Potenční množina

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Potenční množina množiny (značí se nebo též ) je taková množina, která obsahuje všechny podmnožiny množiny .

Formálně vyplývá existence potenční množiny k libovolné množině z axiomu potenční množiny.

Příklad[editovat | editovat zdroj]

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Každá potenční množina obsahuje jako svůj prvek prázdnou množinu, tj.

Potenční množina množiny obsahuje jako svůj prvek, tj.

Na potenční množině je přirozeným způsobem definováno uspořádání pomocí relace „být podmnožinou. Toto uspořádání není lineární - například množiny a z předchozího příkladu jsou neporovnatelné. Potenční množina spolu s tímto uspořádáním tvoří strukturu nazývanou potenční algebra, která má řadu zajímavých vlastností - jedná se například o úplný svaz.

Mohutnost potenční množiny[editovat | editovat zdroj]

  • Pokud je konečná množina a její mohutnost je , pak mohutnost její potenční množiny je .
  • Pro nekonečné množiny platí podle Cantorovy věty, že mohutnost je ostře větší, než mohutnost . Z toho mimo jiné vyplývá, že škála mohutností nekonečných množin je nekonečná, protože mohutnost je ostře větší, než mohutnost atd.

Související články[editovat | editovat zdroj]