Sinová věta

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Trojúhelník ABC

trigonometrii je sinová věta důležité tvrzení o rovinných trojúhelnících. Nejčastěji zní takto:

Pro každý trojúhelník ABC s vnitřními úhly α, β, γ a stranami a, b, c platí:

.

Neboli: „Poměr všech délek stran a hodnot sinů jim protilehlých úhlů je v trojúhelníku konstantní.“


Větu lze ovšem zformulovat také takto:

, či takto: , nebo takto: ,

s významem: „Poměr délek stran trojúhelníku se rovná poměru sinů velikostí jim protilehlých úhlů.“

Věta se používá zejména v následujících dvou případech:

  • Máme dány dva úhly trojúhelníku a délku jedné jeho strany a chceme dopočítat velikosti zbývajících stran. To je typická úloha při triangulaci.
  • Známe délky dvou stran trojúhelníku a velikost vnitřního úhlu který nesvírají, a chceme zjistit zbývající úhly. V tomto případě se ovšem stává, že nám věta poskytne dvojici řešení, z nichž však pouze jedno dává součet úhlů 180° a tedy umožní sestavit trojúhelník.

Důkaz věty[editovat | editovat zdroj]

Mějme trojúhelník ABC. Bod P je pata výšky vc. Pak

a zároveň

.

Pak tedy

,

což je totéž jako

.

Ostatní rovnosti lze získat cyklickou záměnou stran.

Průměr kružnice opsané trojúhelníku[editovat | editovat zdroj]

Konstantní poměr délek stran a jim protilehlých úhlů je zároveň průměrem kružnice danému trojúhelníku opsané. Tedy:

z čehož lze odvodit také její poloměr

Související články[editovat | editovat zdroj]