Ortogonální souřadnice

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Ortogonální souřadnice (ortogonální soustava souřadnic, též pravoúhlá soustava souřadnic nebo pravoúhlé souřadnice) představují v matematice takový systém souřadnic, v němž jsou v každém bodě souřadné osy navzájem kolmé.

Označení pochází z latiny, kde othos znamená pravý a přípona -gonální znamená -úhlý.

Ortogonální souřadnice lze definovat jako množinu souřadnic , jejichž metrický tenzor má pouze diagonální členy, tzn. infinitezimální čtverec vzdálenosti může být zapsán jako součet čtverců infinitezimálních souřadnicových vzdáleností, tzn.

,

kde je dimenze prostoru a funkce (tzv. Laméovy koeficienty) jsou určeny diagonálními prvky metrického tenzoru .

Vektory a integrály[editovat | editovat zdroj]

Ze vztahu pro vzdálenost lze určit infinitezimální změnu ve směru souřadnice jako . Odtud lze získat diferenciál polohového vektoru jako

,

kde jsou jednotkové vektory kolmé (tedy normálové vektory) k plochám konstantních souřadnic . Tyto jednotkové vektory jsou tečné k souřadnicovým čarám a tvoří souřadnicové osy lokálního kartézkého systému souřadnic.

Vztahy pro skalární a vektorový součin mají v ortogonálním souřadném systému obvyklý tvar, tzn.

Tedy např. integrál po křivce má v ortogonálních souřadnicích tvar

,

kde je složka vektoru ve směru -tého jednotkového vektoru

Podobně lze pro infinitezimální element obsahu psát , kde , a pro infinitezimální element objemu , kde a . Např. integrál přes plochu ve třírozměrných ortogonálních souřadnicích má tvar

Diferenciální operátory ve třech rozměrech[editovat | editovat zdroj]

Gradient lze vyjádřit jako

Laplaceův operátor má tvar

Operátor divergence se zapíše jako

kde je -tá složka vektoru .

Podobně lze operátor rotace vyjádřit ve tvaru

Příklady[editovat | editovat zdroj]

Dvourozměrné ortogonální soustavy souřadnic[editovat | editovat zdroj]

Třírozměrné ortogonální soustavy souřadnic[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]