Norma (matematika)

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Norma je funkce, která každému nenulovému vektoru přiřazuje kladné reálné číslo (tzv. délku nebo velikost), nulový vektor jako jediný má délku 0. V případě seminormy se naopak připouští, aby i nenulovým vektorům byla přiřazena nulová délka.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Nechť V je vektorový prostor nad nějakým podtělesem F tělesa komplexních čísel a p je reálná funkce definovaná na V. Funkce p je seminorma na V, jestliže je

  • pozitivně homogenní: p(a v) = |a| p(v), pro aF a vV;
  • subaditivní: p(u + v) ≤ p(u) + p(v), pro u, vV.

Z předpokladu pozitivní homogenity plyne, že p(0) = 0 a následně ze subaditivity p(v) ≥ 0, pro všechna vV.

Norma je seminorma p, která je navíc pozitivně definitní:

  • p(v) = 0 právě tehdy, když v = 0.

Pro normu se namísto p(v) zpravidla používá označení ||v||.

Příklady[editovat | editovat zdroj]

Eukleidovská norma[editovat | editovat zdroj]

Na prostoru lze definovat tzv. eukleidovskou normu vektoru x = (x1, x2, ..., xn) jako

Tato norma udává vzdálenost bodu x od počátku (což je důsledek Pythagorovy věty).

p-norma[editovat | editovat zdroj]

Nechť p > 1 je reálné číslo.

Nelze pochopit (Chyba konverze. Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hlásí: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \|{\emph {\textbf {x}}}\|_{p}:=\left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}.}

Eukleidovská norma je speciálním případem této normy (pro p = 2).

Maximová norma[editovat | editovat zdroj]

Nelze pochopit (Chyba konverze. Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hlásí: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \|{\emph {\textbf {x}}}\|_{\infty }:=\max \left(|x_{1}|,\ldots ,|x_{n}|\right).}

Norma na prostoru se skalárním součinem[editovat | editovat zdroj]

Skalární součin indukuje přirozeným způsobem normu

Pro normu indukovanou skalárním součinem platí Cauchyho–Schwarzova nerovnost

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Ilustrace jednotkových kružnic v různých normách.

Tvar jednotkové kružnice (množiny vektorů velikosti 1) se liší v různých normách (viz ilustraci).

Normy ||•||α and ||•||β na vektorovém prostoru V se nazývají ekvivalentní, jestliže existují kladná reálná čísla C a D taková, že

pro všechna xV. Na vektorovém prostoru konečné dimenze jsou všechny normy ekvivalentní. Například normy ||•||1, ||•||2 a ||•|| jsou ekvivalentní na prostoru :

Ekvivalentní normy indukují tutéž topologii. Jsou-li dány dvě ekvivalentní normy na jednom prostoru, pak je spojitost funkcí i konvergence posloupností z tohoto prostoru v obou normách stejná.

Konvexní, vyvážené, pohlcující množiny[editovat | editovat zdroj]

Seminormy jsou úzce spjaty s konvexními, vyváženými, pohlcujícími množinami. Nechť p je seminorma na vektorovém prostoru V, pak pro libovolný skalár α jsou množiny {x : p(x) < α} a {x : p(x) ≤ α} konvexní, vyvážené a pohlcující.

Obráceně, ke každé konvexní, vyvážené, pohlcující podmnožině C prostoru V existuje seminorma μC známá jako Minkowského funkcionál množiny C, definovaná

Pro tuto seminormu platí

Související články[editovat | editovat zdroj]