Podobnost (geometrie)

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Tvary se stejnou barvou si jsou podobné

Podobnost je geometrické zobrazení jednoho geometrického útvaru na jiný útvar se stejným tvarem.

Dva geometrické útvary v Euklidově prostoru jsou si podobné, pokud oba mají stejný tvar. Přesněji řečeno, jeden je shodný s útvarem, získaným jako výsledek rovnoměrného zmenšení či zvětšení druhého a jeho případné rotace, posunutí a zrcadlení.

Poměr vzdálenosti dvou bodů daného geometrického útvaru a vzdálenosti odpovídajících dvou bodů jiného geometrického útvaru (referenčního) je u podobných útvarů shodný pro každou takovou dvojici bodů a nazývá se koeficient podobnosti. Podobnost zachovává velikost úhlů a poměr délek.

Podobnost je speciálním případem afinního zobrazení. Speciálním případem podobnosti, je-li koeficient podobnosti roven 1, je shodnost.

Příkladem podobného zobrazení je stejnolehlost.

Podobnost v rovině[editovat | editovat zdroj]

Pro rovinné útvary z toho vyplývá, že odpovídající hrany podobných mnohoúhelníků jsou ve vzájemném poměru a odpovídající úhly si jsou rovny.

Například všechny kružnice, čtverce a rovnostranné trojúhelníky si jsou podobné. Naopak elipsy si podobné být nemusí, stejně tak jako hyperboly.

Zpravidla se za speciální případ podobnosti považuje i shodnost, tedy podobnost s koeficientem podobnosti 1. Všechny shodné tvary jsou tedy zároveň podobné. (Některé učebnice výslovně vydělují shodné trojúhelníky z definice podobných trojúhelníků, takže musí být rozdílné nejen tvary, ale i jejich velikosti, aby se daly považovat za podobné.)

Podobné trojúhelníky[editovat | editovat zdroj]

Podobné trojúhelníky jsou ty, které mají stejný tvar, ale jinou velikost. Tvar trojúhelníku je definován jeho úhly, takže dva trojúhelníky se dvěma stejnými úhly jsou podobné.

Formálně řečeno, dva trojúhelníky a jsou podobné pokud nějaká z následujících podmínek platí:

1. Odpovídající strany mají délky ve stejném poměru, takže platí . Toto je to samé jako říci že jeden trojúhelník je zvětšení druhého.

2. je roven , a je roven . Toto také znamená že je roven .

Když jsou dva trojúhelníky a podobné, píšeme

Podobné mnohoúhelníky[editovat | editovat zdroj]

Tuto myšlenku je možné rozšířit na mnohoúhelníky s více stranami. U jakýchkoli dvou podobných mnohoúhelníků si jsou odpovídající strany přímo úměrné. Nicméně pouze úměrnost stran není dostatečná k zajištění podobnosti mnohoúhelníků kromě trojúhelníků, takže odpovídající úhly rovněž musí být shodné.

Věty o podobnosti trojúhelníků[editovat | editovat zdroj]

Jsou-li trojúhelníky podobné nám pomohou zjistit následující věty:

Věta sss - Každé dva trojúhelníky, které mají sobě rovné poměry délek všech tří dvojic odpovídajících stran, jsou si podobné.

Věta sus - Každé dva trojúhelníky, které mají sobě rovné poměry délek dvou odpovídajících stran a shodují se v úhlu jím sevřeném, jsou si podobné.

Věta uu - Každé dva trojúhelníky, které mají dva úhly stejné, si jsou podobné.

Věta Ssu - Každé dva trojúhelníky, které mají sobě rovné poměry délek dvou odpovídajících stran a shodují se v úhlu naproti větší straně, jsou si podobné.

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Reference[editovat | editovat zdroj]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Similarity (geometry) na anglické Wikipedii.

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]