Podobnost (geometrie)
Podobnost je geometrické zobrazení jednoho geometrického útvaru na jiný útvar se stejným tvarem.
Dva geometrické útvary v Euklidově prostoru jsou si podobné, pokud oba mají stejný tvar. Přesněji řečeno, jeden je shodný s útvarem, získaným jako výsledek rovnoměrného zmenšení či zvětšení druhého a jeho případné rotace, posunutí a zrcadlení.
Poměr vzdálenosti dvou bodů daného geometrického útvaru a vzdálenosti odpovídajících dvou bodů jiného geometrického útvaru (referenčního) je u podobných útvarů shodný pro každou takovou dvojici bodů a nazývá se koeficient podobnosti. Podobnost zachovává velikost úhlů a poměr délek.
Podobnost je speciálním případem afinního zobrazení. Speciálním případem podobnosti, je-li koeficient podobnosti roven 1, je shodnost.
Příkladem podobného zobrazení je stejnolehlost.
Podobnost v rovině[editovat | editovat zdroj]
Pro rovinné útvary z toho vyplývá, že odpovídající hrany podobných mnohoúhelníků jsou ve vzájemném poměru a odpovídající úhly si jsou rovny.
Například všechny kružnice, čtverce a rovnostranné trojúhelníky si jsou podobné. Naopak elipsy si podobné být nemusí, stejně tak jako hyperboly.
Zpravidla se za speciální případ podobnosti považuje i shodnost, tedy podobnost s koeficientem podobnosti 1. Všechny shodné tvary jsou tedy zároveň podobné. (Některé učebnice výslovně vydělují shodné trojúhelníky z definice podobných trojúhelníků, takže musí být rozdílné nejen tvary, ale i jejich velikosti, aby se daly považovat za podobné.)
Podobné trojúhelníky[editovat | editovat zdroj]
Podobné trojúhelníky jsou ty, které mají stejný tvar, ale jinou velikost. Tvar trojúhelníku je definován jeho úhly, takže dva trojúhelníky se dvěma stejnými úhly jsou podobné.
Formálně řečeno, dva trojúhelníky a jsou podobné, pokud nějaká z následujících podmínek platí:
1. Odpovídající strany mají délky ve stejném poměru, takže platí . Toto je to samé jako říci, že jeden trojúhelník je zvětšení druhého.
2. je roven , a je roven . Toto také znamená, že je roven .
Když jsou dva trojúhelníky a podobné, píšeme
Podobné mnohoúhelníky[editovat | editovat zdroj]
Tuto myšlenku je možné rozšířit na mnohoúhelníky s více stranami. U jakýchkoli dvou podobných mnohoúhelníků si jsou odpovídající strany přímo úměrné. Nicméně pouze úměrnost stran není dostatečná k zajištění podobnosti mnohoúhelníků kromě trojúhelníků, takže odpovídající úhly rovněž musí být shodné.
Věty o podobnosti trojúhelníků[editovat | editovat zdroj]
Jsou-li trojúhelníky podobné, nám pomohou zjistit následující věty:
Věta sss - Každé dva trojúhelníky, které mají sobě rovné poměry délek všech tří dvojic odpovídajících stran, jsou si podobné.
Věta sus - Každé dva trojúhelníky, které mají sobě rovné poměry délek dvou odpovídajících stran a shodují se v úhlu jimi sevřeném, jsou si podobné.
Věta usu - Každé dva trojúhelníky, které mají dva úhly stejné, si jsou podobné.
Věta ssu - Každé dva trojúhelníky, které mají sobě rovné poměry délek dvou odpovídajících stran a shodují se v úhlu naproti větší straně, jsou si podobné.
Odkazy[editovat | editovat zdroj]
Reference[editovat | editovat zdroj]
V tomto článku byl použit překlad textu z článku Similarity (geometry) na anglické Wikipedii.
Související články[editovat | editovat zdroj]
Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]
Obrázky, zvuky či videa k tématu podobnost na Wikimedia Commons
Slovníkové heslo podobnost ve Wikislovníku
Encyklopedické heslo Podobnost v Ottově slovníku naučném ve Wikizdrojích