Kosinová věta

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Trojúhelník ABC

V trigonometrii je kosinová věta tvrzení o rovinných trojúhelnících, které umožňuje spočítat úhel v trojúhelníku na základě znalosti všech jeho tří stran.

Pro každý trojúhelník ABC s vnitřními úhly α, β, γ a stranami a, b, c platí:

Speciálním případem kosinové věty je Pythagorova věta: pokud je úhel γ pravý, pak a tudíž .

Větu lze mimo jiné použít v případě, že máme dány dvě strany trojúhelníku, úhel, který svírají, a chceme zjistit délku zbývající strany.

Důkaz[editovat | editovat zdroj]

Důkaz vzorce pro zjištění strany a trojúhelníku ABC je vhodné rozdělit podle velikosti daného úhlu α (ostrý, pravý a tupý).

  • Je-li α ostrý a bod P patou výšky vc, pak bod P náleží straně c (pokud ne, prohodíme označení bodů B a C). Vzdálenost paty P od bodu A označíme u. Pak podle Pythagorovy věty je
.
Protože dále platí, že a , lze psát
  • Je-li α pravý, pak podle pythagorovy věty je
.
Protože je α = π/2, je , a pak
  • Je-li α tupý a bod P patou výšky vc, pak bod P leží mimo c. Vzdálenost paty P od bodu A označíme u. Pak podle Pythagorovy věty je
.
Protože dále platí, že a a dále a lze psát
.
Což je totéž, jako v případě, že je úhel α ostrý a tedy
.

Související články[editovat | editovat zdroj]