Rotace (operátor)

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Rotace je matematický operátor definovaný pro vektorové funkce n proměnných, který v každém bodě udává lokální míru rotace (otáčení) definované tímto polem. Značí se , případně (hlavně v anglické literatuře) . Je definován jako (kombinace operátoru nabla a vektorového součinu), ve třech rozměrech (pro funkci tří proměnných) jej lze zapsat ve tvaru:

Rotace využívá např. Stokesova věta, která převádí křivkový integrál vektorového pole po uzavřené křivce na plošný integrál rotace tohoto vektorového pole přes libovolnou plochu křivkou ohraničenou. Je-li rotace vektorového pole nulová, pak se toto pole dá napsat jako gradient skalární funkce (tzv. potenciálu) a nazývá se polem potenciálním.

Vlastnosti rotace[editovat | editovat zdroj]

Označíme-li F, G vektorová pole, f skalární pole, a,b reálná čísla, potom operátor rotace splňuje následující identity:

Je lineární vůči reálným číslům

.

Rotace gradientu je nulový vektor

.

Rotace z vektorového pole násobeného polem skalárním (vektoru funkcí) je

.

Rotace z vektorového součinu dvou vektorových polí je

,

kdežto pro rotaci z rotace vektorového pole F platí

.

Vyjádření v různých soustavách souřadnic[editovat | editovat zdroj]

Následující vztahy udávají vyjádření rotace v nejrůznějších souřadných soutavách v trojrozměrném prostoru. Je-li F vektorové pole v daných souřadnicích, pak platí

Ve válcových souřadnicích:

Ve sférických souřadnicích:

Používáme-li obecně ortogonální souřadnice x1,x2,x3, jejíž Laméovy koeficienty jsou po řadě h1,h2,h3

Ve zcela obecných souřadnicích (viz také Souřadnicový zápis vektorů) pro složky vektoru divergence platí

kde je Levi-Civitův pseudotenzor.

Úmluva: Zatímco v předchozím textu jsme za bázi brali ortonormální bázi v daných souřadnicích, ve vzorci v obecných souřadnicích používáme bázi vektorů nebo diferenciálních forem a explicitně vypisujeme jakou. Stejně tak v předchozím textu nerozlišujeme polohu indexů a všechny indexy (ortonormální báze i souřadnic) píšeme dole, zatímco v obecných souřadnicích polohu indexů důsledně rozlišujeme.

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]