V
→
C
{\displaystyle V\times V\to \mathbb {C} }
V
{\displaystyle V}
vektorový prostor nad číselným tělesem
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
splňující jisté vlastnosti.
Nejběžnější příklad skalárního součinu je v trojrozměrném eukleidovském prostoru zobrazení dané vzorcem
a
⋅
b
=
a
1
b
1
+
a
2
b
2
+
a
3
b
3
=
|
a
|
|
b
|
cos
α
{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}=|\mathbf {a} |\,|\mathbf {b} |\cos \alpha }
kde
α
{\displaystyle \alpha }
úhel sevřený vektory a a b .
Nejběžnější způsoby zápisu skalárního součinu vektorů u , v jsou:
u
⋅
v
{\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }
násobení matic , což je v určitých ohledech podobná operace.
⟨
u
,
v
⟩
{\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }
funkcionální analýze .
(
u
,
v
)
{\displaystyle (\mathbf {u} ,\mathbf {v} )}
b
(
u
,
v
)
{\displaystyle b\,(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )}
b jako bilineární forma
⟨
v
∣
u
⟩
{\displaystyle \langle \mathbf {v} \mid \mathbf {u} \rangle }
Diracovy notace v kvantové mechanice Jsou dány číselné těleso T a vektorový prostor V nad tímto tělesem. Zobrazení V ×V → T je skalárním součinem, jestliže splňuje pro všechna
u
,
v
,
w
∈
V
{\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} ,\mathbf {w} \in V}
a
∈
T
{\displaystyle a\in T}
(
u
,
v
)
=
(
v
,
u
)
¯
{\displaystyle (\mathbf {u} ,\mathbf {v} )={\overline {(\mathbf {v} ,\mathbf {u} )}}}
(
u
+
v
,
w
)
=
(
u
,
w
)
+
(
v
,
w
)
{\displaystyle (\mathbf {u} +\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=(\mathbf {u} ,\mathbf {w} )+(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )}
(
a
u
,
v
)
=
a
(
u
,
v
)
{\displaystyle (a\,\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=a\,(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )}
(
v
,
v
)
≥
0
{\displaystyle (\mathbf {v} ,\mathbf {v} )\geq 0}
(
v
,
v
)
=
0
⟺
v
=
0
{\displaystyle (\mathbf {v} ,\mathbf {v} )=0\iff \mathbf {v} =\mathbf {0} }
Pruhem je označeno komplexní sdružení . Pro reálná čísla platí
x
¯
=
x
.
{\displaystyle {\overline {x}}=x.}
v reálném vektorovém prostoru je skalární součin komutativní , tzn.
(
u
,
v
)
=
(
v
,
u
)
{\displaystyle (\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=(\mathbf {v} ,\mathbf {u} )}
ve vektorovém prostoru nad tělesem komplexních čísel platí
(
u
,
v
)
=
(
v
,
u
)
¯
{\displaystyle (\mathbf {u} ,\mathbf {v} )={\overline {(\mathbf {v} ,\mathbf {u} )}}}
(
u
,
a
v
)
=
a
¯
(
u
,
v
)
{\displaystyle (\mathbf {u} ,a\,\mathbf {v} )={\overline {a}}\,(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )}
(
u
,
v
)
=
0
{\displaystyle (\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=0}
jestliže množina
{
e
1
,
e
2
,
…
,
e
n
}
{\displaystyle \{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\dots ,\mathbf {e} _{n}\}}
(
e
j
,
e
k
)
=
δ
j
k
{\displaystyle (\mathbf {e} _{j},\mathbf {e} _{k})=\delta _{jk}}
δ
j
k
{\displaystyle \delta _{jk}}
Kroneckerovo delta ,pak tyto vektory označujeme jako ortonormální Geometrická interpretace skalárního součinu. norma generovaná skalárním součinem:
‖
v
‖
=
(
v
,
v
)
{\displaystyle \|\mathbf {v} \|={\sqrt {(\mathbf {v} ,\mathbf {v} )}}}
z geometrického hlediska představuje skalární součin vektorů u , v součin velikosti vektoru u a velikosti průmětu v do směru vektoru u , tzn.
u
⋅
v
=
‖
u
‖
‖
v
‖
cos
α
{\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =\|\mathbf {u} \|\,\|\mathbf {v} \|\cos \alpha }
kde
α
{\displaystyle \alpha }
úhel , který svírají vektory u , v . pro dva vektory
u
=
∑
i
=
1
n
u
i
e
i
,
v
=
∑
i
=
1
n
v
i
e
i
{\displaystyle \mathbf {u} =\sum _{i=1}^{n}u^{i}\mathbf {e} _{i},\,\mathbf {v} =\sum _{i=1}^{n}v^{i}\mathbf {e} _{i}}
(zapsané v nějaké jedné pevně zvolené bázi
e
{\displaystyle \mathbf {e} }
(
u
,
v
)
=
∑
i
,
j
=
1
n
(
e
i
,
e
j
)
u
i
v
j
¯
=
∑
i
,
j
=
1
n
g
i
j
u
i
v
j
¯
{\displaystyle (\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=\sum _{i,j=1}^{n}(\mathbf {e} _{i},\mathbf {e} _{j})u^{i}{\overline {v^{j}}}=\sum _{i,j=1}^{n}g_{ij}u^{i}{\overline {v^{j}}}}
kde
g
i
j
=
(
e
i
,
e
j
)
{\displaystyle g_{ij}=(\mathbf {e} _{i},\mathbf {e} _{j})}
metrický tenzor (v tomto případě matice ). pro dvě posloupnosti
a
,
b
:
N
→
C
{\displaystyle a,b:\mathbb {N} \to \mathbb {C} }
řadu
(
a
,
b
)
=
∑
i
=
0
∞
a
i
b
i
¯
{\displaystyle (a,b)=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}{\overline {b_{i}}}}
pokud řada konverguje. skalární součin funkcí
(
f
,
g
)
=
∫
a
b
f
(
x
)
⋅
g
(
x
)
¯
d
x
{\displaystyle (f,g)=\int _{a}^{b}f(x)\cdot {\overline {g(x)}}dx}
integrace jsou obvykle
0
,
±
∞
,
±
1
,
±
π
{\displaystyle 0,\pm \infty ,\pm 1,\pm \pi }
Mějme dva trojrozměrné vektory a = (1,2,3), b = (4,5,6). Potom jejich skalární součin je
a
⋅
b
=
a
1
b
1
+
a
2
b
2
+
a
3
b
3
=
1
⋅
4
+
2
⋅
5
+
3
⋅
6
=
32
{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}=1\cdot 4+2\cdot 5+3\cdot 6=32}
Obrázky, zvuky či videa k tématu skalární součin na Wikimedia Commons 
