Zobrazení (matematika)

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Zobrazení, které přiřazuje vybarveným geometrickým tvarům barvu jejich výplně.

Zobrazení je v matematice speciálním případem binární relace, u které má každý vzor nejvýše jeden obraz. Je to předpis , který prvkům množiny přiřazuje nejvýše jeden prvek množiny . Přesněji mluvíme o zobrazení z množiny do množiny . Pokud , mluvíme o zobrazení na množině. Ve speciálním případě, když je libovolná číselná množina, zobrazení nazýváme funkcí. Je-li prvku množiny přiřazen prvek množiny , pak říkáme, že prvek je vzorem a prvek je obrazem.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Zobrazení z množiny do množiny je binární relace, která ke každému prvku množiny přiřazuje nejvýše jeden prvek množiny tak, že .

  • Množina prvků , pro které existuje prvek tak, že , se nazývá definičním oborem zobrazení .
  • Množina prvků , pro které existuje alespoň jeden prvek tak, že , se nazývá oborem hodnot zobrazení .

V teorii množin se tedy zobrazení definuje jako binární relace splňující podmínku existence a jednoznačnosti:

tak, že .

Typy zobrazení[editovat | editovat zdroj]

Typy zobrazení

V matematice jsou injekce, surjekce a bijekce třídy zobrazení, které se liší způsobem, jakým jsou vzory a obrazy vzájemně mapovány:

  • Zobrazení je injektivní (zobrazení prosté), pokud je každý prvek oboru hodnot mapován nejvýše jedním prvkem definičního oboru, nebo ekvivalentně, pokud jsou různé prvky definičního oboru mapovány na různé prvky oboru hodnot:
platí nebo platí .
  • Zobrazení je surjektivní (zobrazení na), pokud je každý prvek oboru hodnot mapován alespoň jedním prvkem definičního oboru:
tak, že .
  • Zobrazení je bijektivní, tj. vzájemně jednoznačné (zobrazení prosté a na), pokud je každý prvek oboru hodnot mapován právě jedním prvkem definičního oboru:
tak, že .
  • Pro obecné zobrazení (zobrazení do) platí:
tak, že .

Bijektivní zobrazení je jak injektivní, tak surjektivní. Injektivní zobrazení nemusí být surjektivní a surjektivní zobrazení nemusí být injektivní. Čtyři možné kombinace injektivních a surjektivních zobrazení jsou znázorněny na uvedeném obrázku. Bijektivní zobrazení se užívá k porovnávání mohutností nekonečných množin.

Zobrazení prosté a inverzní[editovat | editovat zdroj]

Prosté zobrazení[editovat | editovat zdroj]

Zobrazení z množiny do množiny se nazývá prosté, právě když každé dva různé vzory mají různé obrazy :

.

Inverzní zobrazení[editovat | editovat zdroj]

Je-li prosté zobrazení z množiny do množiny , pak zobrazení z množiny do množiny , které každému přiřazuje právě jeden prvek , pro nějž , se nazývá inverzní zobrazení k zobrazení . Jeho definičním oborem je tedy a platí .

Inverzní zobrazení je prosté a surjektivní, tj. bijektivní. Ke každému vzájemně jednoznačnému zobrazení lze nalézt zobrazení inverzní. Jestliže k nějakému zobrazení existuje inverzní zobrazení, říkáme, že je invertibilní nebo že vykazuje invertibilitu.

Zobrazení podle typu vzorů a obrazů[editovat | editovat zdroj]

  • Posloupnost je zobrazení z množiny přirozených čísel (zpravidla do jiné číselné množiny, v obecném smyslu i do jiných druhů objektů) – vzor udává pořadí obrazu.
  • Funkce (reálné či komplexní proměnné) je zobrazení v množině reálných či komplexních čísel.
  • Vektorová, tenzorová resp. maticová funkce je zobrazení z množiny (vektorového prostoru) vektorů, tenzorů resp. matic.
  • Funkcionál zobrazuje funkci na číslo.
  • Operátor – funkci přiřazuje funkci.
  • Třídové zobrazení – vzory i obrazy jsou množiny či třídy.

Speciální zobrazení[editovat | editovat zdroj]

Příklady zobrazení[editovat | editovat zdroj]

Příklady zobrazení

Mějme množiny a . Můžeme například definovat zobrazení jako

Oborem hodnot je tedy množina . Vzorem prvku jsou prvky . Jeden prvek v tedy může mít více než jeden vzor v . Ale každý prvek se zobrazí na právě jeden prvek v .

Na obrázku jsou uvedeny příklady mapování :

  • Na a) je příklad, kdy se nejedná o zobrazení.
  • Na b) je příklad prostého zobrazení množiny do množiny .
  • Na c) je příklad vzájemně jednoznačného zobrazení množiny na množinu .
  • Na d) je příklad zobrazení, které není prosté.

Mnohoznačné zobrazení[editovat | editovat zdroj]

Jak vyplývá z uvedené definice zobrazení, název mnohoznačné zobrazení je matematický oxymóron. Pojem se ale běžně užívá pro relaci, kde každému vzoru odpovídá alespoň jeden obraz. Mnohoznačné zobrazení

lze převést na jednoznačné zobrazení do potenční množiny

.

Mnohoznačná zobrazení jsou poměrně přirozený způsob, jak se vypořádat s inverzí zobrazení, které není prosté. Např.:

.

Literatura[editovat | editovat zdroj]

BARTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. 4. vyd. Praha: Academia, 1994. 832 s. ISBN 80-200-1448-9. 

Související články[editovat | editovat zdroj]