Kosinová věta

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání
Trojúhelník ABC

V trigonometrii je kosinová věta tvrzení o rovinných trojúhelnících, které umožňuje spočítat úhel v trojúhelníku na základě znalosti délek všech jeho tří stran.

Pro každý trojúhelník s vnitřními úhly a stranami platí:

Speciálním případem kosinové věty pro pravoúhlý trojúhelník (tj. úhel γ pravý) je Pythagorova věta: pak a tudíž .

Větu lze mimo jiné použít k určení délky strany trojúhelníku v případě, že jsou dány délky obou zbývajících stran trojúhelníku včetně úhlu, který svírají.

Důkaz[editovat | editovat zdroj]

Tvrzení kosinové věty lze snadno dokázat pomocí skalárního součinu.

Elementární důkaz se opírá o Pythagorovu větu a goniometrické funkce sinus a kosinus. Výpočet strany trojúhelníku je vhodné rozdělit podle velikosti daného úhlu (ostrý, pravý a tupý):

  • Je-li ostrý a bod patou výšky , pak bod náleží straně (pokud ne, prohodíme označení bodů a ). Vzdálenost paty od bodu označíme . Pak podle Pythagorovy věty je
.
Protože dále platí, že a , lze psát
  • Je-li pravý, pak podle Pythagorovy věty je
Protože je , je , a pak
, pak tedy
  • Je-li tupý a bod patou výšky , pak bod leží mimo . Vzdálenost paty od bodu označíme . Pak podle Pythagorovy věty je
.
Protože dále platí, že a a dále a lze psát
.
Což je totéž, jako v případě, že je úhel ostrý a tedy
.

Kosinová věta ve sférickém trojúhelníku[editovat | editovat zdroj]

Ve sférickém trojúhelníku platí kosinová věta v této podobě:

Ortodroma

Tato podoba sférické kosinové věty se užívá v matematickém zeměpisu pro výpočet délky ortodromy („vzdušné“ vzdálenosti dvou míst na zemském povrchu):

kde

  • jsou zeměpisné šířky poměřovaných míst
  • je rozdíl zeměpisných délek poměřovaných míst
  • je ortodroma jako úhel svíraný poměrovanými místy se středem Země

Délku ortodromy pak lze vypočíst jako , je-li e v úhlové míře, resp. , je-li ve stupních.

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]