Ortonormální báze

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Ortonormální báze unitárního prostoru je pojem z lineární algebry a funkcionální analýzy označující takovou bázi onoho prostoru, jež je ortogonální a jejíž prvky jsou navíc normované, tedy prvky báze jsou jednotkové a jsou na sebe kolmé.

Tento pojem je důležitý pro konečně i nekonečně rozměrné prostory a obzvláště pak pro Hilbertovy prostory.

Konečně rozměrné prostory[editovat | editovat zdroj]

Nechť je konečně rozměrný eukleidovský vektorový prostor se skalárním součinem , který indukuje normu . Pod ortonormální bází prostoru pak rozumíme bázi z s těmito vlastnostmi:

  • pro všechny .
  • pro všechny s .

Například následující množina je ortonormální bází euklidovského vektorového prostoru (spolu s přirozeně definovaným skalárním součinem).

Každý z těchto vektorů má délku 1 a všechny jsou na sebe kolmé protože jejich skalární součin je roven nule.

Základním algoritmem pro získání ortonormální báze z libovolné báze je Gramův-Schmidtův ortogonalizační proces.

Obecný případ[editovat | editovat zdroj]

V obecném případě unitárního prostoru nekonečné dimenze, nazýváme ortonormálním systémem ve takový systém, jehož lineární obal leží hustě ve .

Úplný ortonormální systém má proto tu vlastnost, že pro každý prvek můžeme psát Fourierův rozvoj:

.

Je důležité zdůraznit, že ve smyslu tohoto odstavce, v protikladu k případu s konečnou dimenzí, není ortonormální báze žádnou bází v běžném smyslu lineární algebry. To znamená, že prvek nelze obecně zapsat jako lineární kombinaci konečného počtu bázových vektorů (prvků z ), ale jen jako sumu počitatelného nekonečného počtu prvků z , tedy jako nekonečnou řadu. Jinými slovy: Lineární obal není roven prostoru , leží ale hustě v tomto prostoru.

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Reference[editovat | editovat zdroj]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Ortonormálna báza na slovenské Wikipedii.