Pythagorova věta
Pythagorova věta popisuje vztah, který platí mezi délkami stran pravoúhlých trojúhelníků v euklidovské rovině. Umožňuje dopočítat délku třetí strany takového trojúhelníka, pokud jsou známy délky dvou zbývajících stran.
Věta zní: Obsah čtverce sestrojeného nad přeponou libovolného pravoúhlého trojúhelníku je roven součtu obsahů čtverců nad oběma jeho odvěsnami (dvěma kratšími stranami).
Formálně Pythagorovu větu vyjadřuje rovnice
- c² = a² + b²
kde označuje délku přepony pravoúhlého trojúhelníka a délky odvěsen jsou označeny a .
Historie[editovat | editovat zdroj]
Věta byla pojmenována podle řeckého filosofa a matematika Pythagora, jenž ji v 6. století př. n. l. objevil pro Evropu, resp. starověkou Indii. Pravděpodobně však byla známa i v jiných starověkých civilizacích dávno předtím (v Babylonii,[1] v Číně, v Egyptě).
Příklad[editovat | editovat zdroj]
Obdélníkové náměstí má délky stran 30 a 40 metrů. Kolik metrů bude měřit cesta, která povede po úhlopříčce náměstí rovně z jednoho rohu do druhého?
Řešení: Představme si jeden ze dvou trojúhelníků, na něž cesta náměstí rozdělí.
Součet čtverců délek jeho odvěsen (stran náměstí) je 30² m² + 40² m² = 900 m² + 1600 m² = 2500 m².
Toto číslo se podle Pythagorovy věty zároveň rovná čtverci přepony trojúhelníka. Stačí je tedy odmocnit, a dostaneme délku přepony. Odmocnina z 2500 m² je 50 m, a to je hledaná délka úhlopříčné cesty.
Zobecnění Pythagorovy věty[editovat | editovat zdroj]
Nahrazení čtverců jinými plošnými obrazci[editovat | editovat zdroj]

Čtverce lze ve formulaci věty zaměnit jakýmikoliv jinými obrazci (kružnicí, obdélníkem, trojúhelníkem, pětiúhelníkem) za předpokladu, že jsou si navzájem podobné a jejich šířka je úměrná délce příslušné strany trojúhelníku. Součet obsahů těchto obrazců nad odvěsnami bude opět shodný s obsahem obrazce nad přeponou.
Že to vyplývá z formulace původní věty se čtverci nad stranami trojúhelníka, si uvědomíme, když uvážíme, že obsah každého z obrazců je díky platnosti předpokladů úměrný obsahu čtverce nad danou stranou a konstanta úměrnosti k je vždy táž díky vzájemné podobnosti obrazců i čtverců.
Zobecnění na tři obecné vektory v Hilbertově prostoru[editovat | editovat zdroj]
Pythagorovu větu lze zobecnit na jakýkoliv vektorový prostor se skalárním součinem (Hilbertův prostor). Trojúhelníkem v tomto případě myslíme tři vektory a, b, c takové, že c = b - a a že a a b jsou na sebe kolmé. Pak platí podobný vztah mezi normami těchto vektorů, jako v případě rovinného trojúhelníku:
,
kde značí normu na daném vektorovém prostoru.
Z této obecnější formulace lze odvodit i původní rovinnou verzi věty. Pokud rovinu chápeme jako 2-rozměrný Euklidův prostor s obyčejným skalárním součinem a v trojúhelníku ABC s pravým úhlem u vrcholu C označíme a = B - C, b = A - C a c = A - B (= b - a), plyne původní Pythagorova formulace ze vztahu norem vektorů, uvědomíme-li si, že v tomto případě je norma vektoru pouze délka odpovídající strany.
Zobecnění na více dimenzí[editovat | editovat zdroj]
Větu lze zobecnit i na více než dvě dimenze. Například pokud umocníme délku tělesové úhlopříčky kvádru (např. cihly) na druhou, bude se toto číslo rovnat součtu čtverců délek všech tří rozměrů kvádru. Analogické vztahy platí i v euklidovských prostorech vyšších rozměrů.
Matematicky řečeno je zde čtverec délky (normy) vektoru roven součtu čtverců jeho souřadnic v libovolné ortonormální bázi. Tuto představu lze zobecnit i na prostory nekonečné dimenze.
Kosinová věta – zobecnění na jiné než pravé úhly[editovat | editovat zdroj]
Není-li úhel mezi stranami a, b pravý, je třeba jeho velikost γ zavést do vztahu v rámci dalšího sčítance:
což je formulace kosinové věty. Důkaz kosinové věty lze podat rozdělením trojúhelníka na dva pravoúhlé.
Důkazy Pythagorovy věty[editovat | editovat zdroj]
Důkazů Pythagorovy věty existuje velmi mnoho (uvádí se, že až 300). Zde je několik z nich.
Důkaz č. 1[editovat | editovat zdroj]
Jedná se o grafický důkaz. Čtverec o straně a + b lze složit dvěma způsoby (viz obrázek):
- ze 4 pravoúhlých trojúhelníků a dvou čtverců délkách stran a a b
- ze 4 pravoúhlých trojúhelníků a jednoho čtverce o straně c
Z rovnosti obsahu čtverce při obou způsobech složení pak plyne i Pythagorova věta.
Důkaz č. 2[editovat | editovat zdroj]
Jde jen o zápis Důkazu č. 1 pomocí rovnic.
Obsah celého čtverce lze vyjádřit dvěma způsoby takto (jen pravý obrázek z pohledu čtenáře):
- Strana čtverce je složena ze stran trojúhelníku i . Pro obsah tedy platí:
- Čtverec je tvořen 4 barevnými pravoúhlými trojúhelníky a bílým čtvercem se stranou uprostřed. Obsah celého čtverce je tedy součtem obsahu 4 pravoúhlých trojúhelníků () a bílého čtverce uprostřed se stranou ().
Protože se jedná vždy o tentýž velký čtverec, musí se jeho obsah spočtený oběma způsoby rovnat, a tedy
- ,
z čehož dostáváme tvrzení
- .
Důkaz č. 3[editovat | editovat zdroj]
Lze se snadno přesvědčit, že pokud jsou zeleně vyznačené úhly v obrázku dole (DCB a DAC - jenž se rovná BAC) shodné, jsou si trojúhelníky ABC, CBD a ACD navzájem podobné (velikosti jejich stran jsou ve stejném poměru, jejich úhly jsou stejně velké).
Grafická ilustrace rovnosti úhlů[editovat | editovat zdroj]
Dílčí trojúhelníky, které vzniky, když výška rozdělila pravoúhlý trojúhelník, je možno přeskupit a položit přes sebe. Protože všechny tři trojúhelníky mají stejné úhly a liší se jen velikostí, označujeme je za sobě podobné.
Z podobnosti dále vyplývá, že poměry jejich stran musejí být shodné. Z tohoto faktu vyšel i Pythagoras. Výpočet na sousedním obrázku ukazuje, jak jednoduchou úpravou dostáváme Pythagorovu větu.
Pythagorovu větu lze také dokázat důkazem kosinové věty, jelikož je Pythagorova věta jejím speciálním případem, a pokud tedy platí veta kosinová, platí i Pythagorova.
Algebraický důkaz podobnosti trojúhelníků[editovat | editovat zdroj]
Součet úhlů trojúhelníka musí být 180°. Když je v každém z těchto tří trojúhelníků, jeden úhel pravý (má 90°), tak to znamená, že součet zbývajících dvou úhlů musí být 90°. V dílčích trojúhelnících známe vždy dva úhly, proto dopočítat třetí není problém
Platí tedy:
- BAC + ACB(90°) + CBA(CBD) = 180°
- CBD + BDC(90°) + DCB = 180°
- DAC + ACD + CDA(90°) = 180°
z toho vyplývá, že:
- BAC(DAC) + CBA(CBD) = 90°
- CBD + DCB = 90°
- DAC(DAC) + ACD = 90°
Z 1. a 3. rovnice vyplývá (BAC a DAC jsou si rovny!), že CBA(CBD) = ACD.
Pokud CBA (stejný jako CBD) dosadíme do 3. rovnice místo ACD, ze srovnání s 2. rovnicí
2. CBD + DCB = 90°
3. DAC + CBA (ACD, CBD) = 90°
pak jasně vyplývá, že:
DCB = DAC
Trojúhelníky si jsou podobné. QED
Pythagorejská čísla[editovat | editovat zdroj]
Pythagorejská čísla tvoří trojice přirozených čísel takových, že platí . Jsou to tedy přirozená čísla vyhovující Pythagorově větě. Pythagorejská čísla jsou např. 3, 4 a 5. Pythagorejská čísla lze vytvořit podle následující věty:
Čísla , vyjádřená ve tvaru pro nějaká přirozená čísla s vlastností jsou pythagorejská.
Pro dostaneme trojici .
Pro dostaneme trojici .
Jak je na první pohled zřejmé z výsledků pro první a druhý příklad, jedná se vícenásobek (v uvedeném případě dvojnásobek) vypočtených hodnot, a tudíž jde o podobné trojúhelníky, a proto uvedený způsob generování pythagorejských čísel není dokonalý. Navíc některé existující kombinace nejdou tímto způsobem vůbec vygenerovat.
Odkazy[editovat | editovat zdroj]
Reference[editovat | editovat zdroj]
- ↑ http://phys.org/news/2016-04-year-journey-classroom.html - A 3,800-year journey from classroom to classroom
Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]
Obrázky, zvuky či videa k tématu Pythagorova věta na Wikimedia Commons
- Martin Vinkler: Pythagorova věta, Eukleidovy věty, online