Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Hölderova nerovnost je důležitou nerovností v matematické analýze , významnou zejména při zkoumání Lp prostorů .
Na prostoru s mírou
(
X
,
Σ
,
μ
)
{\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}
mějme μ-měřitelné funkce
f
,
g
{\displaystyle f,g}
na
X
{\displaystyle X}
. Dále nechť existují čísla
1
≤
p
,
q
≤
∞
{\displaystyle 1\leq p,q\leq \infty }
, taková, že:
1
/
p
+
1
/
q
=
1
{\displaystyle 1/p+1/q=1}
. Pak platí:
‖
f
⋅
g
‖
1
≤
‖
f
‖
p
⋅
‖
g
‖
q
{\displaystyle \|f\cdot g\|_{1}\leq \|f\|_{p}\cdot \|g\|_{q}}
.
Pro následující případy předpokládejme, že
1
<
p
,
q
<
∞
{\displaystyle 1<p,q<\infty }
a
1
/
p
+
1
/
q
=
1
{\displaystyle 1/p+1/q=1}
.
V případě
n
{\displaystyle n}
-rozměrného Eukleidovského prostoru
a
k
,
b
k
∈
C
n
{\displaystyle a_{k},b_{k}\in \mathbb {C} ^{n}}
, s množinou
X
=
{
1
,
.
.
.
,
n
}
{\displaystyle X=\{1,...,n\}}
a
μ
{\displaystyle \mu }
aritmetickou mírou dostáváme:
∑
k
=
1
n
|
a
k
b
k
|
≤
(
∑
k
=
1
n
|
a
k
|
p
)
1
/
p
(
∑
k
=
1
n
|
b
k
|
q
)
1
/
q
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}|a_{k}b_{k}|\leq \left(\sum _{k=1}^{n}|a_{k}|^{p}\right)^{1/p}\left(\sum _{k=1}^{n}|b_{k}|^{q}\right)^{1/q}}
.
Rovnost nastává, právě když
|
b
k
|
=
c
|
a
k
|
p
−
1
{\displaystyle |b_{k}|=c|a_{k}|^{p-1}}
.
Pokud
f
∈
L
p
(
X
)
,
g
∈
L
q
(
X
)
{\displaystyle f\in L^{p}(X),g\in L^{q}(X)}
, tak
f
⋅
g
∈
L
1
(
X
)
{\displaystyle f\cdot g\in L^{1}(X)}
a navíc:
∫
X
|
f
⋅
g
|
d
μ
≤
(
∫
X
|
f
|
p
d
μ
)
1
/
p
⋅
(
∫
X
|
g
|
q
d
μ
)
1
/
q
{\displaystyle \int _{X}|f\cdot g|\,\mathrm {d} \mu \leq \left(\int _{X}|f|^{p}\,\mathrm {d} \mu \right)^{1/p}\cdot \left(\int _{X}|g|^{q}\,\mathrm {d} \mu \right)^{1/q}}
Pro
p
=
q
=
2
{\displaystyle p=q=2}
pak dostáváme Cauchyho–Schwarzovu nerovnost , Hölderova nerovnost je tedy jejím zobecněním.
Je důsledkem Youngovy nerovnosti , která se dá formulovat i takto:
Pro všechna reálná čísla r, s a
x
∈<
0
,
1
>
{\displaystyle x\in <0,1>}
platí
x
r
+
(
1
−
x
)
s
≥
r
x
s
1
−
x
{\displaystyle xr+(1-x)s\geq r^{x}s^{1-x}}
. Rovnost nastává, právě když r=s nebo
x
∈
{
0
,
1
}
{\displaystyle x\in \{0,1\}}
. Sečtením těchto nerovností dostaneme požadovanou Hölderovu nerovnost.