Hölderova nerovnost

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Hölderova nerovnost je důležitou nerovností v matematické analýze, významnou zejména při zkoumání Lp prostorů.

Znění[editovat | editovat zdroj]

Na prostoru s mírou mějme μ-měřitelné funkce na . Dále nechť existují čísla , taková, že: . Pak platí:

.

Důležité speciální případy[editovat | editovat zdroj]

Pro následující případy předpokládejme, že a .

Aritmetická míra[editovat | editovat zdroj]

V případě -rozměrného Eukleidovského prostoru , s množinou a aritmetickou mírou dostáváme:

.

Rovnost nastává, právě když .

Lp prostory[editovat | editovat zdroj]

Pokud , tak a navíc:

Pro pak dostáváme Cauchyho–Schwarzovu nerovnost, Hölderova nerovnost je tedy jejím zobecněním.

Důkaz[editovat | editovat zdroj]

Je důsledkem Youngovy nerovnosti, která se dá formulovat i takto: Pro všechna reálná čísla r, s a platí . Rovnost nastává, právě když r=s nebo . Sečtením těchto nerovností dostaneme požadovanou Hölderovu nerovnost.