Kosinová věta

Tento článek potřebuje úpravy.

Můžete Wikipedii pomoci tím, že ho vylepšíte. Jak by měly články vypadat, popisují stránky Vzhled a styl, Encyklopedický styl a Odkazy.

Trojúhelník ABC

V trigonometrii je kosinová věta tvrzení o rovinných trojúhelnících, které umožňuje spočítat úhel v trojúhelníku na základě znalosti všech jeho tří stran.

Pro každý trojúhelník ABC s vnitřními úhly α, β, γ a stranami a, b, c platí:

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot \cos \alpha$$a^2 = b^2 + c^2 - 2 b c \cdot \cos \alpha$

$b^{2}=c^{2}+a^{2}-2ca\cdot \cos \beta$$b^2 = c^2 + a^2 - 2 c a \cdot \cos \beta$

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot \cos \gamma$$c^2 = a^2 + b^2 - 2 a b \cdot \cos \gamma$

Speciálním případem kosinové věty je Pythagorova věta: pokud je úhel γ pravý, pak $\cos \gamma =0$$\cos \gamma = 0$ a tudíž $c^{2}=a^{2}+b^{2}$$c^2 = a^2 + b^2$.

Větu lze mimo jiné použít v případě, že máme dány dvě strany trojúhelníku, úhel, který svírají, a chceme zjistit délku zbývající strany.

Důkaz

Důkaz vzorce pro zjištění strany a trojúhelníku ABC je vhodné rozdělit podle velikosti daného úhlu α (ostrý, pravý a tupý).

• Je-li α ostrý a bod P patou výšky v_c, pak bod P náleží straně c (pokud ne, prohodíme označení bodů B a C). Vzdálenost paty P od bodu A označíme u. Pak podle Pythagorovy věty je

$a^{2}=v_{c}^{2}+(c-u)^{2}$$a^2 = v_c^2 + (c-u)^2$.

Protože dále platí, že $u=b\cos \alpha$$u = b \cos \alpha$ a $v_{c}=b\sin \alpha$$v_c = b \sin \alpha$, lze psát

$a^{2}=(b\cdot \sin \alpha )^{2}+(c-b\cdot \cos \alpha )^{2}$$a^2 = (b \cdot \sin \alpha)^2 + (c - b \cdot \cos \alpha)^2$

$a^{2}=b^{2}\cdot \sin ^{2}\alpha +c^{2}-2bc\cdot \cos \alpha +b^{2}\cdot \cos ^{2}\alpha$$a^2 = b^2 \cdot \sin^2 \alpha + c^2 - 2bc \cdot \cos \alpha + b^2 \cdot \cos^2 \alpha$

$a^{2}=b^{2}(\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha )+c^{2}-2bc\cdot \cos \alpha$$a^2 = b^2 (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + c^2 - 2bc \cdot \cos \alpha$

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot \cos \alpha$$a^2 = b^2 + c^2 - 2 b c \cdot \cos \alpha$

• Je-li α pravý, pak podle pythagorovy věty je

$\ a^{2}=b^{2}+c^{2}$$\ a^2 = b^2 + c^2$.

Protože je α = π/2, je $\cos \alpha =0$$\cos \alpha = 0$, a pak

$a^{2}=b^{2}+c^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot \cos \alpha$$a^2 = b^2 + c^2 = b^2 + c^2 - 2 b c \cdot \cos \alpha$

• Je-li α tupý a bod P patou výšky v_c, pak bod P leží mimo c. Vzdálenost paty P od bodu A označíme u. Pak podle Pythagorovy věty je

$a^{2}=v_{c}^{2}+(c+u)^{2}$$a^2 = v_c^2 + (c+u)^2$.

Protože dále platí, že $u=b\cos(\pi -\alpha )$$u = b \cos (\pi - \alpha)$ a $v_{c}=b\sin(\pi -\alpha )$$v_c = b \sin (\pi - \alpha)$ a dále $\cos(\pi -\alpha )=-\cos \alpha$$\cos (\pi - \alpha) = -\cos \alpha$ a $\sin(\pi -\alpha )=\sin \alpha$$\sin (\pi - \alpha) = \sin \alpha$ lze psát

$a^{2}=(b\cdot \sin \alpha )^{2}+(-b\cdot \cos \alpha +c)^{2}$$a^2 = (b \cdot \sin \alpha)^2 + (- b \cdot \cos \alpha + c)^2$.

Což je totéž, jako v případě, že je úhel α ostrý a tedy

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot \cos \alpha$$a^2 = b^2 + c^2 - 2 b c \cdot \cos \alpha$.

Související články

• Kosinus
• Sinová věta
• Tangentová věta
• Pythagorova věta
• Goniometrie