Kosinová věta

Trojúhelník ABC

V trigonometrii je kosinová věta tvrzení o rovinných trojúhelnících, které umožňuje spočítat úhel v trojúhelníku na základě znalosti délek všech jeho tří stran.

Pro každý trojúhelník $ABC$ s vnitřními úhly $\alpha ,\beta ,\gamma$ a stranami $a,b,c$ platí:

${\begin{aligned}a^{2}&=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot \cos \alpha \\b^{2}&=c^{2}+a^{2}-2ca\cdot \cos \beta \\c^{2}&=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot \cos \gamma \end{aligned}}$

Speciálním případem kosinové věty pro pravoúhlý trojúhelník (tj. úhel γ pravý) je Pythagorova věta: pak $\cos \gamma =0$ a tudíž $c^{2}=a^{2}+b^{2}$.

Větu lze mimo jiné použít k určení délky strany trojúhelníku v případě, že jsou dány délky obou zbývajících stran trojúhelníku včetně úhlu, který svírají.

Důkaz

Tvrzení kosinové věty lze snadno dokázat pomocí skalárního součinu.

Elementární důkaz se opírá o Pythagorovu větu a goniometrické funkce sinus a kosinus. Výpočet strany $a$ trojúhelníku $ABC$ je vhodné rozdělit podle velikosti daného úhlu $\alpha$ (ostrý, pravý a tupý):

• Je-li $\alpha$ ostrý a bod $P$ patou výšky $v_{c}$, pak bod $P$ náleží straně $c$ (pokud ne, prohodíme označení bodů $B$ a $C$). Vzdálenost paty $P$ od bodu $A$ označíme $u$. Pak podle Pythagorovy věty je

$a^{2}=v_{c}^{2}+(c-u)^{2}$.

Protože dále platí, že $u=b\cos \alpha$ a $v_{c}=b\sin \alpha$, lze psát

$a^{2}=(b\cdot \sin \alpha )^{2}+(c-b\cdot \cos \alpha )^{2}$

$a^{2}=b^{2}\cdot \sin ^{2}\alpha +c^{2}-2bc\cdot \cos \alpha +b^{2}\cdot \cos ^{2}\alpha$

$a^{2}=b^{2}(\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha )+c^{2}-2bc\cdot \cos \alpha$

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot \cos \alpha$

• Je-li $\alpha$ pravý, pak podle Pythagorovy věty je

$a^{2}=b^{2}+c^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot \cos \alpha$

Protože je $\alpha =\pi /2$, je $\cos \alpha =0$, a pak

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-0$, pak tedy

$a^{2}=b^{2}+c^{2}$

• Je-li $\alpha$ tupý a bod $P$ patou výšky $v_{c}$, pak bod $P$ leží mimo $c$. Vzdálenost paty $P$ od bodu $A$ označíme $u$. Pak podle Pythagorovy věty je

$a^{2}=v_{c}^{2}+(c+u)^{2}$.

Protože dále platí, že $u=b\cos(\pi -\alpha )$ a $v_{c}=b\sin(\pi -\alpha )$ a dále $\cos(\pi -\alpha )=-\cos \alpha$ a $\sin(\pi -\alpha )=\sin \alpha$ lze psát

$a^{2}=(b\cdot \sin \alpha )^{2}+(-b\cdot \cos \alpha +c)^{2}$.

Což je totéž, jako v případě, že je úhel $\alpha$ ostrý a tedy

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot \cos \alpha$.

Kosinová věta ve sférickém trojúhelníku

Ve sférickém trojúhelníku platí kosinová věta v této podobě:

${\begin{aligned}\cos a&=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos \alpha \\\cos b&=\cos a\cos c+\sin a\sin c\cos \beta \\\cos c&=\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos \gamma \end{aligned}}$

Ortodroma

Tato podoba sférické kosinové věty se užívá v matematickém zeměpisu pro výpočet délky ortodromy („vzdušné“ vzdálenosti dvou míst na zemském povrchu):

${\begin{aligned}\cos e&=\cos(90^{\circ }-\phi _{1})\cos(90^{\circ }-\phi _{2})+\sin(90^{\circ }-\phi _{1})\sin(90^{\circ }-\phi _{2})\cos \Delta \lambda \\&=\sin \phi _{1}\sin \phi _{2}+\cos \phi _{1}\cos \phi _{2}\cos \Delta \lambda \end{aligned}}$

kde

• $\phi _{1},\phi _{2}$ jsou zeměpisné šířky poměřovaných míst
• $\Delta \lambda$ je rozdíl zeměpisných délek poměřovaných míst
• $e$ je ortodroma jako úhel svíraný poměrovanými místy se středem Země

Délku ortodromy pak lze vypočíst jako $d=e\cdot r$, je-li e v úhlové míře, resp. $d={\frac {2\pi e}{360}}\cdot r$, je-li $e$ ve stupních.

Související články

• Kosinus
• Sinová věta
• Tangentová věta
• Pythagorova věta
• Goniometrie
• Sférická trigonometrie#Kosinová pravidla

Portály: Matematika