V trigonometrii je kosinová věta tvrzení o rovinných trojúhelnících , které umožňuje spočítat úhel v trojúhelníku na základě znalosti délek všech jeho tří stran.
Pro každý rovinný trojúhelník
A
B
C
{\displaystyle ABC}
s vnitřními úhly
α
,
β
,
γ
{\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }
a stranami
a
,
b
,
c
{\displaystyle a,b,c}
platí:
a
2
=
b
2
+
c
2
−
2
b
c
⋅
cos
α
b
2
=
c
2
+
a
2
−
2
c
a
⋅
cos
β
c
2
=
a
2
+
b
2
−
2
a
b
⋅
cos
γ
{\displaystyle {\begin{aligned}a^{2}&=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot \cos \alpha \\b^{2}&=c^{2}+a^{2}-2ca\cdot \cos \beta \\c^{2}&=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot \cos \gamma \end{aligned}}}
Speciálním případem kosinové věty pro pravoúhlý trojúhelník (tj. úhel γ pravý) je Pythagorova věta : pak
cos
γ
=
0
{\displaystyle \cos \gamma =0}
a tudíž
c
2
=
a
2
+
b
2
{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}}
.
Větu lze mimo jiné použít k určení délky strany trojúhelníku v případě, že jsou dány délky obou zbývajících stran trojúhelníku včetně úhlu, který svírají. Nebo k výpočtu vnitřních úhlů trojúhelníku, jestliže jsou známy délky stran
a
,
b
,
c
{\displaystyle a,b,c}
Tvrzení kosinové věty lze snadno dokázat pomocí skalárního součinu .
Elementární důkaz se opírá o Pythagorovu větu a goniometrické funkce sinus a kosinus. Výpočet strany
a
{\displaystyle a}
trojúhelníku
A
B
C
{\displaystyle ABC}
je vhodné rozdělit podle velikosti daného úhlu
α
{\displaystyle \alpha }
(ostrý, pravý a tupý):
Je-li
α
{\displaystyle \alpha }
ostrý a bod
P
{\displaystyle P}
patou výšky
v
c
{\displaystyle v_{c}}
, pak bod
P
{\displaystyle P}
náleží straně
c
{\displaystyle c}
(pokud ne, prohodíme označení bodů
B
{\displaystyle B}
a
C
{\displaystyle C}
). Vzdálenost paty
P
{\displaystyle P}
od bodu
A
{\displaystyle A}
označíme
u
{\displaystyle u}
. Pak podle Pythagorovy věty je
a
2
=
v
c
2
+
(
c
−
u
)
2
{\displaystyle a^{2}=v_{c}^{2}+(c-u)^{2}}
.
Protože dále platí, že
u
=
b
cos
α
{\displaystyle u=b\cos \alpha }
a
v
c
=
b
sin
α
{\displaystyle v_{c}=b\sin \alpha }
, lze psát
a
2
=
(
b
⋅
sin
α
)
2
+
(
c
−
b
⋅
cos
α
)
2
{\displaystyle a^{2}=(b\cdot \sin \alpha )^{2}+(c-b\cdot \cos \alpha )^{2}}
a
2
=
b
2
⋅
sin
2
α
+
c
2
−
2
b
c
⋅
cos
α
+
b
2
⋅
cos
2
α
{\displaystyle a^{2}=b^{2}\cdot \sin ^{2}\alpha +c^{2}-2bc\cdot \cos \alpha +b^{2}\cdot \cos ^{2}\alpha }
a
2
=
b
2
(
sin
2
α
+
cos
2
α
)
+
c
2
−
2
b
c
⋅
cos
α
{\displaystyle a^{2}=b^{2}(\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha )+c^{2}-2bc\cdot \cos \alpha }
a
2
=
b
2
+
c
2
−
2
b
c
⋅
cos
α
{\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot \cos \alpha }
Je-li
α
{\displaystyle \alpha }
pravý, pak podle Pythagorovy věty je
a
2
=
b
2
+
c
2
=
b
2
+
c
2
−
2
b
c
⋅
cos
α
{\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot \cos \alpha }
Protože je
α
=
π
/
2
{\displaystyle \alpha =\pi /2}
, je
cos
α
=
0
{\displaystyle \cos \alpha =0}
, a pak
a
2
=
b
2
+
c
2
−
0
{\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-0}
, pak tedy
a
2
=
b
2
+
c
2
{\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}}
Je-li
α
{\displaystyle \alpha }
tupý a bod
P
{\displaystyle P}
patou výšky
v
c
{\displaystyle v_{c}}
, pak bod
P
{\displaystyle P}
leží mimo
c
{\displaystyle c}
. Vzdálenost paty
P
{\displaystyle P}
od bodu
A
{\displaystyle A}
označíme
u
{\displaystyle u}
. Pak podle Pythagorovy věty je
a
2
=
v
c
2
+
(
c
+
u
)
2
{\displaystyle a^{2}=v_{c}^{2}+(c+u)^{2}}
.
Protože dále platí, že
u
=
b
cos
(
π
−
α
)
{\displaystyle u=b\cos(\pi -\alpha )}
a
v
c
=
b
sin
(
π
−
α
)
{\displaystyle v_{c}=b\sin(\pi -\alpha )}
a dále
cos
(
π
−
α
)
=
−
cos
α
{\displaystyle \cos(\pi -\alpha )=-\cos \alpha }
a
sin
(
π
−
α
)
=
sin
α
{\displaystyle \sin(\pi -\alpha )=\sin \alpha }
lze psát
a
2
=
(
b
⋅
sin
α
)
2
+
(
−
b
⋅
cos
α
+
c
)
2
{\displaystyle a^{2}=(b\cdot \sin \alpha )^{2}+(-b\cdot \cos \alpha +c)^{2}}
.
Což je totéž, jako v případě, že je úhel
α
{\displaystyle \alpha }
ostrý a tedy
a
2
=
b
2
+
c
2
−
2
b
c
⋅
cos
α
{\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot \cos \alpha }
.
Ve sférickém trojúhelníku platí kosinová věta v této podobě:
cos
a
=
cos
b
cos
c
+
sin
b
sin
c
cos
α
cos
b
=
cos
a
cos
c
+
sin
a
sin
c
cos
β
cos
c
=
cos
a
cos
b
+
sin
a
sin
b
cos
γ
{\displaystyle {\begin{aligned}\cos a&=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos \alpha \\\cos b&=\cos a\cos c+\sin a\sin c\cos \beta \\\cos c&=\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos \gamma \end{aligned}}}
Tato podoba sférické kosinové věty se užívá v matematickém zeměpisu pro výpočet délky ortodromy („vzdušné“ vzdálenosti dvou míst na zemském povrchu):
cos
e
=
cos
(
90
∘
−
ϕ
1
)
cos
(
90
∘
−
ϕ
2
)
+
sin
(
90
∘
−
ϕ
1
)
sin
(
90
∘
−
ϕ
2
)
cos
Δ
λ
=
sin
ϕ
1
sin
ϕ
2
+
cos
ϕ
1
cos
ϕ
2
cos
Δ
λ
{\displaystyle {\begin{aligned}\cos e&=\cos(90^{\circ }-\phi _{1})\cos(90^{\circ }-\phi _{2})+\sin(90^{\circ }-\phi _{1})\sin(90^{\circ }-\phi _{2})\cos \Delta \lambda \\&=\sin \phi _{1}\sin \phi _{2}+\cos \phi _{1}\cos \phi _{2}\cos \Delta \lambda \end{aligned}}}
kde
ϕ
1
,
ϕ
2
{\displaystyle \phi _{1},\phi _{2}}
jsou zeměpisné šířky poměřovaných míst
Δ
λ
{\displaystyle \Delta \lambda }
je rozdíl zeměpisných délek poměřovaných míst
e
{\displaystyle e}
je ortodroma jako úhel svíraný poměrovanými místy se středem Země
Délku ortodromy pak lze vypočíst jako
d
=
e
⋅
r
{\displaystyle d=e\cdot r}
, je-li e v úhlové míře, resp.
d
=
2
π
e
360
⋅
r
{\displaystyle d={\frac {2\pi e}{360}}\cdot r}
, je-li
e
{\displaystyle e}
ve stupních.