Cauchyho-Schwarzova nerovnost

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

V matematice je Cauchyho–Schwarzova nerovnost (též známá jako: Schwarzova, Bunjakovského, Cauchyho-Bunjakovského nebo Cauchy–Bunjakovského–Schwarzova nerovnost) užitečná nerovnost často používaná v různých odvětvích matematiky, jako je lineární algebra, analýza nebo teorie pravděpodobnosti. Bývá považována za jednu z nejdůležitějších nerovností v matematice. Má různá zobecnění, mezi nejdůležitější patří Hölderova nerovnost.

Znění[editovat | editovat zdroj]

Na unitárním prostoru se skalárním součinem platí:

.

Můžeme obě strany nerovnosti odmocnit a dostaneme ekvivalentní tvrzení:

.

Navíc, rovnost nastává právě tehdy, když jsou a lineárně závislé.

Důkaz[editovat | editovat zdroj]

Pro každé existuje takové, že:

, kde .

Za použití Pythagorovy věty dostaneme:

Z čehož plyne:

.

Což je po úpravě požadovaná nerovnost.

Pokud máme rovnost, tak nutně a tudíž: jsou lineárně závislé. ∎