Skalární součin

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Skalární součin je v matematice zobrazení, které dvojici vektorů přiřadí číslo (skalár), které má vztah k velikosti těchto vektorů, k tzv. ortogonalitě a případně k úhlu který svírají. Formálně se skalární součin definuje na reálném nebo komplexním vektorovém prostoru V jako binární zobrazení

    resp.   ,    kde je vektorový prostor nad číselným tělesem resp. ,

splňující jisté vlastnosti.

Nejběžnější příklad skalárního součinu je v trojrozměrném euklidově prostoru zobrazení dané vzorcem

,

kde je úhel sevřený vektory a a b.

Způsob zápisu[editovat | editovat zdroj]

Nejběžnější způsoby zápisu skalárního součinu vektorů u, v jsou:

  • – značení používané hlavně v prostorech konečné dimenze. Jedná se o podobné značení jako u násobení matic, což je v určitých ohledech podobná operace.
  • – značení běžné ve funkcionální analýze.
  • – starší značení, dnes již méně používané.
  • b jako bilineární forma
  • – při použití Diracovy notace v kvantové mechanice

Definice[editovat | editovat zdroj]

Jsou dány číselné těleso T a vektorový prostor V nad tímto tělesem. Zobrazení V×VT  je skalárním součinem, jestliže splňuje pro všechna a všechna následující podmínky:

Pruhem je označeno komplexní sdružení. Pro reálná čísla platí  

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

  • v reálném vektorovém prostoru je skalární součin komutativní, tzn.
  • ve vektorovém prostoru nad tělesem komplexních čísel platí
  • pro komplexní a platí
  • jestliže množina vyhovuje vztahu
,  kde je Kroneckerovo delta,
pak tyto vektory označujeme jako ortonormální.
Geometrická interpretace skalárního součinu.
  • pomocí skalárního součinu lze definovat normu vektoru, tzv.
norma generovaná skalárním součinem:
  • z geometrického hlediska představuje skalární součin vektorů uv součin velikosti vektoru u a velikosti průmětu v do směru vektoru u, tzn.
,
kde je úhel, který svírají vektory u, v.

Příklady skalárních součinů[editovat | editovat zdroj]

  • pro dva vektory
(zapsané v nějaké jedné pevně zvolené bázi) lze skalární součin definovat jako
,
kde je metrický tenzor (v tomto případě matice).
  • skalární součin funkcí   (meze integrace jsou obvykle )

Příklad výpočtu skalárního součinu[editovat | editovat zdroj]

Mějme dva trojrozměrné vektory a = (1,2,3), b = (4,5,6). Potom jejich skalární součin je

.

Související články[editovat | editovat zdroj]