Potenční množina

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Jump to navigation Jump to search

Potenční množina množiny (značí se nebo též ) je taková množina, která obsahuje všechny podmnožiny množiny .

Formálně vyplývá existence potenční množiny k libovolné množině z axiomu potenční množiny.

Příklad[editovat | editovat zdroj]

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Každá potenční množina obsahuje jako svůj prvek prázdnou množinu, tj.

Potenční množina množiny obsahuje jako svůj prvek, tj.

Na potenční množině je přirozeným způsobem definováno uspořádání pomocí relace „být podmnožinou. Toto uspořádání není lineární - například množiny a z předchozího příkladu jsou neporovnatelné. Potenční množina spolu s tímto uspořádáním tvoří strukturu nazývanou potenční algebra, která má řadu zajímavých vlastností - jedná se například o úplný svaz.

Mohutnost potenční množiny[editovat | editovat zdroj]

  • Pokud je konečná množina a její mohutnost je , pak mohutnost její potenční množiny je .
  • Pro nekonečné množiny platí podle Cantorovy věty, že mohutnost je ostře větší, než mohutnost . Z toho mimo jiné vyplývá, že škála mohutností nekonečných množin je nekonečná, protože mohutnost je ostře větší, než mohutnost atd.

Potenční množiny v modelech teorie množin[editovat | editovat zdroj]

Axiom teorie množin vyžaduje, aby soubor podmnožin nějaké množiny byl množinou, protože ale model nemusí obsahovat všechny možné podmnožiny, liší se v různých modelech i potenční množina nějaké množiny, a to i velikostí, a dokonce mohou mít při pohledu zvenku stejnou mohutnost (v modelu plati podle Cantorovy věty , což ovšem pouze znamená, že uvnitř modelu neexistuje mezi oběma množinami bijekce, tj. zmíněná bijekce není součástí uvažovaného modelu). Příkladem takového "omezeného" modelu je Gödelova konstrukce konstruovatelných množin.

Související články[editovat | editovat zdroj]