Třídové zobrazení

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

Třídové zobrazení je matematický pojem z oblasti teorie množin, který zobecňuje pojem množinového zobrazení.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Definice (množinového) zobrazení vyžaduje, aby jak definiční obor tak i obor hodnot byl množinou. V matematice je přesto běžné uvažovat o zobrazeních (například identita, potence, atd.), jejichž formálním definičním oborem je celé matematické univerzum (), tedy vlastní třída (viz Russellův paradox). Ve standardní formalizaci teorie množin (systém ZFC) přísně vzato o třídách (a tedy i o výše zmíněných zobrazeních) nelze hovořit[1]. Vzniklou situaci lze řešit buď přechodem do jiné formalizace (např. Gödel-Bernays nebo Kelley-Morsey), která o třídách umožňuje mluvit, nebo lze vyjadřování o třídách chápat jako jistý typ zkratky. V tomto textu se budeme držet druhého přístupu, který propagoval W. V. Quine[2][3], a je dnes mezi matematiky pracujícími v teorii množin zdaleka nejrozšířenější.

Řekneme, že třída je třídové zobrazení, jestliže:[4]

  1. , kde je univerzální třída tj. obsahuje výhradně uspořádané dvojice množin.
  2. Pro její formuli platí podmínka jednoznačnosti, t.j. pokud lze dokázat následující implikaci:

Pro třídové zobrazení můžeme zavést běžné značení funkční hodnoty, t.j. formuli chápeme jako zkratku formule . Podobně lze chápat i všechny ostatní pojmy běžně používané u množinových zobrazení (obor hodnot, definiční obor,…) jako jisté zkratky.

Příklady[editovat | editovat zdroj]

Množinová zobrazení[editovat | editovat zdroj]

Z definice ihned plyne, že každé množniové zobrazení je speciálním případem třídového zobrazení.

Potence[editovat | editovat zdroj]

Zobrazení, které každé množině přiřadí množinu všech jejích podmnožin je třídové zobrazení z univerzální třídy do univerzální třídy.

Mohutnost jako třídové zobrazení[editovat | editovat zdroj]

Pomocí axiomu výběru lze dokázat, že každou množinu je možno vzájemně jednoznačně zobrazit na právě jedno kardinální číslo[5]. Toto kardinální číslo nazýváme mohutností dané množiny. V teorii ZFC je mohutnost příkladem třídového zobrazení z univerzální třídy do třídy všech kardinálních čísel. Mohutnost lze definovat i v teorii bez axiomu výběru[6] nicméně její obor hodnot již bude obsahovat i množiny mimo třídu .

Pořadí kardinálních čísel[editovat | editovat zdroj]

Uvažujme o předpisu, který každému nekonečnému kardinálnímu číslu přiřadí jeho pořadí podle velikosti. Formálně jde o třídové bijektivní rostoucí zobrazení třídy nekonečných kardinálních čísel na třídu všech ordinálních čísel . Toto zobrazení je inverzní k funkci alef. Funkce alef a funkce gimel jsou dalšími příklady třídového zobrazení mezi vlastními třídami.

Fundovaný rank a konstruovatelný rank množiny[editovat | editovat zdroj]

Pokud přijmeme axiom fundovanosti, t.j. univerzální třída je totožná s fundovaným jádrem, lze každé množině přiřadit její tzv. fundovaný rank, t.j. nejmenší ordinální číslo , pro které platí, že náleží do -té vrstvy fundovaného jádra ().
Získáváme tak třídové zobrazení , běžně označované jako rankovací funkce [7]. Podobně jako u mohutnosti lze rankovací zobrazení definovat i v teorii množin bez axiomu fundovanosti. V této teorii tak získáme zobrazení jehož definiční obor bude fundované jádro . Podobnými úvahami aplikovanými na třídu (Gödelovo univerzum konstruovatelných množin) lze získat konstruovatelný rank množiny, t.j. třídové zobrazení z třídy na třídu .

Podívajte se také na[editovat | editovat zdroj]

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Reference[editovat | editovat zdroj]

  1. BALCAR, Bohuslav; ŠTĚPÁNEK, Petr. Teorie množin. 2. vyd. Praha: Academia, 2001. 464 s. ISBN 80-200-0470-X. S. 45. [dále jen Balcar, Štěpánek (2001)]. 
  2. QUINE, Willard Van Orman. Set theory and its logic. Cambridge, Mass.: [s.n.], 1963. 359 s. 
  3. FRAENKEL, A. A.; BAR-HILLEL, Y.; LEVY, A. Foundations of Set Theory. druhé revidované vydání. vyd. [s.l.]: Elsevier, 1973. 404 s. Dostupné online. ISBN 0720422701. S. 147. 
  4. Balcar, Štěpánek (2001), s. 145
  5. Balcar, Štěpánek (2001), s. 86
  6. Balcar, Štěpánek (2001), s. 198
  7. Balcar, Štěpánek (2001), s. 193

Literatura[editovat | editovat zdroj]

  • BALCAR, Bohuslav; ŠTĚPÁNEK, Petr. Teorie množin. 2. vyd. Praha: Academia, 2001. 464 s. ISBN 80-200-0470-X. Kapitola II., §2.