Rotace (operátor)

Rotace je matematický operátor definovaný pro vektorové funkce n proměnných, který v každém bodě udává lokální míru rotace (otáčení) definované tímto polem. Značí se $\mathrm {rot}$${\mathrm {rot}}$, případně (hlavně v anglické literatuře) $\mathrm {curl}$${\mathrm {curl}}$. Je definován jako $\nabla \times \mathbf {F}$$\nabla \times {\mathbf {F}}$ (kombinace operátoru nabla a vektorového součinu), ve třech rozměrech (pro funkci tří proměnných) jej lze zapsat ve tvaru:

$\operatorname {rot} \,\mathbf {F} =\nabla \times \mathbf {F} =\left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}},{\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}},{\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)$$\operatorname {rot}\,{\mathbf {F}}=\nabla \times {\mathbf {F}}=\left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}},{\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}},{\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)$

Rotace využívá např. Stokesova věta, která převádí křivkový integrál vektorového pole po uzavřené křivce na plošný integrál rotace tohoto vektorového pole přes libovolnou plochu křivkou ohraničenou. Je-li rotace vektorového pole nulová, pak se toto pole dá napsat jako gradient skalární funkce (tzv. potenciálu) a nazývá se polem potenciálním.

Vlastnosti rotace

Označíme-li F, G vektorová pole, f skalární pole, a,b reálná čísla, potom operátor rotace splňuje následující identity:

Je lineární vůči reálným číslům

$\nabla \times \left(a\mathbf {F} +b\mathbf {G} \right)=a\nabla \times \mathbf {F} +b\nabla \times \mathbf {G}$$\nabla \times \left(a{\mathbf {F}}+b{\mathbf {G}}\right)=a\nabla \times {\mathbf {F}}+b\nabla \times {\mathbf {G}}$.

Rotace gradientu je nulový vektor

$\nabla \times \nabla f=\mathrm {rot} \,\mathrm {grad} \,f=\mathbf {0}$$\nabla \times \nabla f={\mathrm {rot}}\,{\mathrm {grad}}\,f={\mathbf {0}}$.

Rotace z vektorového pole násobeného polem skalárním (vektoru funkcí) je

$\nabla \times \left(f\mathbf {F} \right)=\nabla f\times \mathbf {F} +f\nabla \times \mathbf {F}$$\nabla \times \left(f{\mathbf {F}}\right)=\nabla f\times {\mathbf {F}}+f\nabla \times {\mathbf {F}}$.

Rotace z vektorového součinu dvou vektorových polí je

$\nabla \times \left(\mathbf {F} \times \mathbf {G} \right)=\left(\mathbf {G} \cdot \nabla \right)\mathbf {F} -\left(\mathbf {F} \cdot \nabla \right)\mathbf {G} +\mathbf {F} \left(\nabla \cdot \mathbf {G} \right)-\mathbf {G} \left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)$$\nabla \times \left({\mathbf {F}}\times {\mathbf {G}}\right)=\left({\mathbf {G}}\cdot \nabla \right){\mathbf {F}}-\left({\mathbf {F}}\cdot \nabla \right){\mathbf {G}}+{\mathbf {F}}\left(\nabla \cdot {\mathbf {G}}\right)-{\mathbf {G}}\left(\nabla \cdot {\mathbf {F}}\right)$,

kdežto pro rotaci z rotace vektorového pole F platí

$\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {F} \right)=\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)-\Delta \mathbf {F}$$\nabla \times \left(\nabla \times {\mathbf {F}}\right)=\nabla \left(\nabla \cdot {\mathbf {F}}\right)-\Delta {\mathbf {F}}$.

Vyjádření v různých soustavách souřadnic

Následující vztahy udávají vyjádření rotace v nejrůznějších souřadných soutavách v trojrozměrném prostoru. Je-li F vektorové pole v daných souřadnicích, pak platí

Ve válcových souřadnicích:

$\nabla \times \mathbf {F} =\left({1 \over r}{\partial F_{z} \over \partial \varphi }-{\partial F_{\varphi } \over \partial z}\right){\boldsymbol {\hat {r}}}+\left({\partial F_{r} \over \partial z}-{\partial F_{z} \over \partial r}\right){\boldsymbol {\hat {\varphi }}}+{1 \over r}\left({\partial (rF_{\varphi }) \over \partial r}-{\partial F_{r} \over \partial \varphi }\right){\boldsymbol {\hat {z}}}$$\nabla \times {\mathbf {F}}=\left({1 \over r}{\partial F_{z} \over \partial \varphi }-{\partial F_{\varphi } \over \partial z}\right){\boldsymbol {{\hat r}}}+\left({\partial F_{r} \over \partial z}-{\partial F_{z} \over \partial r}\right){\boldsymbol {{\hat \varphi }}}+{1 \over r}\left({\partial (rF_{\varphi }) \over \partial r}-{\partial F_{r} \over \partial \varphi }\right){\boldsymbol {{\hat z}}}$

Ve sférických souřadnicích:

$\nabla \times \mathbf {F} ={1 \over r\sin \theta }\left({\partial \over \partial \theta }(F_{\varphi }\sin \theta )-{\partial F_{\theta } \over \partial \varphi }\right){\boldsymbol {\hat {r}}}+{1 \over r}\left({1 \over \sin \theta }{\partial F_{r} \over \partial \varphi }-{\partial \over \partial r}(rF_{\varphi })\right){\boldsymbol {\hat {\theta }}}+{1 \over r}\left({\partial \over \partial r}(rF_{\theta })-{\partial F_{r} \over \partial \theta }\right){\boldsymbol {\hat {\varphi }}}$$\nabla \times {\mathbf {F}}={1 \over r\sin \theta }\left({\partial \over \partial \theta }(F_{\varphi }\sin \theta )-{\partial F_{\theta } \over \partial \varphi }\right){\boldsymbol {{\hat r}}}+{1 \over r}\left({1 \over \sin \theta }{\partial F_{r} \over \partial \varphi }-{\partial \over \partial r}(rF_{\varphi })\right){\boldsymbol {{\hat \theta }}}+{1 \over r}\left({\partial \over \partial r}(rF_{\theta })-{\partial F_{r} \over \partial \theta }\right){\boldsymbol {{\hat \varphi }}}$

Používáme-li obecně ortogonální souřadnice x₁,x₂,x₃, jejíž Laméovy koeficienty jsou po řadě h₁,h₂,h₃

$\nabla \times \mathbf {F} ={\frac {1}{h_{2}h_{3}}}\left({\frac {\partial \left(h_{3}F_{3}\right)}{\partial x_{2}}}-{\frac {\partial \left(h_{2}F_{2}\right)}{\partial x_{3}}}\right){\boldsymbol {\hat {x}}}_{1}$$\nabla \times {\mathbf {F}}={\frac {1}{h_{2}h_{3}}}\left({\frac {\partial \left(h_{3}F_{3}\right)}{\partial x_{2}}}-{\frac {\partial \left(h_{2}F_{2}\right)}{\partial x_{3}}}\right){\boldsymbol {{\hat x}}}_{1}$

$+\ \ \ \ \ {\frac {1}{h_{1}h_{3}}}\left({\frac {\partial \left(h_{1}F_{1}\right)}{\partial x_{3}}}-{\frac {\partial \left(h_{3}F_{3}\right)}{\partial x_{1}}}\right){\boldsymbol {\hat {x}}}_{2}$$+\ \ \ \ \ {\frac {1}{h_{1}h_{3}}}\left({\frac {\partial \left(h_{1}F_{1}\right)}{\partial x_{3}}}-{\frac {\partial \left(h_{3}F_{3}\right)}{\partial x_{1}}}\right){\boldsymbol {{\hat x}}}_{2}$

$+\ \ \ \ \ {\frac {1}{h_{1}h_{2}}}\left({\frac {\partial \left(h_{2}F_{2}\right)}{\partial x_{1}}}-{\frac {\partial \left(h_{1}F_{1}\right)}{\partial x_{2}}}\right){\boldsymbol {\hat {x}}}_{3}$$+\ \ \ \ \ {\frac {1}{h_{1}h_{2}}}\left({\frac {\partial \left(h_{2}F_{2}\right)}{\partial x_{1}}}-{\frac {\partial \left(h_{1}F_{1}\right)}{\partial x_{2}}}\right){\boldsymbol {{\hat x}}}_{3}$

Ve zcela obecných souřadnicích (viz také Souřadnicový zápis vektorů) pro složky vektoru divergence platí

$\left(\nabla \times \mathbf {F} \right)^{i}{\frac {{\boldsymbol {\partial }}^{\underline {m}}}{{\boldsymbol {\partial }}x^{i}}}=\left(\varepsilon ^{ijk}F_{k,j}\right){\frac {{\boldsymbol {\partial }}^{\underline {m}}}{{\boldsymbol {\partial }}x^{i}}},$$\left(\nabla \times {\mathbf {F}}\right)^{i}{\frac {{\boldsymbol {\partial }}^{{\underline {m}}}}{{\boldsymbol {\partial }}x^{i}}}=\left(\varepsilon ^{{ijk}}F_{{k,j}}\right){\frac {{\boldsymbol {\partial }}^{{\underline {m}}}}{{\boldsymbol {\partial }}x^{i}}},$

kde $\varepsilon ^{ijk}$$\varepsilon ^{{ijk}}$ je Levi-Civitův pseudotenzor.

Úmluva: Zatímco v předchozím textu jsme za bázi brali ortonormální bázi v daných souřadnicích, ve vzorci v obecných souřadnicích používáme bázi vektorů nebo diferenciálních forem a explicitně vypisujeme jakou. Stejně tak v předchozím textu nerozlišujeme polohu indexů a všechny indexy (ortonormální báze i souřadnic) píšeme dole, zatímco v obecných souřadnicích polohu indexů důsledně rozlišujeme.

Související články

• Parciální derivace

Externí odkazy

• Rotace v Multimediálním kurzu aplikované matematiky