Ortonormalita

V lineární algebře, dva vektory $v$ a $w$ v prostoru s definovaným skalárním součinem $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ indukující normu $\|\cdot \|$ jsou ortonormální, pokud jsou ortogonální a mají jednotkovou délku, tedy platí:

$\langle v,w\rangle =0$ a zároveň $\|v\|=\|w\|=1$.

Báze, kde jsou všechny vektory navzájem ortonormální se nazývá ortonormální báze. Dá se najít například Gram-Schmidtovou ortogonalizací – nově vytvořený ortogonální vektor vydělíme jeho normou, čímž se změní pouze jeho délka, ne však směr.

Vlastnosti

Prostory konečné dimenze

Pokud je $B=(v_{1},\dots ,v_{n})$ ortonormální bází vektorového prostoru $V$ dimenze $n$, potom:

• $\forall u\in V:u=\sum _{i=1}^{n}\langle u,v_{i}\rangle v_{i}$ (souřadnicím vektoru $u$ se někdy říká Fourierovy koeficienty – souvislost s Fourierovou řadou).
• $\forall u,w\in V:\langle u,w\rangle =[w]_{B}^{\mathrm {H} }[u]_{B}$ (Parsevalova rovnost).

Například následující báze (tzv. kanonická) je ortonormální bází aritmetického vektorového prostoru $\mathbb {R} ^{3}$:

${\vec {i}}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\vec {j}}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},{\vec {k}}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$,

neboť každý z těchto vektorů má jednotkovou délku a všechny vzájemně různé vektory jsou na sebe kolmé, protože jejich skalární součin je roven nule.

Prostory nekonečné dimenze

Obecně unitární prostor $V$ nekonečné dimenze nazýváme ortonormálním systémem $S$ ve $V$, právě když jeho lineární obal leží hustě ve $V$. Úplný ortonormální systém $S$ má vlastnost, že pro každý prvek $u\in V$ můžeme psát Fourierův rozvoj $u=\sum _{v\in S}\langle u,v\rangle v$.

Ve smyslu tohoto, v protikladu k případu s konečnou dimenzí, není ortonormální báze žádnou bází v běžném smyslu lineární algebry. To znamená, že prvek $v$ nelze obecně zapsat jako lineární kombinaci konečného počtu vektorů báze (prvků $S$), ale jen jako sumu počitatelného nekonečného počtu prvků z $S$, tedy jako nekonečnou řadu.