Zobrazení (matematika)

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Zobrazení je v matematice předpis, jak přiřazovat prvkům nějaké množiny (vzorům) jednoznačně prvky obecně jiné množiny (obrazy). Jedná se o speciální případ binární relace, u které je zajištěna jednoznačnost obrazu ke každému vzoru.

Zobrazení je pojmem nejen teorie množin, ale představuje ústřední pojem i pro matematickou analýzufunkce je totiž také druhem zobrazení.

Zobrazení z množiny do množiny[editovat | editovat zdroj]

Nejobecnějším z hlediska množin, do kterých náleží vzory a obrazy, je zobrazení z množiny do množiny.

Definice[1]

Zobrazení f \,\! z množiny \mathcal{A} do množiny \mathcal{B} je taková binární relace, pro kterou platí, že ke každému prvku x \,\! množiny \mathcal{A} přiřazuje nejvýše jeden takový prvek y \,\! množiny \mathcal{B}, že  [ x,y ] \in f.


Značení[1]

y=f(x) \,\! nebo f:x \mapsto y\,\!


Důležité pojmy[1]
  • Prvek y=f(x) \in \mathcal{B} se nazývá obrazem prvku x \,\! v zobrazení f \,\! nebo také hodnotou zobrazení f \,\! v bodě x \,\!. Podobně obraz množiny \mathcal{X} \subseteq \mathcal{A} v zobrazení f je množina \mathcal{Y} \subseteq \mathcal{B}, na kterou se zobrazí \mathcal{X}: \mathcal{Y} = f(\mathcal{X})
  • Prvek x  \in \mathcal{A} se nazývá vzorem prvku y=f(x) \,\! v zobrazení f \,\!. Podobně vzor množiny \mathcal{Y} v zobrazení f je množina \mathcal{X} \subseteq \mathcal{A} obsahující všechny prvky, které se do množiny \mathcal{Y} zobrazí; značí se \mathcal{X} = f^{-1}(\mathcal{Y})
  • Množina právě těch prvků x  \in \mathcal{A}, pro které existuje právě jeden takový prvek y \in \mathcal{B}, že y=f(x) \,\!, se nazývá definičním oborem zobrazení f \,\! (též zkráceně oborem zobrazení či úplným vzorem zobrazení). Je to tedy množina všech vzorů. Značí se zpravidla jednou ze značek D(f)=\mathcal{D}_f=\mathrm{dom}\ f =\mathrm{dom}(f)\,\!.
  • Množina právě těch prvků y \in \mathcal{B}, pro které existuje aspoň jeden takový prvek x  \in \mathcal{A}, že f(x)=y \,\!, se nazývá oborem hodnot zobrazení f \,\! (též úplným obrazem zobrazení). Je to tedy množina všech obrazů, respektive obraz celého definičního oboru. Značí se zpravidla jednou ze značek  H(f) = \mathcal{H}_f = \mathcal{R}_f = \mathrm{rng}\ f = \mathrm{rng} (f) = f(D(f)) = f(\mathcal{D}_f).

V teorii množin se tedy zobrazení definuje jako binární relace f \,\! splňující podmínku existence a jednoznačnosti:

\forall x \in D(f): \exists y([ x,y ] \in f)\ \and\ \forall( y_{1},y_{2})(([ x,y_{1}] \in f\ \and\ [ x,y_{2} ] \in f)\implies y_{1}=y_{2} ).

Typy zobrazení[editovat | editovat zdroj]

Podle pokrytí výchozí a cílové množiny[editovat | editovat zdroj]

Zobrazení v množině[1]

Zobrazení v množině \mathcal{A} je takové zobrazení f \,\! z množiny \mathcal{A} do množiny \mathcal{B}, pro které \mathcal{A}=\mathcal{B}, tedy výchozí a cílová množina jsou totožné.


Zobrazení množiny do množiny[1][2]
f: \mathrm{X} \rightarrow \mathrm{Y}. Žlutý ovál uvnitř \mathrm{Y} je obor hodnot.

Zobrazení množiny \mathcal{A} do množiny \mathcal{B} je takové zobrazení f \,\! z množiny \mathcal{A} do množiny \mathcal{B}, pro které D(f)= \mathcal{A}. Definičním oborem je tedy celá výchozí množina. Tedy ke každému prvku x \in \mathcal{A} existuje (právě jeden) takový prvek y \in \mathcal{B}, že y=f(x) \,\!.

Značí se: f: \mathcal{A} \rightarrow \mathcal{B}


Zobrazení z množiny na množinu[1]

Zobrazení z množiny \mathcal{A} na množinu \mathcal{B} neboli surjektivní zobrazení (surjekce) je takové zobrazení f \,\! z množiny \mathcal{A} do množiny \mathcal{B}, pro které H(f)=\mathcal{B}. Zobrazuje tedy definiční obor na celou cílovou množinu. Tedy ke každému prvku y \in \mathcal{B} existuje aspoň jeden takový prvek x \in \mathcal{A}, že f(x)=y \,\!.


Zobrazení množiny na množinu[1][2]

Zobrazení množiny \mathcal{A} na množinu \mathcal{B} je takové zobrazení f \,\! z množiny \mathcal{A} do množiny \mathcal{B}, pro které  D(f)= \mathcal{A} \and H(f)= \mathcal{B} . Tedy ke každému prvku x \in \mathcal{A} existuje právě jeden takový prvek y \in \mathcal{B}, že y=f(x) \,\!, a ke každému prvku y' \in \mathcal{B} existuje aspoň jeden takový prvek x' \in \mathcal{A}, že f(x')=y' \,\!.


Zobrazení na množině[1]

Zobrazení na množině \mathcal{A} je takové zobrazení f \,\! množiny \mathcal{A} na množinu \mathcal{B}, pro které \mathcal{A}=\mathcal{B}, tedy výchozí a cílová množina jsou totožné.

Zobrazení prosté, vzájemně jednoznačné a inverzní[editovat | editovat zdroj]

Prosté zobrazení[1][2]

Zobrazení f z množiny \mathcal{A} do množiny \mathcal{B} se nazývá prosté neboli injektivní zobrazení (injekce), právě když každé dva různé vzory  x_1 , x_2 \ \in D(f) mají různé obrazy y_1=f(x_1), y_2=f(x_2) \in H(f)\,\!:

\forall [ x_1,y_1 ] , [ x_2,y_2) ] \in f: x_1 \ne x_2 \  \implies \ y_{1} \ne y_{2}


Vzájemně jednoznačné zobrazení[1]

Vzájemně jednoznačné zobrazení množin \mathcal{A} a \mathcal{B} neboli bijektivní zobrazení (bijekce) je prostým zobrazením množiny \mathcal{A} na množinu \mathcal{B}, je tedy injektivní a surjektivní zároveň.

Značí se: f: \mathcal{A} \leftrightarrow \mathcal{B}


Inverzní zobrazení[1][2]

Je-li f \,\! prosté zobrazení z množiny \mathcal{A} do množiny \mathcal{B}, pak zobrazení f^{-1} \,\! z množiny \mathcal{B} do množiny \mathcal{A}, které každému  y \in H(f)\,\! přiřazuje ten prvek f^{-1} (y) = x \in D(f)\,\!, pro nějž y=f(x) \,\!, se nazývá inverzní zobrazení k zobrazení f \,\!. Jeho definičním oborem je tedy D ( f^{-1} ) = H(f)\,\! a platí  f^{-1}(y) = x \Leftrightarrow f(x) = y.

Podle druhu vzorů a obrazů[editovat | editovat zdroj]

Například:

  • Posloupnost je zobrazení z množiny přirozených čísel (zpravidla do jiné číselné množiny, v obecném smyslu i do jiných druhů objektů) – vzor udává pořadí obrazu.
  • Funkce (reálné či komplexní proměnné) je zobrazení v množině reálných či komplexních čísel.
  • Vektorová, tenzorová resp. maticová funkce je zobrazení z množiny (vektorového prostoru) vektorů, tenzorů resp. matic.
  • Funkcionál zobrazuje funkci na číslo.
  • Operátor - funkci přiřazuje funkci.
  • Třídové zobrazení - vzory i obrazy jsou množiny či třídy.

Další speciální typy[editovat | editovat zdroj]

Například:

Příklad zobrazení[editovat | editovat zdroj]

Příklady (popis v článku)

Mějme množiny \mathcal{A} = \{1, 2, 3, 4\} a \mathcal{B} = \{a, b, c, d\}. Můžeme například definovat zobrazení f: \mathcal{A} \rightarrow \mathcal{B} jako

  • 1 \rightarrow a
  • 2 \rightarrow c
  • 3 \rightarrow d
  • 4 \rightarrow c

Oborem hodnot \mathcal{R}_f = f(\mathcal{A}) je tedy množina \{a, c, d\}. Vzorem množiny \{c\} je množina \{2,4\}. Jeden prvek v \mathcal{B} tedy může mít více než jeden vzor v \mathcal{A}. Ale každý prvek \mathcal{A} se zobrazí na právě jeden prvek v \mathcal{B}.

Na obrázku jsou uvedeny příklady vztahů A \rightarrow B.

Víceznačné zobrazení[editovat | editovat zdroj]

Jak vyplývá z uvedené definice zobrazení, název víceznačné zobrazení je matematický oxymoron. Pojem se ale běžně užívá pro relaci, kde každému vzoru odpovídá alespoň jeden obraz. Víceznačné zobrazení

\mathcal{A} \rightarrow \mathcal{B}

lze převést na běžné jednoznačné zobrazení do potenční množiny B

\mathcal{A} \rightarrow 2^\mathcal{B}[zdroj?]

Víceznačná zobrazení jsou poměrně přirozený způsob, jak se vypořádat s inverzí od zobrazení, které není prosté. Například

y = \pm \sqrt{ x }

Reference[editovat | editovat zdroj]

  1. a b c d e f g h i j k BARTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. Překlad TICHÝ, Zdeněk. 1. české (podle 17. originálního). vyd. Praha : SNTL – Nakladatelství technické literatury, 1983. 832 s. 04-020-83. Kapitola 0.4.6 Zobrazení, operace, funkce, s. 83-86.  
  2. a b c d REKTORYS, Karel, a kol. Přehled užité matematiky. 4.. vyd. Praha : SNTL – Nakladatelství technické literatury, 1981. 1140 s. 04-003-81. Kapitola 1.23 Pojem množiny a pojem zobrazení, s. 73.  

Související články[editovat | editovat zdroj]