Kosinová věta

Trojúhelník ABC

V trigonometrii je kosinová věta tvrzení o rovinných trojúhelnících, které umožňuje spočítat úhel v trojúhelníku na základě znalosti všech jeho tří stran.

Pro každý trojúhelník ABC s vnitřními úhly α, β, γ a stranami a, b, c platí:

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot \cos \alpha$

$b^{2}=c^{2}+a^{2}-2ca\cdot \cos \beta$

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot \cos \gamma$

Speciálním případem kosinové věty je Pythagorova věta: pokud je úhel γ pravý, pak $\cos \gamma =0$ a tudíž $c^{2}=a^{2}+b^{2}$.

Větu lze mimo jiné použít v případě, že jsou dány dvě strany trojúhelníku, úhel, který svírají, a chceme zjistit délku zbývající strany.

Důkaz

Tvrzení kosinové věty lze snadno dokázat pomocí skálárního součinu.

Elementární důkaz se opírá o Pythagorovu větu a goniometrické funkce sinus a kosinus. Výpočet strany a trojúhelníku ABC je vhodné rozdělit podle velikosti daného úhlu α (ostrý, pravý a tupý):

• Je-li α ostrý a bod P patou výšky v_c, pak bod P náleží straně c (pokud ne, prohodíme označení bodů B a C). Vzdálenost paty P od bodu A označíme u. Pak podle Pythagorovy věty je

$a^{2}=v_{c}^{2}+(c-u)^{2}$.

Protože dále platí, že $u=b\cos \alpha$ a $v_{c}=b\sin \alpha$, lze psát

$a^{2}=(b\cdot \sin \alpha )^{2}+(c-b\cdot \cos \alpha )^{2}$

$a^{2}=b^{2}\cdot \sin ^{2}\alpha +c^{2}-2bc\cdot \cos \alpha +b^{2}\cdot \cos ^{2}\alpha$

$a^{2}=b^{2}(\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha )+c^{2}-2bc\cdot \cos \alpha$

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot \cos \alpha$

• Je-li α pravý, pak podle Pythagorovy věty je

$a^{2}=b^{2}+c^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot \cos \alpha$

Protože je α = π/2, je $\cos \alpha =0$, a pak

$\ a^{2}=b^{2}+c^{2}$- 0 , pak tedy

$\ a^{2}=b^{2}+c^{2}$

• Je-li α tupý a bod P patou výšky v_c, pak bod P leží mimo c. Vzdálenost paty P od bodu A označíme u. Pak podle Pythagorovy věty je

$a^{2}=v_{c}^{2}+(c+u)^{2}$.

Protože dále platí, že $u=b\cos(\pi -\alpha )$ a $v_{c}=b\sin(\pi -\alpha )$ a dále $\cos(\pi -\alpha )=-\cos \alpha$ a $\sin(\pi -\alpha )=\sin \alpha$ lze psát

$a^{2}=(b\cdot \sin \alpha )^{2}+(-b\cdot \cos \alpha +c)^{2}$.

Což je totéž, jako v případě, že je úhel α ostrý a tedy

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot \cos \alpha$.

Související články

• Kosinus
• Sinová věta
• Tangentová věta
• Pythagorova věta
• Goniometrie

Portály: Matematika