Podobnost (geometrie)

Podobnost je geometrické zobrazení jednoho geometrického útvaru na jiný útvar se stejným tvarem. Dva geometrické útvary v Euklidově prostoru jsou si podobné, pokud oba mají stejný tvar. Přesněji řečeno, jeden je shodný s útvarem, získaným jako výsledek rovnoměrného zmenšení či zvětšení druhého a jeho případné rotace, posunutí a zrcadlení. Příkladem podobného zobrazení je stejnolehlost. Podobnost je speciálním případem afinního zobrazení. Speciálním případem podobnosti, je-li koeficient podobnosti roven 1, je shodnost.

Poměr vzdálenosti dvou bodů daného geometrického útvaru a vzdálenosti odpovídajících dvou bodů jiného geometrického útvaru (referenčního) je u podobných útvarů shodný pro každou takovou dvojici bodů a nazývá se koeficient podobnosti. Podobnost zachovává velikost úhlů a poměr délek.

Podobnost v rovině[editovat | editovat zdroj]

Pro rovinné útvary z toho vyplývá, že odpovídající hrany podobných mnohoúhelníků jsou ve vzájemném poměru a odpovídající úhly si jsou rovny.

Například všechny kružnice, čtverce a rovnostranné trojúhelníky si jsou podobné. Naopak elipsy si podobné být nemusí, stejně tak jako hyperboly.^[zdroj?]

Zpravidla se za speciální případ podobnosti považuje i shodnost, tedy podobnost s koeficientem podobnosti $k=1$ . Všechny shodné tvary jsou tedy zároveň podobné (některé učebnice výslovně vydělují shodné trojúhelníky z definice podobných trojúhelníků, takže musí být rozdílné nejen tvary, ale i jejich velikosti, aby se daly považovat za podobné).

Podobné trojúhelníky[editovat | editovat zdroj]

Trojúhelníky $\triangle ABC$ a $\triangle DEF$ jsou podobné (píšeme $\triangle ABC\sim \triangle DEF\,$ ), pokud vyhoví jedné z následujících vět:

Věta sss – Každé dva trojúhelníky, které mají sobě rovné poměry délek všech tří dvojic odpovídajících stran, jsou si podobné.
- odpovídající strany mají délky ve stejném poměru, takže platí ${AB \over DE}={BC \over EF}={AC \over DF}=k$ a trojúhelníky jsou si podobné.
Věta sus – Každé dva trojúhelníky, které mají sobě rovné poměry délek dvou odpovídajících stran a shodují se v úhlu jimi sevřeném, jsou si podobné.
Věta uu – Každé dva trojúhelníky, které mají dva úhly stejné, jsou si podobné.
- je-li úhel $\angle BAC$ roven $\angle EDF$ a $\angle ABC$ je roven $\angle DEF$ , pak to znamená, že i $\angle ACB$ je roven $\angle DFE$ a trojúhelníky jsou si podobné.
Věta Ssu – Každé dva trojúhelníky, které mají sobě rovné poměry délek dvou odpovídajících stran a shodují se v úhlu naproti větší straně, jsou si podobné.

Podobné trojúhelníky jsou tedy takové, které mají stejný tvar, ale jinou velikost (tvar trojúhelníku je definován jeho úhly). Je to možné říci i tak, že jeden trojúhelník je zvětšením (či zmenšením) druhého.

Podobné mnohoúhelníky[editovat | editovat zdroj]

Tuto myšlenku je možné rozšířit na mnohoúhelníky s více stranami. U jakýchkoli dvou podobných mnohoúhelníků si jsou odpovídající strany přímo úměrné. Nicméně pouze úměrnost stran není dostatečná k zajištění podobnosti mnohoúhelníků kromě trojúhelníků, takže odpovídající úhly rovněž musí být shodné.