Sinová věta

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Trojúhelník ABC

trigonometrii je sinová věta důležité tvrzení o rovinných trojúhelnících. Nejčastěji zní takto:

Pro každý trojúhelník ABC s vnitřními úhly α, β, γ a stranami a, b, c platí:

\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}.

Neboli: „Poměr všech délek stran a hodnot sinů jim protilehlých úhlů je v trojúhelníku konstantní.“


Větu lze ovšem zformulovat také takto:

\frac{a}{b} = \frac{\sin \alpha}{\sin \beta} , či takto: \frac{b}{c} = \frac{\sin \beta}{\sin \gamma} , nebo takto: \frac{c}{a} = \frac{\sin \gamma}{\sin \alpha},

s významem: „Poměr délek stran trojúhelníku se rovná poměru sinů velikostí jim protilehlých úhlů.“

Věta se používá zejména v následujících dvou případech:

  • Máme dány dva úhly trojúhelníku a délku jedné jeho strany a chceme dopočítat velikosti zbývajících stran. To je typická úloha při triangulaci.
  • Známe délky dvou stran trojúhelníku a velikost vnitřního úhlu který nesvírají, a chceme zjistit zbývající úhly. V tomto případě se ovšem stává, že nám věta poskytne dvojici řešení, z nichž však pouze jedno dává součet úhlů 180° a tedy umožní sestavit trojúhelník.

Důkaz věty[editovat | editovat zdroj]

Mějme trojúhelník ABC. Bod P je pata výšky vc. Pak

\left|CP\right| = \left|AC\right|\cdot \sin \alpha = b \cdot \sin \alpha

a zároveň

\left|CP\right| = \left|BC\right|\cdot \sin \beta = a \cdot \sin \beta.

Pak tedy

a \cdot \sin \beta = b \cdot \sin \alpha,

což je totéž jako

\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta}.

Ostatní rovnosti lze získat cyklickou záměnou stran.

Čtverec

Jsou tedy 2pravoúhlé trojúhelníky nebo 4 pravoúhlé trojúhelníky s průmětem dvou mi uhlopříček sin(90) = 1  = sin(45)/sin(45)

tedy poloměr stran = 4:4 =1:1 a*a z toho lze vyvodit vzorec pro výpočet obsahu čtverce

S=a^2

Průměr kružnice opsané trojúhelníku[editovat | editovat zdroj]

Konstantní poměr délek stran a jim protilehlých úhlů je zároveň průměrem kružnice danému trojúhelníku opsané. Tedy:

\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = d

z čehož lze odvodit také její poloměr

\frac{a}{2\cdot\sin \alpha} = \frac{b}{2\cdot\sin \beta} = \frac{c}{2\cdot\sin \gamma} = r

Související články[editovat | editovat zdroj]