Skalární součin
Skalární součin[1] je v matematice bilineární zobrazení , kde je vektorový prostor nad tělesem , přiřazující dvojici vektorů skalár.
Značení
[editovat | editovat zdroj]Nejběžnější způsoby zápisu skalárního součinu vektorů a jsou:
- – značení používané hlavně v prostorech konečné dimenze
- – značení běžné ve funkcionální analýze
- – starší značení, dnes již méně používané
- – jako bilineární forma
- – při použití Diracovy notace v kvantové mechanice
Definice
[editovat | editovat zdroj]Operaci skalárního součinu dvou vektorů vektorového prostoru nad číselným tělesem ( ) definujeme jako symetrickou pozitivně definitní bilineární formu na vektorovém prostoru, tj. v -rozměrném aritmetickém vektorovém prostoru s kanonickou bází jako:
- ,
a definujeme-li normu libovolného vektoru vektorového prostoru jako druhou odmocninu skalárního součinu vektoru se sebou samým, pak z Cauchyho–Schwarzovy nerovnosti a trojúhelníkové nerovnosti pro libovolné dva vektory a plyne nerovnost , tj.:
- ,
kde je úhel mezi vektory a . Pro nulový skalární součin nenulových vektorů nutně platí, že svírají pravý úhel, pak říkáme, že tyto vektory jsou vzájemně ortogonální, tj. kolmé.
Skalární součin má mnoho použití mj. ve fyzice. Např. energie, kterou objekt získá pohybem v konstantním silovém poli, je rovna skalárnímu součinu vektoru změny polohy a vektoru síly. Tato formulace pokrývá řadu situací:
- nechá-li se člověk, či jiné těleso unášet proudem řeky, tento proud mu předá kinetickou energii, získá tedy hybnost a rychlost
- k pohybu proti proudu je třeba energii vynaložit, protože skalární součin je záporný
- při pohybu šikmo (nebo téměř kolmo) vůči proudu je účinek proudu méně znatelný, protože skalární součin je menší než při kolmém pohybu (či blízký nule) i tehdy, když oba vektory jsou velké
Tento koncept z běžného prostoru lze značně zobecnit: Libovolný vektorový prostor (např. prostor nekonečných posloupností či funkcí), který má vlastnosti podobné „běžnému“ skalárnímu součinu v „běžném“ -rozměrném prostoru, se nazývá unitární prostor. Má-li navíc úplnou metriku, nazývá se Hilbertův prostor.
Vlastnosti
[editovat | editovat zdroj]
pro všechny nenulové vektory a všechna platí:
- ve reálném vektorovém prostoru nad tělesem reálných čísel je skalární součin komutativní, tzn.:
- v komplexním vektorovém prostoru nad tělesem komplexních čísel, kde pruhem je značeno komplexní sdružení, platí:
Příklad
[editovat | editovat zdroj]Mějme dva trojrozměrné vektory a . Potom jejich skalární součin je:
- .
Aplikace
[editovat | editovat zdroj]- pro dva vektory a , zapsané v nějaké jedné pevně zvolené bázi , lze skalární součin definovat jako:
- , kde je metrický tenzor (v tomto případě matice)
- pro dvě posloupnosti lze skalární součin definovat jako řadu:
- , pokud řada konverguje
- , pokud integrál konverguje
Reference
[editovat | editovat zdroj]- ↑ BICAN, Ladislav. Linearni algebra a geometrie (upr. vydání). [s.l.]: Academia, 2009. ISBN 978-80-200-1707-9.
Související články
[editovat | editovat zdroj]Externí odkazy
[editovat | editovat zdroj]Obrázky, zvuky či videa k tématu skalární součin na Wikimedia Commons