Skalární součin

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Skalární součin je v matematice zobrazení, které dvojici vektorů přiřadí číslo (skalár), které má vztah k velikosti těchto vektorů, k tzv. ortogonalitě a případně k úhlu který svírají. Formálně se skalární součin definuje na reálném nebo komplexním vektorovém prostoru V jako binární zobrazení

V\times V \to \mathbb{R}    resp.   V\times V \to \mathbb{C},    kde V je vektorový prostor nad číselným tělesem \mathbb{R} resp. \mathbb{C},

splňující jisté vlastnosti.

Nejběžnější příklad skalárního součinu je v trojrozměrném euklidově prostoru zobrazení dané vzorcem

\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 = |\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}| \cos \alpha,

kde \alpha je úhel sevřený vektory a a b.

Způsob zápisu[editovat | editovat zdroj]

Nejběžnější způsoby zápisu skalárního součinu vektorů u, v jsou:

Definice[editovat | editovat zdroj]

Jsou dány číselné těleso T a vektorový prostor V nad tímto tělesem. Zobrazení V×VT  je skalárním součinem, jestliže splňuje pro všechna \mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w} \in V a všechna a \in T následující podmínky:

  1. (\mathbf{u},\mathbf{v}) = \overline{(\mathbf{v},\mathbf{u})}
  2. (\mathbf{u}+\mathbf{v},\mathbf{w}) = (\mathbf{u},\mathbf{w})+(\mathbf{v},\mathbf{w})
  3. (a\,\mathbf{u},\mathbf{v}) = a\,(\mathbf{u},\mathbf{v})
  4. (\mathbf{v},\mathbf{v}) \ge 0
  5. (\mathbf{v},\mathbf{v}) = 0 \iff \mathbf{v} = \mathbf{0}

Pruhem je označeno komplexní sdružení. Pro reálná čísla platí  \overline x = x.

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

  • v reálném vektorovém prostoru je skalární součin komutativní, tzn.
(\mathbf{u},\mathbf{v}) = (\mathbf{v},\mathbf{u})
  • pro komplexní a platí
(\mathbf{u},a\,\mathbf{v}) = \overline{a}\,(\mathbf{u},\mathbf{v})
(\mathbf{u},\mathbf{v}) = 0
(\mathbf{e}_j,\mathbf{e}_k) = \delta_{jk},  kde \delta_{jk} je Kroneckerovo delta,
pak tyto vektory označujeme jako ortonormální.
Geometrická interpretace skalárního součinu.
  • pomocí skalárního součinu lze definovat normu vektoru, tzv.
norma generovaná skalárním součinem:
\|\mathbf{v}\| = \sqrt{(\mathbf{v},\mathbf{v})}
  • z geometrického hlediska představuje skalární součin vektorů uv součin velikosti vektoru u a velikosti průmětu v do směru vektoru u, tzn.
\mathbf{u}\cdot \mathbf{v} = \|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\| \cos \alpha,
kde \alpha je úhel, který svírají vektory u, v.

Příklady skalárních součinů[editovat | editovat zdroj]

  • pro dva vektory \mathbf{u}=\sum_{i=1}^n u^i \mathbf{e}_i,\, \mathbf{v}=\sum_{i=1}^n v^i \mathbf{e}_i
(zapsané v nějaké jedné pevně zvolené bázi) lze skalární součin definovat jako
(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = \sum^n_{i,j=1} (\mathbf{e}_i,\mathbf{e}_j) u^i \overline{v^j} = \sum^n_{i,j=1} g_{i j}u^i \overline{v^j},
kde g_{i j} = (\mathbf{e}_i,\mathbf{e}_j) je metrický tenzor (v tomto případě matice).
  • skalární součin funkcí (f, g)=\int_a^b f(x)\cdot \overline{g(x)} dx   (meze integrace jsou obvykle 0, \pm \infty, \pm 1)

Příklad výpočtu skalárního součinu[editovat | editovat zdroj]

Mějme dva trojrozměrné vektory a = (1,2,3), b = (4,5,6). Potom jejich skalární součin je

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_ 1b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 = 1\cdot 4 + 2\cdot 5 + 3\cdot 6 = 32.

Související články[editovat | editovat zdroj]