Smíšený součin
Smíšený součin tří vektorů (v daném pořadí) trojrozměrného vektorového prostoru lze definovat jako skalární součin prvního vektoru s vektorovým součinem druhého a třetího vektoru.
![{\displaystyle [{\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}]={\vec {a}}\cdot ({\vec {b}}\times {\vec {c}}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db59279545933d21e0b2f687c389cc638fb3cae2)
V souřadnicích platí:
![{\displaystyle [{\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}]=a_{1}b_{2}c_{3}-a_{1}b_{3}c_{2}+a_{2}b_{3}c_{1}-a_{2}b_{1}c_{3}+a_{3}b_{1}c_{2}-a_{3}b_{2}c_{1}=det({\vec {a}}\ {\vec {b}}\ {\vec {c}}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ced1e62e5c5508432ea992b2c7ccc6df217afd4)
Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]
Geometrický význam smíšeného součinu vektorů je (orientovaný) objem rovnoběžnostěnu jimi přirozeně určeného.
Z významu plyne, že smíšený součin tří vektorů je roven nule, právě když jsou lineárně závislé (leží v jedné rovině).
Při záměně libovolných dvou vektorů změní smíšený součin znaménko. Na pořadí vektorů tedy záleží, ale změní se nejvýše znaménko výsledku.
Je to funkce lineární ve všech proměnných (multilineární funkce). Smíšený součinu vektorů kladně orientované báze je 1. Smíšený součin tří vektorů je tedy jednotková antisymetrická trilineární forma. Lze ho vyjádřit pomocí Levi-Civitova symbolu ε (s Einsteinovou sumační konvencí):
![{\displaystyle [{\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}]=\epsilon _{ijk}a_{i}b_{j}c_{k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c1ad4b9e1b40208c14e1b6d70a6a3a3f145bc7c)
Zobecnění[editovat | editovat zdroj]
Vnější součin n vektorů n-rozměrného vektorového prostoru se skalárním součinem lze zavést jako jednotkovou antisymetrickou n-lineární formu (nabývá hodnoty 1 pro vektory kladně orientované ortonormální báze),
![{\displaystyle [{\vec {v_{1}}},{\vec {v_{2}}},...,{\vec {v_{n}}}]=det({\vec {v_{1}}}\ {\vec {v_{2}}}\ ...\ {\vec {v_{n}}}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/005beacd52d3a933df427fbd745579a6a00fd6a9)