Vektorový součin

Vektorový součin je v matematice binární operace vektorů v trojrozměrném vektorovém prostoru. Výsledkem této operace je vektor (na rozdíl od součinu skalárního, jehož výsledkem je při součinu dvou vektorů skalár). Výsledný vektor je kolmý k oběma původním vektorům.

Značení

Vektorový součin vektorů a, b se obvykle značí jedním z následujících způsobů:

• $\mathbf {a} \times \mathbf {b}$
• $\mathbf {a} \wedge \mathbf {b}$ - používáno ve frankofonních zemích
• $[\mathbf {a} \mathbf {b} ]$ - používáno v Rusku
• $[\mathbf {a} ,\mathbf {b} ]$

Definice

Vektorový součin vektorů a a b je definován jako vektor kolmý k vektorům a a b s velikostí rovnou obsahu rovnoběžníka, který oba vektory určují:

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} =\mathbf {n} \left|\mathbf {a} \right|\left|\mathbf {b} \right|\sin \alpha$

kde α je úhel svíraný vektory a a b (0° ≤ α ≤ 180°) a n je jednotkový vektor k nim kolmý. Takové jednotkové vektory však existují dva; volba závisí na tom, je-li souřadný systém definován jako pravotočivý nebo levotočivý. V pravotočivém souřadném systému lze použít pravidlo pravé ruky: je-li vektor a znázorněn ukazovákem a vektor b prostředníkem pravé ruky, přičemž ukazovák je natažený v rovině dlaně a prostředník směřuje blíže k rovině na dlaň kolmé, pak vektorový součin a×b je ve směru palce.

Vektorový součin

Vektorový součin lze definovat také bez pomoci úhlu, který oba vektory svírají. Máme-li vektorový součin c = a×b, pak složky vektoru c lze určit jako

$c_{1}=a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}$

$c_{2}=a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}$

$c_{3}=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}$

Pomocí Levi-Civitova symbolu je možné složky vektorového součinu zapsat jako

$c_{i}=\varepsilon _{ijk}a_{j}b_{k}$

S využitím vzájemně jednoznačného přiřazení třísložkových vektorů a antisymetrických matic $3\times 3$

$\mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3})\qquad \longleftrightarrow \qquad A=\left({\begin{array}{rrr}0&a_{3}&-a_{2}\\-a_{3}&0&a_{1}\\a_{2}&-a_{1}&0\end{array}}\right)$

lze vektorový součin zavést jako komutátor dvou takových matic

$\left({\begin{array}{rrr}0&c_{3}&-c_{2}\\-c_{3}&0&c_{1}\\c_{2}&-c_{1}&0\end{array}}\right)=C=BA-AB=\left({\begin{array}{ccc}0&a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}&-(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})\\-(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})&0&a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}&-(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})&0\end{array}}\right).$

Množina antisymetrických matic $3\times 3$ je vzhledem ke komutátoru uzavřená.

Zobecnění při zachování bilinearity

Vektorový součin dvou vektorů není pravý vektor, ale tzv. pseudovektor, tzn. při zrcadlení vztažné soustavy se transformuje s opačným znaménkem než pravé vektory. Chceme-li s vektorovým součinem operovat kovariantně, vyjádříme jeho složky jako prvky antisymetrického tenzoru druhého řádu

$d_{ij}=a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}$

Počet nezávislých složek takovéhoto antisymetrického tenzoru je roven třem pouze ve třírozměrném prostoru, proto lze provést přiřazení

$d_{23}=-d_{32}=c_{1}=a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}$

$d_{31}=-d_{13}=c_{2}=a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}$

$d_{12}=-d_{21}=c_{3}=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}$

$d_{11}=d_{22}=d_{33}=0$

Toto přiřazení je speciálním případem tzv. Hodgeova duálu a umožňuje zobecnění vektorového součinu i do prostorů s dimenzí různou od 3. (Např. ve čtyřrozměrném prostoru je počet nezávislých složek antisymetrického tenzoru druhého řádu 6, takže jej již nelze vyjádřit jako pseudovektor a zobecněním vektorového součinu je pseudotenzor druhého řádu.)

Přímočaré zobecnění, není-li požadována binárnost

Víme, že ve 3D se vektorový součin chová tak, že výsledkem je vektor kolmý na oba argumenty součinu a jeho velikost je rovna obsahu rovnoběžníku utvořeného z argumentů. Vstupní vektory a výsledek (v tomto pořadí) tvoří přitom pravotočivou bázi.

Tato definice nabízí přímočaré a mnohdy pro svou užitečnost používané zobecnění. V nD prostoru bude tedy vektorový součin vracet vektor kolmý na zadaných (n-1) vektorů. Jeho velikost bude rovna objemu (n-1) rozměrného rovnoběžnostěnu z těchto vektorů utvořeného. Orientaci zvolíme tak, aby posloupnost n vektorů, kde prvních (n-1) odpovídá zadaným argumentům a n-tý je výsledek, tvořila pravotočivou bázi.

Lze ukázat, že výsledný vektor je pak dán takto:

$\bigwedge (\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{n})={\begin{vmatrix}v_{1}{}^{1}&\cdots &v_{1}{}^{n+1}\\\vdots &\ddots &\vdots \\v_{n}{}^{1}&\cdots &v_{n}{}^{n+1}\\\mathbf {e} _{1}&\cdots &\mathbf {e} _{n+1}\end{vmatrix}}.$

Kde symbolem $\bigwedge$ značíme zobecněný vektorový součin, dolní index označuje pořadové číslo vektoru a horní čísluje jeho složky. Je zřejmé, že pro n=2 přejde vzorec ve známý vztah z 3D.

Ve složkách lze výsledný vektor zapsat dle pravidla o rozvoji determinantu takto

$\bigwedge (\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{n})=((-1)^{n}D_{1},(-1)^{n+1}D_{2},\cdots ,(-1)^{n+n}D_{n+1})$,

kde bylo použito označení $D_{i}$ pro determinant matice utvořený s n vektorů, ve který má každý vektor vynechánu i-tou složku.

Podobně lze výsledek zapsat pomocí Levi-Civitova symbolu $\varepsilon$, který nabývá hodnot 1,-1,0 podle toho jestli je posloupnost indexů, které obsahuje sudá, lichá, nebo je v posloupnosti nějaký index dvakrát. Máme tedy

$c_{i}=\varepsilon _{j_{1}j_{2}\cdots j_{n}i}\,v_{1}{}^{j_{1}}v_{2}{}^{j_{2}}\cdots v_{n}{}^{j_{n}}$,

kde $c_{i}$ označuje i-tou složku zobecněného vektorového součinu. Je užitečné si všimnout, že index i se v symbolu $\epsilon$ vyskytuje na konci, nikoliv na začátku, jak se píše ve 3D, kde na tom nezáleží, na rozdíl od sudých dimenzí.

Z pravidla pro rozvoj determinantu je okamžitě vidět kolmost výsledku ke všem vektorům v součinu.

Poznamenejme, že tento vektorový součin mění znaménko při libovolné záměně vektorů (stejně jako ve 3D) a představuje multilineární operátor (lineární v každém svém argumentu).

Vlastnosti

• Vektorový součin je homogenní, vynásobením vektorového součinu číslem a dostaneme

$a\,(\mathbf {u} \times \mathbf {v} )=(a\mathbf {u} )\times \mathbf {v} =\mathbf {u} \times (a\mathbf {v} ).$

• Vektorový součin je také (oboustranně) distributivní vůči sčítání,

$\mathbf {u} \times (\mathbf {v} +\mathbf {w} )=\mathbf {u} \times \mathbf {v} +\mathbf {u} \times \mathbf {w} ,$

takže se jedná o bilineární operaci.

• Vektorový součin je antikomutativní, tzn.

$\mathbf {u} \times \mathbf {v} =-\mathbf {v} \times \mathbf {u}$

• Vektorový součin vektorů u, v je nulový (u×v = o), právě když jsou lineárně závislé.

• Vektorový součin není asociativní (platí pro něj Jacobiho rovnost).

• Pro derivaci vektorového součinu v třírozměrném prostoru platí:

$(\mathbf {r} \times \mathbf {p} )'=\mathbf {r} '\times \mathbf {p} +\mathbf {r} \times \mathbf {p} '$

• Tvoří-li vektory i, j, k (v tomto pořadí) pravotočivou ortonormální bázi třírozměrného prostoru, pak

$\mathbf {i} \times \mathbf {j} =\mathbf {k}$

$\mathbf {j} \times \mathbf {k} =\mathbf {i}$

$\mathbf {k} \times \mathbf {i} =\mathbf {j}$

• V uvedené bázi lze vektorový součin vektorů u, v zapsat pomocí determinantu jako

$\mathbf {u} \times \mathbf {v} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\u_{1}&u_{2}&u_{3}\\v_{1}&v_{2}&v_{3}\end{vmatrix}}$

Příklady výpočtu

• Součin vektorů u = (1,2,0) a v = (0,1,2) se vypočítá následovně:

$\mathbf {u} \times \mathbf {v} =(u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2}~,~u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3}~,~u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1})$

$\mathbf {u} \times \mathbf {v} =(1,2,0)\times (0,1,2)=(2\cdot 2-0\cdot 1,~0\cdot 0-1\cdot 2,~1\cdot 1-2\cdot 0)=(4,-2,1)$

$\mathbf {v} \times \mathbf {u} =(0,1,2)\times (1,2,0)=(1\cdot 0-2\cdot 2,~2\cdot 1-0\cdot 0,~0\cdot 2-1\cdot 1)=(-4,2,-1)$

Je zřejmé, že vektory u×v a v×u jsou navzájem opačné vektory. Oba jsou kolmé na rovinu určenou vektory u, v.

• Výpočet pomocí determinantu matice:

$\mathbf {u} \times \mathbf {v} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\u_{1}&u_{2}&u_{3}\\v_{1}&v_{2}&v_{3}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\1&2&0\\0&1&2\end{vmatrix}}$

Pro výpočet determinantu matice řádu 3 lze použít například Sarrusovo pravidlo, podle nějž je výsledek

${\begin{array}{rcl}\mathbf {u} \times \mathbf {v} &=&\mathbf {i} u_{2}v_{3}+u_{1}v_{2}\mathbf {k} +v_{1}\mathbf {j} u_{3}-\mathbf {k} u_{2}v_{1}-u_{3}v_{2}\mathbf {i} -v_{3}\mathbf {j} u_{1}\\~&=&\mathbf {i} \cdot 2\cdot 2+1\cdot 1\cdot \mathbf {k} +0\cdot \mathbf {j} \cdot 0-\mathbf {k} \cdot 2\cdot 0-0\cdot 1\cdot \mathbf {i} -2\cdot \mathbf {j} \cdot 1\\~&=&4\mathbf {i} -2\mathbf {j} +1\mathbf {k} \end{array}}$

i, j, k jsou jednotkové vektory rovnoběžné s jednotlivými souřadnými osami, tedy i = (1,0,0), j = (0,1,0), k = (0,0,1).

Proto  $\mathbf {u} \times \mathbf {v} =4\cdot (1,0,0)-2\cdot (0,1,0)+1\cdot (0,0,1)=(4,-2,1)$.

Výpočet v×u je analogický.

Použití

Vektorový součin je hojně využíván ve fyzice, např. moment síly $\mathbf {M}$ je definován následovně:

$\mathbf {M} =\mathbf {r} \times \mathbf {F}$,

kde $\mathbf {r}$ je polohový vektor působiště síly. Podobně vypadá i moment hybnosti $\mathbf {L}$:

$\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} ,$

kde $\mathbf {p}$ značí hybnost hmotného bodu, který má polohu $\mathbf {r}$ vůči zvolenému počátku souřadnic. Moment síly a moment hybnosti spolu úzce souvisí. Ukáže se to při pokusu o derivování momentu hybnosti podle času.

${\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(\mathbf {r} \times \mathbf {p} )={\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\times \mathbf {p} +\mathbf {r} \times {\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}$

Zde bylo využito výše zmíněného pravidla pro derivaci vektorového součinu. Výraz ${\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}$ je v kinematice přesná definice rychlosti $\mathbf {v}$ tělesa. Podobně tak ${\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}$ definuje sílu. Poslední užitá fyzikální rovnost se týká hybnosti. $\mathbf {p} =m\mathbf {v}$. Na základě těchto opisů lze derivaci momentu hybnosti upravit do tvaru

$m(\mathbf {v} \times \mathbf {v} )+\mathbf {r} \times \mathbf {F} .$

Vektorový součin dvou identických vektorů $\mathbf {v} \times \mathbf {v}$ je roven nule.

${\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} =\mathbf {M}$

Moment síly je tedy časová derivace momentu hybnosti. V praktickém světě se tohoto vztahu dá využít např. v orbitální mechanice. Planeta, která obíhá kolem Slunce tvořícího počátek souřadnic, má nulový moment síly, neboť gravitační síla i polohový vektor mají stejný směr. Moment hybnosti této planety se určí integrováním.

$\mathbf {L} =\int \mathbf {M} \,\mathrm {d} t=\int 0\,\mathrm {d} t=C$

$C$ je integrační konstanta. Jinými slovy $\mathbf {L} =\mathrm {konst}$, což je pravidlo charakteristické pro 2. Keplerův zákon.

Operátor rotace

Další forma vektorového součinu důležitá pro fyziku je operátor rotace. Jedná se o diferenciální operátor, jehož aplikování na vektor $\mathbf {F} =(F_{x},F_{y},F_{z})$ má strukturu

$\operatorname {rot} \,\mathbf {F} =\nabla \times \mathbf {F} =\left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}},{\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}},{\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right),$

kde $\nabla$ značí operátor nabla.

${\nabla }=\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)$

Rotace se vyskytuje ku příkladu v prvních dvou Maxwellových rovnicích zapsaných v diferenciálním tvaru.

$\nabla \times {\boldsymbol {H}}={\boldsymbol {j}}+{\frac {\partial {\boldsymbol {D}}}{\partial t}}$

$\nabla \times {\boldsymbol {E}}=-{\frac {\partial {\boldsymbol {B}}}{\partial t}}$

Související články

• Vektor
• Tenzor
• Smíšený součin
• Skalární součin
• Komutátor
• Operátor rotace

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu vektorový součin na Wikimedia Commons