Univerzální třída

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Univerzální třída je matematický pojem z oboru teorie množin označující třídu všech množin.

Označení a formální definice[editovat | editovat zdroj]

Univerzální třída se obvykle značí a bývá definována jako . S ohledem na to, že je reflexivní relace, patří do takto definované třídy všechny množiny.

Vlastnosti univerzální třídy[editovat | editovat zdroj]

  • Univerzální třída obsahuje každou množinu nejen jako svůj prvek, ale zároveň také jako svojí podmnožinu.

Tento závěr vyplývá z faktu, že prvkem množiny může být opět pouze množina, tedy každý prvek každé množiny patří do . Pokud ale každý prvek nějaké množiny patří do , pak je podle definice tato množina podmnožinou .

  • Univerzální třída není množina (je to tedy vlastní třída).

Pokud by byla množina, pak je podle axiomu potence množinou také její potenční množina . Podle Cantorovy věty větší mohutnost než , ale podle předchozího odstavce je zároveň podmnožinou , což je sporné tvrzení (podmnožina nemůže mít větší mohutnost, než celá množina).

  • Univerzální třída není jedinou vlastní třídou – existují i „menší“ vlastní třídy, například třída všech ordinálních čísel nebo třída všech kardinálních čísel.

To mimo jiné znamená, že ve vztahu z prvního odstavce nelze obrátit implikaci.

Vztah k různým dodatečným předpokladům ZF[editovat | editovat zdroj]

Vlastnosti univerzální třídy se mohou značně lišit v závislosti na tom, jaké dodatečné předpoklady přijmeme k axiomatizaci Zermelo-Fraenkelovy teorie množin bez axiomu fundovanosti (tato teorie se obvykle značí ).

Související články[editovat | editovat zdroj]