Nejběžnějším vektorovým polem s nenulovou rotací je rychlostní pole v řece. Například loďku, která odrazí kolmo od břehu, proud stáčí. Vektorové pole rychlosti proudění má ve všech bodech kromě středu toku nenulovou rotaci. Rotace je diferenciální operátor udávající v každém místě lokální míru rotace (otáčení) vektorového pole .
Operátor rotace je definován jako působení operátoru nabla prostřednictvím vektorového součinu na vektorovou funkci
F
:
R
3
→
R
3
{\displaystyle \mathbf {F} :\mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}}
rot
F
=
∇
×
F
=
|
ı
→
ȷ
→
k
→
∂
∂
x
∂
∂
y
∂
∂
z
F
x
F
y
F
z
|
=
(
∂
F
z
∂
y
−
∂
F
y
∂
z
)
ı
→
+
(
∂
F
x
∂
z
−
∂
F
z
∂
x
)
ȷ
→
+
(
∂
F
y
∂
x
−
∂
F
x
∂
y
)
k
→
=
[
∂
F
z
∂
y
−
∂
F
y
∂
z
∂
F
x
∂
z
−
∂
F
z
∂
x
∂
F
y
∂
x
−
∂
F
x
∂
y
]
{\displaystyle \operatorname {rot} \,\mathbf {F} =\nabla \times \mathbf {F} ={\begin{vmatrix}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{vmatrix}}=({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}){\vec {\imath }}+({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}){\vec {\jmath }}+({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}){\vec {k}}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\\{\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\\{\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\end{bmatrix}}}
kde v prvním řádku uvedeného determinantu jsou vektory kanonické ortonormální báze 3rozměrného Eukleidovského prostoru ve směrech kartézských souřadných os
x
,
y
,
z
{\displaystyle x,y,z}
F
=
ı
→
F
x
+
ȷ
→
F
y
+
k
→
F
z
{\displaystyle \mathbf {F} ={\vec {\imath }}F_{x}+{\vec {\jmath }}F_{y}+{\vec {k}}F_{z}}
F
x
,
F
y
,
F
z
{\displaystyle F_{x},F_{y},F_{z}}
x
,
y
,
z
{\displaystyle x,y,z}
Operátor rotace se označuje
r
o
t
{\displaystyle \mathrm {rot} }
c
u
r
l
{\displaystyle \mathrm {curl} }
F
z
{\displaystyle F_{z}}
Nabla je diferenciální operátor , značí se symbolem
∇
≡
[
∂
∂
x
,
∂
∂
y
,
∂
∂
z
]
{\displaystyle {\nabla }\equiv \left[{\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right]}
Hamiltonův operátor , neboť jej jako první používal sir William Rowan Hamilton . Označení Hamiltonův operátor je však téměř výhradně používáno pro hamiltonián . To je operátor celkové energie v kvantové mechanice , který se od operátoru nabla zásadně liší.
Jsou-li
F
{\displaystyle \mathbf {F} }
G
{\displaystyle \mathbf {G} }
vektorová pole ,
f
{\displaystyle f}
skalární pole ,
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
reálná čísla , potom operátor rotace splňuje následující rovnosti:
Je lineární vůči reálným číslům
∇
×
(
a
F
+
b
G
)
=
a
∇
×
F
+
b
∇
×
G
{\displaystyle \nabla \times \left(a\mathbf {F} +b\mathbf {G} \right)=a\nabla \times \mathbf {F} +b\nabla \times \mathbf {G} }
Rotace gradientu je nulový vektor
∇
×
∇
f
=
r
o
t
g
r
a
d
f
=
0
{\displaystyle \nabla \times \nabla f=\mathrm {rot} \,\mathrm {grad} \,f=\mathbf {0} }
Rotace z vektorového pole násobeného polem skalárním (vektoru funkcí ) je
∇
×
(
f
F
)
=
∇
f
×
F
+
f
∇
×
F
{\displaystyle \nabla \times \left(f\mathbf {F} \right)=\nabla f\times \mathbf {F} +f\nabla \times \mathbf {F} }
Rotace z vektorového součinu dvou vektorových polí je
∇
×
(
F
×
G
)
=
(
G
⋅
∇
)
F
−
(
F
⋅
∇
)
G
+
F
(
∇
⋅
G
)
−
G
(
∇
⋅
F
)
{\displaystyle \nabla \times \left(\mathbf {F} \times \mathbf {G} \right)=\left(\mathbf {G} \cdot \nabla \right)\mathbf {F} -\left(\mathbf {F} \cdot \nabla \right)\mathbf {G} +\mathbf {F} \left(\nabla \cdot \mathbf {G} \right)-\mathbf {G} \left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)}
kdežto pro rotaci z rotace vektorového pole F platí
∇
×
(
∇
×
F
)
=
∇
(
∇
⋅
F
)
−
Δ
F
{\displaystyle \nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {F} \right)=\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)-\Delta \mathbf {F} }
Vyjádření v různých soustavách souřadnic [ editovat | editovat zdroj ] Je-li
F
{\displaystyle \mathbf {F} }
vektorové pole v daných souřadnicích, pak platí:
Ve válcových souřadnicích :
∇
×
F
=
(
1
r
∂
F
z
∂
φ
−
∂
F
φ
∂
z
)
r
→
+
(
∂
F
r
∂
z
−
∂
F
z
∂
r
)
φ
→
+
1
r
(
∂
(
r
F
φ
)
∂
r
−
∂
F
r
∂
φ
)
z
→
{\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} =\left({1 \over r}{\partial F_{z} \over \partial \varphi }-{\partial F_{\varphi } \over \partial z}\right){\boldsymbol {\vec {r}}}+\left({\partial F_{r} \over \partial z}-{\partial F_{z} \over \partial r}\right){\boldsymbol {\vec {\varphi }}}+{1 \over r}\left({\partial (rF_{\varphi }) \over \partial r}-{\partial F_{r} \over \partial \varphi }\right){\boldsymbol {\vec {z}}}}
Ve sférických souřadnicích :
∇
×
F
=
1
r
sin
θ
(
∂
∂
θ
(
F
φ
sin
θ
)
−
∂
F
θ
∂
φ
)
r
→
+
1
r
(
1
sin
θ
∂
F
r
∂
φ
−
∂
∂
r
(
r
F
φ
)
)
θ
→
+
1
r
(
∂
∂
r
(
r
F
θ
)
−
∂
F
r
∂
θ
)
φ
→
{\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} ={1 \over r\sin \theta }\left({\partial \over \partial \theta }(F_{\varphi }\sin \theta )-{\partial F_{\theta } \over \partial \varphi }\right){\boldsymbol {\vec {r}}}+{1 \over r}\left({1 \over \sin \theta }{\partial F_{r} \over \partial \varphi }-{\partial \over \partial r}(rF_{\varphi })\right){\boldsymbol {\vec {\theta }}}+{1 \over r}\left({\partial \over \partial r}(rF_{\theta })-{\partial F_{r} \over \partial \theta }\right){\boldsymbol {\vec {\varphi }}}}
V obecných ortogonálních souřadnicích má rotace s využitím Laméových koeficientů
h
1
{\displaystyle h_{1}}
h
2
{\displaystyle h_{2}}
h
3
{\displaystyle h_{3}}
∇
×
F
=
1
h
2
h
3
(
∂
(
h
3
F
3
)
∂
x
2
−
∂
(
h
2
F
2
)
∂
x
3
)
x
→
1
{\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} ={\frac {1}{h_{2}h_{3}}}\left({\frac {\partial \left(h_{3}F_{3}\right)}{\partial x_{2}}}-{\frac {\partial \left(h_{2}F_{2}\right)}{\partial x_{3}}}\right){\boldsymbol {\vec {x}}}_{1}}
+
1
h
1
h
3
(
∂
(
h
1
F
1
)
∂
x
3
−
∂
(
h
3
F
3
)
∂
x
1
)
x
→
2
{\displaystyle +\ \ \ \ \ {\frac {1}{h_{1}h_{3}}}\left({\frac {\partial \left(h_{1}F_{1}\right)}{\partial x_{3}}}-{\frac {\partial \left(h_{3}F_{3}\right)}{\partial x_{1}}}\right){\boldsymbol {\vec {x}}}_{2}}
+
1
h
1
h
2
(
∂
(
h
2
F
2
)
∂
x
1
−
∂
(
h
1
F
1
)
∂
x
2
)
x
→
3
{\displaystyle +\ \ \ \ \ {\frac {1}{h_{1}h_{2}}}\left({\frac {\partial \left(h_{2}F_{2}\right)}{\partial x_{1}}}-{\frac {\partial \left(h_{1}F_{1}\right)}{\partial x_{2}}}\right){\boldsymbol {\vec {x}}}_{3}}
Rotace využívá Stokesova věta , která převádí křivkový integrál vektorového pole po uzavřené křivce na plošný integrál rotace tohoto vektorového pole přes libovolnou plochu křivkou ohraničenou.
Je-li rotace vektorového pole nulová, pak se toto pole dá napsat jako gradient skalární funkce a nazývá se potenciální vektorové pole.
Rotace vystupuje v řadě fyzikálních zákonů, například v Maxwellových rovnicích .
![{\displaystyle {\nabla }\equiv \left[{\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcf3fad1d426e6f800b4e7a13c67886b141c2fd1)
