Bilineární forma

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

Bilineární forma je matematický pojem z oblasti lineární algebry. Je to zobrazení z kartézského součinu dvou vektorových prostorů do tělesa, které je lineární v obou složkách.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Nechť je vektorový prostor nad tělesem . Bilineární forma na je každé zobrazení , které splňuje následující podmínky, kde a :

Matice bilineární formy a její transformace[editovat | editovat zdroj]

Často je výhodné pracovat s bilineární formou jako s maticí. Ta je definována následovně:

Definice: Nechť je n-rozměrný vektorový prostor nad tělesem a báze v něm. Nechť jsou vektory a jejich vyjádření vůči . Nechť je bilineární forma na .

Matice je vyjádřením bilineární formy v bázi pokud splňuje:

Z této definice přímo vyplývá i transformační vztah pro matici bilineární formy. Pokud a zároveň má platit , potom:

Symetrická a antisymetrická bilineární forma[editovat | editovat zdroj]

Bilineární forma se nazývá:

  • symetrická, platí-li pro všechna u,v .
  • antisymetrická, platí-li pro všechna u,v .

Je-li charakteristika tělesa T různá od 2, lze každou bilineární formu rozložit na její symetrickou a antisymetrickou část:

,

kde

je symetrická a
je antisymetrická.

Seskvilineární forma[editovat | editovat zdroj]

Ve vektorových prostorech nad komplexními čísly se v mnoha případech (například jako skalární součin) místo bilineárních forem používají tzv. seskvilineární formy, které jsou v prvním argumentu antilineární a v druhém lineární. Jejich definice se od bilineární formy liší pouze jednou podmínkou. Zatímco pro bilineární formu platilo:

pro seskvilineární formu platí:

kde je komplexní sdružení.

Obdobnou úvahou jako v případě bilineární formy můžeme dospět k maticovému zápisu a transformačnímu vztahu , kde značí matici hermitovsky sdruženou s .

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]