Rotace je matematický operátor definovaný pro vektorové funkce n proměnných , který v každém bodě udává lokální míru rotace (otáčení) definované tímto polem. Značí se
r
o
t
{\displaystyle \mathrm {rot} }
c
u
r
l
{\displaystyle \mathrm {curl} }
∇
×
F
{\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }
nabla a vektorového součinu ), ve třech rozměrech (pro funkci tří proměnných) jej lze zapsat ve tvaru:
rot
F
=
∇
×
F
=
(
∂
F
z
∂
y
−
∂
F
y
∂
z
,
∂
F
x
∂
z
−
∂
F
z
∂
x
,
∂
F
y
∂
x
−
∂
F
x
∂
y
)
{\displaystyle \operatorname {rot} \,\mathbf {F} =\nabla \times \mathbf {F} =\left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}},{\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}},{\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)}
Rotace využívá např. Stokesova věta , která převádí křivkový integrál vektorového pole po uzavřené křivce na plošný integrál rotace tohoto vektorového pole přes libovolnou plochu křivkou ohraničenou. Je-li rotace vektorového pole nulová, pak se toto pole dá napsat jako gradient skalární funkce (tzv. potenciálu ) a nazývá se polem potenciálním .
Označíme-li F , G vektorová pole , f skalární pole , a ,b reálná čísla , potom operátor rotace splňuje následující identity:
Je lineární vůči reálným číslům
∇
×
(
a
F
+
b
G
)
=
a
∇
×
F
+
b
∇
×
G
{\displaystyle \nabla \times \left(a\mathbf {F} +b\mathbf {G} \right)=a\nabla \times \mathbf {F} +b\nabla \times \mathbf {G} }
Rotace gradientu je nulový vektor
∇
×
∇
f
=
r
o
t
g
r
a
d
f
=
0
{\displaystyle \nabla \times \nabla f=\mathrm {rot} \,\mathrm {grad} \,f=\mathbf {0} }
Rotace z vektorového pole násobeného polem skalárním (vektoru funkcí ) je
∇
×
(
f
F
)
=
∇
f
×
F
+
f
∇
×
F
{\displaystyle \nabla \times \left(f\mathbf {F} \right)=\nabla f\times \mathbf {F} +f\nabla \times \mathbf {F} }
Rotace z vektorového součinu dvou vektorových polí je
∇
×
(
F
×
G
)
=
(
G
⋅
∇
)
F
−
(
F
⋅
∇
)
G
+
F
(
∇
⋅
G
)
−
G
(
∇
⋅
F
)
{\displaystyle \nabla \times \left(\mathbf {F} \times \mathbf {G} \right)=\left(\mathbf {G} \cdot \nabla \right)\mathbf {F} -\left(\mathbf {F} \cdot \nabla \right)\mathbf {G} +\mathbf {F} \left(\nabla \cdot \mathbf {G} \right)-\mathbf {G} \left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)}
kdežto pro rotaci z rotace vektorového pole F platí
∇
×
(
∇
×
F
)
=
∇
(
∇
⋅
F
)
−
Δ
F
{\displaystyle \nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {F} \right)=\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)-\Delta \mathbf {F} }
Vyjádření v různých soustavách souřadnic [ editovat | editovat zdroj ] Následující vztahy udávají vyjádření rotace v nejrůznějších souřadných soutavách v trojrozměrném prostoru. Je-li F vektorové pole v daných souřadnicích, pak platí
Ve válcových souřadnicích :
∇
×
F
=
(
1
r
∂
F
z
∂
φ
−
∂
F
φ
∂
z
)
r
^
+
(
∂
F
r
∂
z
−
∂
F
z
∂
r
)
φ
^
+
1
r
(
∂
(
r
F
φ
)
∂
r
−
∂
F
r
∂
φ
)
z
^
{\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} =\left({1 \over r}{\partial F_{z} \over \partial \varphi }-{\partial F_{\varphi } \over \partial z}\right){\boldsymbol {\hat {r}}}+\left({\partial F_{r} \over \partial z}-{\partial F_{z} \over \partial r}\right){\boldsymbol {\hat {\varphi }}}+{1 \over r}\left({\partial (rF_{\varphi }) \over \partial r}-{\partial F_{r} \over \partial \varphi }\right){\boldsymbol {\hat {z}}}}
Ve sférických souřadnicích :
∇
×
F
=
1
r
sin
θ
(
∂
∂
θ
(
F
φ
sin
θ
)
−
∂
F
θ
∂
φ
)
r
^
+
1
r
(
1
sin
θ
∂
F
r
∂
φ
−
∂
∂
r
(
r
F
φ
)
)
θ
^
+
1
r
(
∂
∂
r
(
r
F
θ
)
−
∂
F
r
∂
θ
)
φ
^
{\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} ={1 \over r\sin \theta }\left({\partial \over \partial \theta }(F_{\varphi }\sin \theta )-{\partial F_{\theta } \over \partial \varphi }\right){\boldsymbol {\hat {r}}}+{1 \over r}\left({1 \over \sin \theta }{\partial F_{r} \over \partial \varphi }-{\partial \over \partial r}(rF_{\varphi })\right){\boldsymbol {\hat {\theta }}}+{1 \over r}\left({\partial \over \partial r}(rF_{\theta })-{\partial F_{r} \over \partial \theta }\right){\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}
Používáme-li obecně ortogonální souřadnice x 1 ,x 2 ,x 3 , jejíž Laméovy koeficienty jsou po řadě h 1 ,h 2 ,h 3
∇
×
F
=
1
h
2
h
3
(
∂
(
h
3
F
3
)
∂
x
2
−
∂
(
h
2
F
2
)
∂
x
3
)
x
^
1
{\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} ={\frac {1}{h_{2}h_{3}}}\left({\frac {\partial \left(h_{3}F_{3}\right)}{\partial x_{2}}}-{\frac {\partial \left(h_{2}F_{2}\right)}{\partial x_{3}}}\right){\boldsymbol {\hat {x}}}_{1}}
+
1
h
1
h
3
(
∂
(
h
1
F
1
)
∂
x
3
−
∂
(
h
3
F
3
)
∂
x
1
)
x
^
2
{\displaystyle +\ \ \ \ \ {\frac {1}{h_{1}h_{3}}}\left({\frac {\partial \left(h_{1}F_{1}\right)}{\partial x_{3}}}-{\frac {\partial \left(h_{3}F_{3}\right)}{\partial x_{1}}}\right){\boldsymbol {\hat {x}}}_{2}}
+
1
h
1
h
2
(
∂
(
h
2
F
2
)
∂
x
1
−
∂
(
h
1
F
1
)
∂
x
2
)
x
^
3
{\displaystyle +\ \ \ \ \ {\frac {1}{h_{1}h_{2}}}\left({\frac {\partial \left(h_{2}F_{2}\right)}{\partial x_{1}}}-{\frac {\partial \left(h_{1}F_{1}\right)}{\partial x_{2}}}\right){\boldsymbol {\hat {x}}}_{3}}
Ve zcela obecných souřadnicích (viz také Souřadnicový zápis vektorů ) pro složky vektoru divergence platí
(
∇
×
F
)
i
∂
m
_
∂
x
i
=
(
ε
i
j
k
F
k
,
j
)
∂
m
_
∂
x
i
,
{\displaystyle \left(\nabla \times \mathbf {F} \right)^{i}{\frac {{\boldsymbol {\partial }}^{\underline {m}}}{{\boldsymbol {\partial }}x^{i}}}=\left(\varepsilon ^{ijk}F_{k,j}\right){\frac {{\boldsymbol {\partial }}^{\underline {m}}}{{\boldsymbol {\partial }}x^{i}}},}
kde
ε
i
j
k
{\displaystyle \varepsilon ^{ijk}}
Levi-Civitův pseudotenzor .
Úmluva : Zatímco v předchozím textu jsme za bázi brali ortonormální bázi v daných souřadnicích, ve vzorci v obecných souřadnicích používáme bázi vektorů nebo diferenciálních forem a explicitně vypisujeme jakou. Stejně tak v předchozím textu nerozlišujeme polohu indexů a všechny indexy (ortonormální báze i souřadnic) píšeme dole, zatímco v obecných souřadnicích polohu indexů důsledně rozlišujeme.
